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17.2　用公式法分解因式
第1课时　运用平方差公式分解因式
1．理解整式乘法与因式分解的互逆关系，并会用平方差公式进行因式分解．
2．通过自己的实践活动去领悟、分析，总结技能、技巧，树立学习的自信心．
▲重点
运用平方差公式进行因式分解．
▲难点
运用平方差公式进行简便计算．
◆活动1　新课导入
1．乘法的平方差公式：(a＋b)(a－b)＝　a2－b2　.
2．计算：(1)(x＋2)(x－2)＝　x2－4　；
(2)(2m＋3n)(2m－3n)＝　4m2－9n2　；
(3)[(x＋y)＋(x－y)][(x＋y)－(x－y)]＝　4xy　.
◆活动2　探究新知
1．教材P128　思考．
提出问题：
(1)整式乘法的平方差公式是什么？
(2)多项式a2－b2有什么特点？你能将它分解因式吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P128　例2.
提出问题：
(1)x2－y4能用平方差公式分解因式吗？y4应怎样分解？
(2)(x＋p)2－(x－q)2能直接用平方差公式分解因式吗？怎样分解？由此题你得到了什么启发？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．平方差公式：a2－b2＝　(a＋b)(a－b)　.即两个数的平方差，等于　这两个数的和与这两个数的差的积　.
2．分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P128　例1.
例2　分解因式：
(1)4m2－9n2；
解：原式＝(2m＋3n)(2m－3n)；
(2)16x2y2z2－9；
解：原式＝(4xyz＋3)(4xyz－3)；
(3)(a＋b)2－100；
解：原式＝(a＋b＋10)(a＋b－10)；
(4)81(a＋b)2－4(a－b)2.
解：原式＝[9(a＋b)＋2(a－b)][9(a＋b)－2(a－b)]＝(11a＋7b)(7a＋11b).
例3　求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：依题意，得(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝8n.
∵n是正整数，∴8n是8的n倍，
∴当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
练习
1．教材P129　练习第1，2题．
2．因式分解：
(1)－1＋0.09x2；
解：原式＝(0.3x＋1)(0.3x－1)；
(2)(a＋2b)2－4(a－b)2.
解：原式＝[(a＋2b)＋2(a－b)][(a＋2b)－2(a－b)]＝(a＋2b＋2a－2b)(a＋2b－2a＋2b)＝3a(4b－a).
3．已知x－y＝2，x2－y2＝6，求x，y的值．
解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝6，x－y＝2，
∴x＋y＝3.
联立解得
◆活动5　课堂小结
1．平方差公式及其特征．
2．运用平方差公式分解因式．
1．作业布置
(1)教材P132　习题17.2第1题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第2课时　运用完全平方公式分解因式
1．掌握完全平方公式的特点．
2．运用完全平方公式进行因式分解．
▲重点
掌握完全平方公式的特点，并会用完全平方公式进行因式分解．
▲难点
灵活运用完全平方公式进行因式分解．
◆活动1　新课导入
1．乘法的完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋　2ab　＋b2；(a－b)2＝a2－　2ab　＋b2.
2．填空：(1)(5x－　y　)2＝　25x2　－10xy＋y2；
(2)(　2a　＋　3b　)2＝4a2＋12ab＋9b2.
3．计算：
(1)(6x＋3)2；　　　　　　　　　(2).
解：原式＝36x2＋36x＋9; 解：原式＝a2－ab＋b2.
◆活动2　探究新知
1．教材P129　思考．
提出问题：
(1)整式乘法的完全平方公式有多少个？它们分别是什么？
(2)多项式a2＋2ab＋b2与a2－2ab＋b2有什么特点？它们是完全平方式吗？它们与整式的完全平方公式有什么关系？
(3)你能将a2＋2ab＋b2和a2－2ab＋b2分解因式吗？
学生完成并交流展示．
2．教材P130　例4.
提出问题：
(1)例4第(1)小题的因式分解过程给我们什么启示？
(2)例4第(2)小题的因式分解过程给我们什么启示？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
1．两个数的平方和加上这两个数的　积的2倍　，等于这两个数的　和　的平方．用字母表示为a2＋2ab＋b2＝　(a＋b)2　.
2．两个数的平方和减去这两个数的　积的2倍　，等于这两个数的　差　的平方．用字母表示为a2－2ab＋b2＝　(a－b)2　.
3．像a2＋2ab＋b2，a2－2ab＋b2这样的式子叫作　完全平方式　.
4．把乘法公式的等号两边　互换　，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式，运用公式把多项式分解因式的方法叫作　公式法　.
◆活动4　例题与练习
例1　教材P130　例3.
例2　分解因式：
(1)a2＋ab＋b2；
解：原式＝；
(2)－2x3y＋4x2y－2xy；
解：原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2；
(3)(a－b)2－6(b－a)＋9.
解：原式＝(a－b)2＋6(a－b)＋9＝(a－b＋3)2.
例3　已知x－y＝1，求代数式(x2＋y2)－xy的值．
解：(x2＋y2)－xy＝(x2＋y2－2xy)＝(x－y)2＝×12＝.
练习
1．教材P131　练习第1，2题．
2．分解因式：
(1)－m2＋10mn－25n2; 　　
解：原式＝－(m2－10mn＋25n2)
＝－(m－5n)2; 　　
(2)9(x－y)2－12(x－y)＋4.
解：原式＝[3(x－y)－2]2
＝(3x－3y－2)2.
3．已知|b－4|＋a2－a＋＝0，求ab的值．
解：根据题意，得|b－4|＋＝0.
∵|b－4|≥0，（a－）2≥0，
∴b－4＝0，a－＝0，解得b＝4，a＝.
∴ab＝＝.
◆活动5　课堂小结
1．判断多项式是不是完全平方式．
2．根据完全平方式的特点，用完全平方公式分解因式．
1．作业布置
(1)教材P132　习题17.2第2题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思
第3课时　提公因式法与公式法的综合运用
1．综合运用提取公因式法和利用公式法分解因式．
2．理解并掌握运用提公因式法和公式法分解因式的一般步骤．
▲重点
理解并掌握运用提公因式法和公式法分解因式的一般步骤．
▲难点
能熟练运用提公因式法和公式法进行因式分解并解决问题．
◆活动1　新课导入
1．提出问题：
(1)什么是因式分解法？
答：把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作因式分解，也叫作把这个多项式分解因式．
(2)什么是公式法？
答：运用公式（完全平方公式和平方差公式）把多项式分解因式的方法叫作公式法．
(3)完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝(　a＋b　)2，a2－2ab＋b2＝(　a－b　)2.
平方差公式：a2－b2＝(　a＋b　)(　a－b　).
2．分解因式．
(1)4x2－25；　(2)(2x＋y)2－(x－2y)2；　(3)x2－9y2；　(4)x2＋6x＋9；
(5)(2m＋3n)2－(m－n)2；　(6)(x＋y)2－2(x＋y)＋1.
解：(1)原式＝(2x)2－52＝(2x＋5)(2x－5)；
(2)原式＝[(2x＋y)＋(x－2y)][(2x＋y)－(x－2y)]＝(3x－y)(x＋3y)；
(3)原式＝(x＋3y)(x－3y)；
(4)原式＝(x＋3)2；
(5)原式＝(2m＋3n＋m－n)(2m＋3n－m＋n)＝(3m＋2n)(m＋4n)；
(6)原式＝(x＋y－1)2.
◆活动2　探究新知
1．分解因式：81a4－16.
提出问题：
(1)多项式81a4－16有两项，符合完全平方公式还是平方差公式特点？
(2)81a4和16能改写成(am)n的形式吗？
(3)9a2－4能否继续分解，9a2＋4呢？
(4)分解因式，你有什么发现？
学生完成并交流展示．
2．分解因式：－3ax3＋12ax2－15ax.
提出问题：
(1)这个多项式含有几项？符合平方差公式的特点还是完全平方公式的特点？
(2)能直接用完全平方公式吗？
(3)提出公因式－3ax后，另一个因式是什么？
(4)分解因式后你有什么发现？
学生完成并交流展示．
◆活动3　知识归纳
因式分解的解题思想和解题步骤：
一提：先考虑用提公因式法（公因式可以是数字、单项式或多项式）；
二套：然后考虑用公式法（平方差公式或完全平方公式），能连续用公式分解的要继续分解；
三分解：一定要分解到每个因式不能再分解为止．
◆活动4　例题与练习
例1　教材P131　例5.
例2　教材P131　例6.
例3　因式分解：
(1)(3x＋1)2－(x－3)2；　(2)x2(x－y)2－4(y－x)2；
(3)(a＋2b)2＋2(a＋2b－1)＋3；　(4)(m2－4m)2＋8(m2－4m)＋16.
解：(1)原式＝(3x＋1＋x－3)(3x＋1－x＋3)＝(4x－2)(2x＋4)＝4(2x－1)(x＋2)；
(2)原式＝x2(x－y)2－4(x－y)2＝(x－y)2(x2－4)＝(x－y)2(x＋2)(x－2)；
(3)原式＝(a＋2b)2＋2(a＋2b)＋1＝(a＋2b＋1)2；
(4)原式＝(m2－4m＋4)2＝(m－2)4.
练习
1．因式分解：
(1)2m2－12m＋18＝　2(m－3)2　；
(2)(a－b)2＋4ab＝　(a＋b)2　.
2．若a＋b＝2，ab＝－4，则a3b＋2a2b2＋ab3的值为　－16　.
3．教材P132　练习第1，2题．
4．分解因式：
(1)x2－4y2＋a2－b2＋2ax＋4by；
(2)a2＋2ab＋b2－1.
解：(1)原式＝(x2＋2ax＋a2)－(4y2－4by＋b2)＝(x＋a)2－(2y－b)2＝(x＋a＋2y－b)(x＋a－2y＋b)；
(2)原式＝(a＋b)2－1＝(a＋b－1)(a＋b＋1).
◆活动5　课堂小结
多项式的因式分解，有公因式的先提取公因式，再运用公式法分解因式．最后检查每一个因式一定不能再分解．
1．作业布置
(1)教材P132　习题17.2第4，5，6题；
(2)对应课时练习．
2．教学反思

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