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23.4　中位线
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.理解中位线的概念和性质.
2.能够利用中位线解决相关问题.
3.三角形中位线的性质定理及重心的推导过程.
重点:中位线的概念和性质,并能利用它解决简单的问题.
难点:中位线性质定理的证明方法和推理过程.
运用前面所学的知识填空:
1.什么是三角形的中线
中线:连结　顶点与对边中点　的线段.每个三角形都有　3　条中线.
2.思考:连结两边中点的线段又叫什么呢
知识点1　中位线的概念
连结三角形　两边中点　的线段叫做三角形的中位线.
如图所示,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,则DE是△ABC的中位线.
思考:每个三角形有几条中位线 中位线和中线有什么区别联系
[归纳] (1)中线为连结顶点与对边中点的线段,有 3条.中位线为连结三角形两边中点的线段,有3条.
(2)①如果D,E分别为AB,AC的中点,那么DE为△ABC的中位线;②如果DE为△ABC的中位线,那么D,E分别为AB,AC的中点.
知识点2　探究中位线的性质
探究一:
1.如图所示,在△ABC中,DE∥BC,可得　△ADE∽△ABC　.
所以=.
在上题中,如果D为AB的中点,则==,
即AE=　AC　.
所以E也为AC的中点.
探究二:
如图所示,在△ABC中,中位线DE和边BC有什么关系 引导学生证明得出.
证明:在△ABC中,因为点D,E分别是AB与AC的中点,
所以==.
因为∠A=∠A,
所以△ADE∽△ABC.
所以==.
因为∠ADE=∠ABC,
所以DE∥BC,且DE=BC.
[归纳] (让学生归纳,多找几个学生,并追问学生三角形的中位线性质定理有几个结论):三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
因为DE是△ABC的中位线,
所以DE∥BC,且DE=BC.
范例应用
例1　如图所示,已知在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,F,G分别是AD,AE的中点,且FG=2 cm,则BC的长度是　8　cm.
例2　求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.
如图所示,在△ABC中,AD=DB,BE=EC,AF=FC.
求证:AE,DF互相平分.
[点拨] 根据平行四边形的性质可以证明AE,DF互相平分.
证明:如图所示，连结DE,EF.
因为AD=DB,BE=EC,
所以DE∥AC.
同理可得EF∥BA.
所以四边形ADEF是平行四边形.
所以AE,DF互相平分.
例3　如图所示,在△ABC中,D,E分别是边BC,AB的中点,AD,CE相交于点G.求证:==.
证明:如图所示,连结ED.因为D,E分别是边BC,AB的中点,
所以DE∥AC,=(三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半).
所以△ACG∽△DEG.
所以===.
所以==.
知识点3　探究中点四边形
求证:顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.
已知:如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.
求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:如图所示,连接BD.
因为E,H分别是AB,AD的中点
所以EH是△ABD的中位线.
所以EH=DB,EH∥DB.
同理:FG是△CBD的中位线
所以FG=DB,FG∥DB.
所以EH=FG,EH∥FG.
所以四边形EFGH是平行四边形.
1.如图所示,要测定被池塘隔开的A,B两点的距离,可以在AB外选一点C,连结AC,BC,并分别找出它们的中点D,E,连结ED.现测得AC=30 m,BC=40 m,DE=24 m,则AB为(B)
A.50 m B.48 m C.45 m D.35 m
第1题图 第2题图
2.如图所示,在△ABC中,AB=3,BC=4,AC=2,D,E,F分别为AB,BC,AC的中点,连结DF,FE,则四边形DBEF的周长是(B)
A.5 B.7 C.9 D.11
3.如图所示,△ABC的面积是12,点D,E,F,G分别是BC,AD,BE,CE的中点,则△AFG的面积是(A)
A.4.5 B.5 C.5.5 D.6
第3题图 第4题图
4.如图所示,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=5 cm,则AD的长为　10　cm.
5.如图所示,在△ABC中,AC=3,BC=4,若AC,BC边上的中线BE,AD垂直相交于点O,则AB=　　.
6.如图所示,AD,AE分别是△ABC的角平分线和中线,CG⊥AD于点F,交AB于点G,若AB=8,AC=6,求EF的长.
解:因为AD为△ABC的角平分线,CG⊥AD,
所以△ACG是等腰三角形.
所以AG=AC=6,FG=CF.
所以BG=AB-AG=2.
因为AE为△ABC的中线,
所以EF是△BCG的中位线.
所以EF=BG=1.
中位线
一、三角形的中位线
1.定义:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.
二、三角形的重心
1.定义:三角形三条边上的中线交于一点,这个点就是三角形的重心.
2.性质:重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
23.4　中位线
1.定义.
2.三角形的中位线定理.
3.中位线的应用.
4.三角形的重心.
　　本节课注重了学生的思考过程,让学生类比中线,归纳出中位线的概念,然后步步探究并归纳中位线的性质.不断地引导学生去探索、自主学习.整个教学活动始终建立在学生的认识发展水平和已有的知识经验基础之上的,体现了学生学习的过程是在教师的引导下自我建构、自我生成的过程.

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