资源简介

14.2　三角形全等的判定
第1课时　用“SAS”判定三角形全等
1．掌握三角形全等的“边角边(SAS)”判定方法．
2．学会运用“边角边(SAS)”判定方法进行简单的证明．
3．了解两个三角形具备两边和一对角相等时，不一定全等．
▲重点
掌握三角形全等的“边角边(SAS)”判定方法．
▲难点
运用“边角边(SAS)”判定方法进行简单的证明．
◆活动1　新课导入
问题：有一块三角形的玻璃打碎成如图的三块，如果要到玻璃店去照样配一块，应带哪一块去？
◆活动2　探究新知
1．教材P32　探究1.
提出问题：
(1)如果两个三角形的一边或一角分别相等，两个三角形全等吗？
(2)如果两个三角形两边分别相等，两个三角形全等吗？
(3)如果两个三角形一边一角分别相等，两个三角形全等吗？
(4)如果两个三角形的两角分别相等，两个三角形全等吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P33　探究2.
提出问题：
(1)如果∠A＝30°，AC＝4 cm，AB＝3 cm，你能画出这个图形吗？
(2)你能画出几个这样的图形？为什么？
(3)如果∠A′＝∠A，A′C′＝AC，A′B′＝AB，那么△A′B′C′与△ABC有什么样的关系？
学生完成并交流展示．
3．教材P34　思考．
提出问题：
(1)如果三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
(2)图14.2－5说明了什么？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．两边和它们的　夹角　分别相等的两个三角形全等（可以简写成“　边角边　”或“　SAS　”）.
2．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形　不一定　全等．
◆活动4　例题与练习
例1　如图，E是BC的中点，∠1＝∠2，AE＝DE.求证：△ABE≌△DCE.
证明：∵E是BC的中点，∴BE＝EC.
在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(SAS).
例2　如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA.求证：AC＝BD.
证明：在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SAS)，∴AC＝BD.
例3　如图，点M，N在线段AC上，AM＝CN，AB∥CD，AB＝CD.
求证：∠1＝∠2.
证明：先证△ABN≌△CDM(SAS)，得BN＝DM，∠BNM＝∠DMN，再证△BMN≌△DNM(SAS)，即可得到∠1＝∠2.
练习
1．教材P34　练习第1，2题．
2．如图，AB＝AC，AE＝AD，要使△ACD≌△ABE，需要补充的一个条件是 (C)
　A．∠B＝∠C B．∠D＝∠E
　C．∠BAC＝∠EAD D．∠B＝∠E
　　　　　　
3．如图，如果线段AB，CD交于点O且互相平分，那么下列结论错误的是 (D)
　A．AD＝BC B．∠C＝∠D C．AD∥BC D．OB＝OC
4．如图，AC＝DF，BD＝EC，AC∥DF，∠ACB＝80°，∠B＝30°，则∠F＝　70°　.
5．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC＝BD，AC＝FD.
求证：AE＝FB.
证明：∵CE∥DF，∴∠ACE＝∠D.
在△ACE和△FDB中，
∴△ACE≌△FDB(SAS)，∴AE＝FB.
◆活动5　课堂小结
1．“边角边(SAS)”的认识．
2．“边角边(SAS)”的运用．
1．作业布置
(1)教材P43　习题14.2第1，2，3题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　用“ASA”或“AAS”判定三角形全等
1．理解并掌握三角形全等的“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法．
2．学会运用“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法进行简单的证明．
▲重点
掌握三角形全等的“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法．
▲难点
运用“角边角(ASA)”“角角边(AAS)”判定方法进行简单的证明．
◆活动1　新课导入
继续上节课的问题：如图，某同学不小心将一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块大小、形状完全相等的玻璃，那么最省事的办法是带 (C)
A．① B．② C．③ D．①和③
◆活动2　探究新知
1．教材P34　探究3.
提出问题：
(1)如果AB＝2 cm，∠A＝80°，∠B＝40°，你能画出这个图形吗？
(2)你能画出几个这样的图形？为什么？
(3)如果A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，那么△A′B′C′与△ABC有什么样的关系？
学生完成并交流展示．
2．教材P35　思考．
提出问题：
(1)从已知条件看，可用“ASA”直接证明两个三角形全等吗？
(2)如果三角形的两角和其中一组等角的对边分别相等，这两个三角形全等吗？
(3)通过上面的证明你能得出什么结论？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．两角和它们的夹边分别　相等　的两个三角形全等（可以简写成“　角边角　”或“　ASA　”）.
2．两角分别相等且其中一组等角的　对边　相等的两个三角形全等（可以简写成“　角角边　”或“　AAS　”）.
◆活动4　例题与练习
例1　教材P35　例2.
例2　如图，点A，C，D，B四点共线，且AC＝BD，∠A＝∠B，∠ADE＝∠BCF.
求证：DE＝CF.
证明：∵AC＝BD，∴AC＋CD＝BD＋CD，∴AD＝BC.
在△AED和△BFC中，
∴△AED≌△BFC(ASA)，∴DE＝CF.
例3　如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD相交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC.
(1)求证：△ABE≌△DCE；
(2)当∠AEB＝50°时，求∠EBC的度数．
解：(1)在△ABE和△DCE中，
∴△ABE≌△DCE(AAS)；
(2)∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，AE＝DE，
∴AC＝BD，易证△ABC≌△DCB(SAS)，∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°.
练习
1．教材P36　练习第1，2题．
2．如图，AB＝AC，要证明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是 (D)
A．∠B＝∠C B．AD＝AE
C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE
3．如图，已知BC⊥AC，BD⊥AD，垂足分别是C，D.若要根据“AAS”判定△ABC≌△ABD，应添加一条件是　∠CAB＝∠DAB或∠CBA＝∠DBA　.
4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，CE是∠ACB内的一条射线，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.
求证：△BEC≌△CDA.
证明：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CBE＝∠ACD.又∵CB＝AC，∴△BEC≌△CDA(AAS).
◆活动5　课堂小结
1．“角边角(ASA)”的认识及运用．
2．“角角边(AAS)”的认识及运用．
1．作业布置
(1)教材P44　习题14.2第4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第3课时　用“SSS”判定三角形全等
1．探索构建三角形全等条件的思路，体会研究几何问题的方法．
2．学会用“边边边(SSS)”定理判定两个三角形全等．
3．学会用“边边边(SSS)”判定方法和全等三角形的性质，解决一些实际问题．
▲重点
用“边边边(SSS)”判定两个三角形全等．
▲难点
探索构建三角形全等条件的思路．
◆活动1　新课导入
1．三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？
2．到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？各是什么？
◆活动2　探究新知
1．教材P36　探究4.
提出问题：
(1)如果线段AB，BC，CA的大小确定，△ABC的形状能确定吗？
(2)在△A′B′C′与△ABC中，如果A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，△A′B′C′与△ABC全等吗？
(3)观察P37图14.2－11，用语言描述画图的方式．
学生完成并交流展示．
2．教材P37　例3上面部分．
提出问题：
(1)将三根木条钉成一个三角形木架，木架的形状、大小有变化吗？
(2)已知三角形的三边，你能用直尺和圆规作一个三角形吗？
(3)观察图14.2－12，图14.2－13，说一说作图步骤．
学生完成并交流展示．
3．教材P38　思考．
提出问题：
(1)三角分别相等的两个三角形全等吗？
(2)两个三角形全等的判定方法有哪些？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．三边　分别相等　的两个三角形全等（可以简写成“　边边边　”或“　SSS　”）．
2．已知三角形的三边可以利用　直尺　和　圆规　作一个三角形．
3．全等三角形的判定方法：(1)SAS　(2)ASA(AAS)　(3)SSS
◆活动4　例题与练习
例1　教材P37　例3.
例2　如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
求证：AB∥DE.
证明：∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS)，∴∠ABC＝∠DEF，∴AB∥DE.
例3　如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE.求证：∠3＝∠1＋∠2.
证明：∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)，∴∠2＝∠ABD，∠1＝∠BAD.
又∵∠3＝∠ABD＋∠BAD，∴∠3＝∠1＋∠2.
练习
1．教材P38　练习第1，2题．
2．如图，在△ACE和△BDF中，AE＝BF，CE＝DF，要利用“SSS”证△ACE≌△BDF时，需添加一个条件是 (C)
　A．AB＝BC B．DC＝BC
　C．AB＝CD D．以上都不对
3．画△ABC，使AB＝4 cm，BC＝5 cm，AC＝6 cm.作法：①画线段AC＝　6 cm　；②分别以A，C为圆心，以　4 cm　、　5 cm　长为半径画弧，两弧相交于点B；③连接AB，BC，则△ABC即为所求．
4．如图，AB＝DC，AC＝DB.求证：∠ABD＝∠DCA.
证明：连接AD.在△ABD和△DCA中，
∴△ABD≌△DCA(SSS).
◆活动5　课堂小结
1．“边边边(SSS)”的认识和运用．
2．两个三角形全等的判定方法．
1．作业布置
(1)教材P44　习题14.2第7，8题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第4课时　尺规作图
1．经历尺规作图实践操作过程，能根据条件作出相等的角．
2．利用已知两角及其夹边，两边及其夹角用尺规作出三角形．
▲重点
能根据条件尺规作图．
▲难点
探索作图过程．
◆活动1　新课导入
1．尺规作图中，直尺的功能是什么？圆规的功能是什么？
2．如何作一条线段等于已知线段？
方法一：度量法，先量出已知线段的长度，再画出一条和这条线段长度相等的线段；
方法二：尺规法，用直尺画一条射线，用圆规在射线上截取线段等于已知线段．
3.已知一个三角形三条边分别为a，b，c，求作这个三角形．
　　
作法：如图，(1)先作线段BA＝c；(2)分别以点B，点A为圆心，以a，b为半径画弧交于点C；(3)连接AC，BC，则△ABC即为所求．
◆活动2　探究新知
1．教材P39　思考（作一个角等于已知角）．
提出问题：
(1)如何作一个角等于已知角？
(2)如何用直尺和圆规确定已知角∠AOB的大小？
(3)观察图14.2－15，你发现了什么？
(4)△OCD与△O′C′D′全等吗？为什么？
学生完成作图并交流展示．
2．教材P40　例4（过一点作已知直线的平行线）．
提出问题：
(1)如何过一点作已知直线的平行线？
(2)作图的依据是什么？
(3)你还有其他的作图方法吗？
学生完成作图并交流展示．
3．教材P40　例5（已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形）．
提出问题：
(1)已知三角形的两边及其夹角，怎样用尺规画出这个三角形？
(2)根据给出的条件作出的三角形全等吗？理由是什么？
学生完成作图并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．用尺规作一个角等于已知角的依据是全等三角形的“　SSS　”．
2．用尺规作三角形的依据是全等三角形的“　SAS　”“　ASA　”“　AAS　”“　SSS　”．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P40　例4.
例2　已知∠α，∠AOB＝90°，求作∠AOC，使其等于∠α的余角．（保留作图痕迹，不写作法）
　　　
解：如图，∠AOC即为所求．
　　　
例3　尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）.
如图，已知线段a和∠α，求作一个△ABC，使BC＝a，AC＝2a，∠BCA＝∠α.
　　
解：如图，△ABC即为所求．
练习
1．教材P41　练习第1，2题．
2．如图，是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是 (B)
A.两角及其夹边
B．两边及其夹角
C．两角及一角的对边
D．两边及一边的对角
3．如图，已知线段a，用尺规作出△ABC，使AB＝a，BC＝AC＝2a.
作法：(1)作一条线段AB＝　a　；
(2)分别以　A　，　B　为圆心，以　2a　为半径画弧，两弧交于点C；
(3)连接　AC　，　BC　，则△ABC就是所求作的三角形．
4．如图，已知∠AOB，点P在OA上，请以P为顶点，PA为一边作∠APC＝∠O.（不写作法，保留作图痕迹）
1．作业布置
(1)教材P44　习题14.2第9，10题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第5课时　用“HL”判定直角三角形全等
1．理解并掌握直角三角形全等的“斜边、直角边”(HL)判定方法．
2．学会运用“斜边、直角边(HL)”判定方法进行简单的证明．
▲重点
探究直角三角形全等的条件．
▲难点
灵活运用五种方法来判定直角三角形全等．
◆活动1　新课导入
1．　两边　和它们的　夹角　分别相等的两个三角形全等（可以简写成“　边角边　”或“　SAS　”）．
2．　两角　和它们的　夹边　分别　相等　的两个三角形全等（可以简写成“　角边角　”或“　ASA　”）.
3．　两角　分别相等且其中一组等角的　对边　相等的两个三角形全等（可以简写成“　角角边　”或“　AAS　”）.
4．　三边　分别相等的两个三角形全等（可以简写成“　边边边　”或“　SSS　”）．
◆活动2　探究新知
1．教材P41　探究5上面部分．
提出问题：
(1)判定一般三角形全等的依据是什么？请说出它们的共同点；
(2)对于两个直角三角形，除了直角相等外，还需要满足几个条件，就能证明这两个直角三角形全等？
学生完成并交流展示．
2．教材P41　探究5.
提出问题：
(1)观察图14.2－21，有哪些已知条件？
(2)∠C′＝∠C＝90°，则可以得到哪些点重合，哪些射线重合？
(3)B′C′＝BC，可得到什么结论？
(4)点A与点A′重合吗？观察图14.2－22，说明理由．
(5)根据上面的探究，你能否得出判定两个直角三角形全等的条件？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．　斜边　和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“　HL　”）.
2．判定两个直角三角形全等的方法有　SAS　、　ASA　、　AAS　、　SSS　、　HL　．HL只适用于　直角三角形　，对于一般三角形不适用．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P42　例6.
例2　如图，已知AB＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，且BF＝DE.
求证：AB∥CD.
证明：∵BF⊥AC，DE⊥AC，∴∠AFB＝∠CED＝90°.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴∠BAF＝∠DCE，∴AB∥CD.
例3　如图，AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD，试说明BE与AC的位置关系，并说明理由．
解：BE⊥AC.理由如下：
∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
又∵BF＝AC，FD＝CD，∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL)，∴∠DBF＝∠DAC.
又∵∠DAC＋∠C＝90°，∴∠EBC＋∠C＝90°，∴∠BEC＝90°，∴BE⊥AC.
练习
1．教材P43　练习第1，2题．
2．下列叙述不正确的是 (C)
A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两个锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
3．如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 (C)
　A．∠DAE＝∠CBE　　　　　　　　　　B．CE＝DE
　C．△DAE与△CBE不一定全等 D．∠1＝∠2
　　　　
4．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连接DE.动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动．设点P的运动时间为t s，当△ABP和△DCE全等时，t的值为 (C)
　A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7
5．如图，已知CE⊥AB，DF⊥AB，AC＝BD，CE＝DF.求证：AC∥BD.
证明：∵CE⊥AB，DF⊥AB，∴∠CEA＝∠DFB＝90°.
又∵AC＝BD，CE＝DF，∴Rt△ACE≌Rt△BDF(HL)，
∴∠A＝∠B，∴AC∥BD.
◆活动5　课堂小结
1．“斜边、直角边(HL)”的认识．
2．“斜边、直角边(HL)”的运用．
1．作业布置
(1)教材P45　习题14.2第11，12题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

展开更多......

收起↑