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第一章 有理数 暑期预习讲义
【知识点讲解】
一、正数和负数
1.正数
（1）定义：大于0的数，如 +3，+1.5，+（“+”号可省略，写作 3，1.5）。
（2）实际意义：表示增加、收入、上升、零上温度等。
2.负数
（1）定义：小于0的数，用“－”号标记，如 －2，－0.8，－。
（2）实际意义：表示减少、支出、下降、零下温度等。
3. 0的特殊性：0既不是正数，也不是负数，是正负数的分界点。
二、相反意义的量
1.规则
（1）用正数和负数表示具有相反意义的量（需先规定“正方向”）。
例：若向东走5米记作+5米，则向西走3米记作－3米。
2.常见应用场景
（1）温度：零上10℃（+10℃），零下5℃（－5℃）。
（2）收支：收入200元（+200元），支出100元（－100元）。
（3）海拔：珠穆朗玛峰海拔+8848米，吐鲁番盆地海拔－155米。
三、有理数的概念
1.有理数的定义及分类
（1）有理数：整数和分数统称为有理数。
（2）整数：正整数、0、负整数统称为整数，比如3是正整数，0就是0本身，-5是负整数。
（3）分数：正分数和负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数。例如，（可写成）是正分数，0.25（可化为）也是分数， -0.333…（可化为）则是负分数。
（4）有理数的分类：
①按定义分类：有理数可分为整数和分数，其中整数又分为正整数、0、负整数；分数分为正分数和负分数。
②按性质符号分类：有理数可分为正有理数、0、负有理数，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数。
四、数轴
1.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（1）原点：在数轴上表示0的点叫做原点。
（2）正方向：通常规定向右（或向上）为正方向。
（3）单位长度：根据实际需要选取适当的长度作为单位长度。
2.数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（后续会学到无理数，数轴上的点与实数一一对应，实数包括有理数和无理数）。正数在原点的右边，负数在原点的左边，0在原点处。并且数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的数大。
五、相反数
1.相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。例如2和 -2互为相反数，0的相反数是0。
2.相反数的性质：
（1）互为相反数的两个数的和为0，即若a与b互为相反数，则a + b = 0；反之，若a + b = 0，则a与b互为相反数。
（2）在数轴上，互为相反数的两个数（0除外）位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
六、绝对值
1.绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。例如，|3| = 3，表示数轴上表示3的点到原点的距离是3；|-4| = 4，表示数轴上表示 -4的点到原点的距离是4。
2.绝对值的性质：
（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即：当a > 0时，|a| = a；当a = 0时，|a| = 0；当a < 0时，|a| = -a。
（2）绝对值具有非负性，即|a| ≥ 0。
七、有理数的大小比较
1.利用数轴比较：在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。
2.利用绝对值比较（两个负数比较大小）：两个负数，绝对值大的反而小。例如，比较 -3和 -5的大小，先求它们的绝对值，|-3| = 3，|-5| = 5，因为5 > 3，所以 -3 > -5。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列四组量中，不具有相反意义的是（　　）
A．海拔“上升米”与“下降米” B．温度计上“零上”与“零下”
C．盈利元与亏本元 D．长米与重千克
2．如果＋10表示向东走10km，那么表示（　　）
A．向南走7km B．向西走10km C．向西走7km D．向北走10km
3．的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
4．下面四个数中比－2小的数是（　　）
A．1 B．0 C．－1 D．－3
5．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数．不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（　　）
A． B． C． D．
6．在，，0，，，中，有理数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．下列说法中，正确的是（　　）
A．有理数不是正数就是负数 B．是无限小数，所以不是有理数
C．0是最小的整数 D．最大的负整数是
8．如图，数轴上有四个点，其中表示的数的绝对值相等的点是（　　）
A．点与点 B．点与点 C．点与点 D．点与点
9．已知x是整数，并且，在数轴上表示x可能取的所有数值的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．若，则的值是（　　）
A．6 B． C． D．
二、填空题
11．在0，1，，﹣2，﹣3，这五个数中，非负整数有　 　个．
12．的绝对值是　 　．
13．比较大小：　 　（选填“>”“<”或“=”）．
14．若一个负整数的相反数小于2，则这个负整数是　 　．
15．如图，直尺上“1cm”处对应数轴上的数是　 　．
16．若，，且，则　 　.
三、解答题
17．某水果店记录了7月1日，7月2日，7月3日三天卖香蕉和西瓜两种水果的盈亏情况，如右表（记盈利为正，亏损为负．单位：元）．
日期 水果 7月1日 7月2日 7月3日 结余
香蕉 201.50 108 -3.50 3.6
西瓜 96 -70 506 532
（1）写出7月3日这一列中“-3.50”和“506”的实际意义．
（2）写出西瓜上行中“96”“-70”和“532”的实际意义．
18． 把下列各数分别填入相应的集合里．
，，0，，，2021，，
（1）正数集合：{ …}
（2）负数集合：{ …}
（3）整数集合：{ …}
（4）分数集合：{ …}
19．在数轴上表示下列各数，并把下列各数用“”号连接起来
，，，．
20．如图，图中数轴的单位长度为1．
（1）如果点P、T表示的数互为相反数，那么点P、S、T表示的数分别是多少？
（2）如果点R、T表示的数互为相反数，那么点S表示的数是正数，还是负数？此时图中表示的5个点中，哪一点表示的数的绝对值最大？这一点表示的数的绝对值是多少？
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．D
5．D
6．D
7．D
8．B
9．A
10．C
11．2
12．10
13．
14．-1
15．
16．
17．（1）解：-3.50表示7月3日卖香蕉亏损3.50元，506表示7月3日卖西瓜盈利 506元
（2）解：96表示7月1日卖西瓜盈利96元，-70表示7月2日卖西瓜亏损70元， 532表示这三天卖西瓜共盈利532元
18．（1）解：，
正数集合：；
（2）解：负数集合：；
（3）解：整数集合：；
（4）解：分数集合：．
19．解：，，
各数在数轴上表示如下：
把各数用“”号连接起来是：.
20．（1）解：如图所示：
P表示的数是-4，S表示的数是0，T表示的数是4；
（2）解：如图所示：
R为-3，T为3，
所以S表示-1是负数，Q点表示的数的绝对值最大，绝对值是7．

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