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24.2　直角三角形的性质
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.理解掌握直角三角形的性质定理,并能灵活运用.
2.继续学习几何证明的分析方法,懂得推理过程中的因果关系.知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律.
重点:直角三角形的性质及其应用.
难点:直角三角形性质的论证及应用.
已经学过的直角三角形的性质:
(1)　直角三角形的两个锐角互余　.
(2)　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)　.
问题1:如图所示,画Rt△ABC,并画出斜边AB上的中线CD.量一量,看看CD与AB有什么关系.
(1)猜一猜,量一量:
AD=　BD　=AB;CD　=　AD　=　BD;CD=　　AB.
(2)猜想:直角三角形斜边上的中线与斜边有什么关系
解:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(3)证明:
如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的中线.求证:CD=AB.
证明:如图所示,延长CD至点E,使DE=CD,连结AE,BE,
因为CD是斜边AB上的中线,
所以AD=DB.
又因为DE=CD,所以四边形ACBE是平行四边形.
又因为∠ACB=90°,
所以四边形ACBE是矩形,
所以CE=AB.所以CD=CE=AB.
[归纳] 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
符号语言:在Rt△ABC中,CD是斜边AB的中线,所以CD=AB.
问题2:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,求证:BC=AB.
解:如图所示,作斜边AB上的中线CD,
则CD=AB=AD=BD.
因为∠A=30°,∠ACB=90°,
所以∠B=60°.
所以△BCD是等边三角形.
所以BC=CD=AB.
[归纳] 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
范例应用
例1　如图所示,测量垂直于地面的旗杆AB的高度时,先在地面上选择一点C,使∠ACB=15°,然后朝着旗杆方向前进到点D,测得∠ADB=30°,量得CD=13 m,求旗杆AB的高度.
解:因为∠ACB=15°,∠ADB=30°,
所以∠CAD=∠ADB-∠ACB=30°-15°=15°.
所以∠ACB=∠CAD.
所以AD=CD=13 m.
在△ADB中,因为AB⊥DB,∠ADB=30°,
所以AB=AD=×13=6.5(m).
答:旗杆AB的高度为6.5 m.
例2　如图所示,在△ABC中,BD,CE分别是AC,AB边上的高,G,F分别是BC,DE的中点,连结GF.求证:GF⊥DE.
证明:如图所示,连结GE,GD.
在△ABC中,因为BD,CE分别是AC,AB边上的高,
所以△BEC和△BDC是直角三角形.
因为G是BC的中点,所以GE=BC=GD.
所以△GED是等腰三角形.
因为F是DE的中点,所以GF⊥DE.
[方法归纳]在直角三角中看到中点,经常用构造斜边的中线的方法,再用“斜边的中线等于斜边的一半这个性质”,这是常用到的辅助线.
例3　如图所示,在四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,∠C=60°,BC=4,CD=3,求AB的长.
解:如图所示,延长DA,CB交于点E.
因为∠D=90°,∠C=60°,
所以∠E=30°.
在Rt△ABE中,∠E=30°,
设AB=x,则AE=2x.
根据勾股定理,得BE==x.
所以CE=BC+BE=4+x.
在Rt△DCE中,因为∠E=30°,
所以CD=CE,即(4+x)=3,
解得x=.
故AB的长为.
例4　如图所示,在△ABC中,AD是高,CE是中线,G是CE的中点,DG⊥CE,G为垂足.
(1)求证:DC=BE;
(2)若∠AEC=66°,求∠BCE的度数.
(1)证明:如图所示,连接DE.
因为G是CE的中点,DG⊥CE,
所以DE=DC.
因为AD是高,CE是中线,
所以DE=BE=AB.
所以DC=BE.
(2)解:因为DE=DC,所以∠DEC=∠BCE.
所以∠EDB=∠DEC+∠BCE=2∠BCE.
因为DE=BE,所以∠B=∠EDB.
所以∠B=2∠BCE.
所以∠AEC=∠B+∠BCE=3∠BCE=66°.
所以∠BCE=22°.
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC=12,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连结DE,则△CDE的周长为(C)
A.20 B.12 C.16 D.13
第1题图 第2题图
2.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E,交BC于点D,CD=3,则BC的长为(C)
A.6 B.8 C.9 D.3
3.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,AD恰好平分∠BAC.若DE=1,则BC的长是　3　.
第3题图 第4题图
4.如图所示,已知正方形ABCD的边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边的延长线上.若∠CAE=15°,则AE=　8　.
5.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BE⊥AC,垂足为E,M为AB边的中点,连结ME,MD,ED.
(1)求证:△MED为等腰三角形;
(2)若∠EMD=40°,求∠DAC的度数.
(1)证明:因为AD⊥BC,M为AB边的中点,
所以MD=AB.
同理ME=AB,所以ME=MD.
所以△MED为等腰三角形.
(2)解:因为ME=AB=MA,
所以∠MAE=∠MEA.
所以∠BME=2∠MAE.
又因为MD=AB=MA,
所以∠MAD=∠MDA.
所以∠BMD=2∠MAD.
所以∠EMD=∠BME-∠BMD=2∠MAE-2∠MAD=2∠DAC.
所以∠DAC=∠EMD=20°.
直角三角形的性质
1.直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
4.在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
24.2　直角三角形的性质
1.直角三角形的性质.
2.常用辅助线.
　　本节从复习已学过的直角三角形的性质入手,通过实验操作、猜想、证明、探究直角三角形斜边上的中线性质定理,培养学生识图的能力,提高分析和解决问题的能力,在积极参与定理的学习活动中,不断增强主体意识和综合意识.

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