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13.2.2 三角形的中线、角平分线、高 教学设计
一、教学目标
1.掌握三角形的高，中线及角平分线的概念.
2.掌握三角形的高，中线及角平分线的画法.
3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.
二、教学重、难点：
重点：三角形的高、中线与角平分线.
难点：三角形的角平分线与角的平分线的区别，画钝角三角形的高.
三、教学过程：
情境引入
把一根橡皮筋的一端固定在△ABC的顶点A上，再把橡皮筋的另一端从点B沿着BC边移动到点C.
观察移动过程中形成的无数条线段(AD、AE、AF、AG…)中有没有特殊位置的线段？你认为有哪些特殊位置？
【设计意图】通过课件中的动画演示让学生在动态的图形变化中发现特殊情况，引发学生去分析和思考，初步确定三条重要的线段---三角形的高、中线与角平分线，为下一步新知学习做好铺垫。
复习回顾
1.垂线的定义：
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线.
2.线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点.
3.角平分线的定义：
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
知识精讲
高线
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗？如何求△ABC的面积？
从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.(也叫三角形的高线，简称三角形的高)
几何语言 反之
∵ AD是△ABC的高 ∵ ∠BDA=90°(∠CDA=90°)
∴ ∠BDA=∠CDA=90° ∴ AD是△ABC的高
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的高吗？你有何发现？
锐角三角形的三条高
画出一个锐角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高
画出一个直角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
直角边BC边上的高是____；
直角边AB边上的高是____；
斜边AC边上的高是____.
钝角三角形的三条高
画出一个钝角三角形，并且画出这个三角形的三条高.这三条高之间有怎样的位置关系？
归纳：三角形的三条高所在直线交于同一点.
中线
思考：已知D是BC的中点，试问△ABD的面积与△ADC的面积有何关系？
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
几何语言 反之
∵ AD是△ABC的中线 ∵ BD=CD (或BD=BC)
∴ BD=CD=BC ∴ AD是△ABC的中线
用同样的方法你能画出△ABC的另两条边上的中线吗？你有何发现？
探究：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，认真观察! 你可得到什么结论？
归纳：三角形的三条中线相交于一点. 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
角平分线
任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗？你能通过折纸的方法得到它吗？
∠BAC的平分线AD，交∠BAC所对的边BC于点D，所得线段AD叫做△ABC的的角平分线.
几何语言 反之
∵ AD是△ABC的角平分线 ∵ ∠1=∠2
∴ ∠1=∠2=∠BAC ∴ AD是△ABC的角平分线
画出△ABC的另两条角平分线，观察三条角平分线，你有什么发现？
探究：分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，认真观察! 你可得到什么结论？
三角形的三条角平分线交于同一点.
【设计意图】借助学生对问题的解决，唤醒学生对三角形的高线、中线与角平分线的认识与确认，有助于新知的解决,并且发展学生的观察力与语言表述能力.通过折或画出高线、中线与角平分线，提高学生的基本作图能力，发展其空间观念.小组合作交流，并通过观察、猜想经历知识的发展形成过程，体验了“发现知识的快乐，变被动接受为主动探究.
典例解析
例1.如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于点D，且AD＝4，若点P在边AC上移动，求BP的最小值.
解：根据垂线段最短，可知当BP⊥AC时，BP有最小值．
由△ABC的面积公式可知,
AD×BC＝BP×AC.
代入数值，可解得BP＝.
【点睛】面积法的应用：若涉及两条高求长度，一般需结合面积(但不求出面积)，利用三角形面积的两种不同表示方法列等式求解.
【针对练习】
如图所示，AD，CE是△ABC的两条高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AD的长．
解：（1）由题意得： _(△ )=1/2AB×CE=1/2×6×9=27cm2 ．
（2）∵ _(△ )=1/2 BC×AD，
∴ 27=1/2×12×AD
解得AD=4.5cm．
例2.如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC＝2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF和△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12，求S△ADF－S△BEF的值.
解：∵点D是AC 的中点，∴AD＝AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝S△ABC＝×12＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，
∴S△ABE＝S△ABC＝×12＝4.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
∴S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
【点睛】三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．
【针对练习】
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，AB与AC的长度和为11cm，求AC的长．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，CD=BD．
∵△ADC的周长比△ABD的周长多3cm．
∴AC-AB=3cm．
又∵AB+AC=11cm，
∴AB=4cm，AC=7cm．即AC的长度是7cm．
例3.如图，在△ABC中，∠BAC=100°，AD⊥BC于D点，AE平分∠BAC交BC于点E．若∠C=26°，则∠DAE的度数为______．
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=180°-∠ADC-∠C=180°-90°-26°=64°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE= ∠BAC= ×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=64°-50°=14°．
故答案为14°．
【针对练习】
如图所示，△ABC的两条角平分线相交于点D，过点D作EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为30cm，则AB+AC=_____cm．
答案：30
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.下列各组图形中，表示线段AD是△ABC中BC边上的高的图形为（ ）
2．如图，在△ABC中，AD⊥AB，有下列三个结论：①AD是△ACD的高；②AD是△ABD的高；③AD是△ABC的高．其中正确的结论是（ ）
A．①和② B．①和③ C．②和③ D．只有②正确
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，AC=8，AB=10，BC=6，则CD的长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
5．如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC边上的任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若=6 ，则PE+PF______．
6．已知△ABC中，AC=30cm，中线AD把△ABC分成两个三角形，这两个三角形的周长差是12cm，则AB的长是________________．
7．如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线，△ABE的面积=12cm2，AD=4.8cm，∠CAB=90°，AB=6cm．求：
（1）BC的长；
（2）△ABC的周长．
【参考答案】
1.D
2.D
3.B
4.A
5.6
6. 42cm或18cm
7.解：（1）∵△ABE的面积=12cm2，AD是△ABC的高，AD=4.8cm，
∴ BE×AD=12，
∴BE=5cm.
∵AE是△ABC的中线，
∴BC=2BE=10cm.
（2）AD是△ABC的高，AD=4.8cm，BC=10cm，AB=6cm，
又∵AC×AB=BC×AD
∴AC===8cm
∴△ABC的周长=6+8+10=24cm．
四、教学反思
本节课由一个动画演示引入，让学生意识到三角形中有很多条特殊的线段. 然后从画图入手，分三种情况：即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法.

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