资源简介

13.3.2 三角形的外角 教学设计
一、教学目标：
1.理解并掌握三角形的外角的概念,并能够在复杂图形中找出外角.
2.掌握三角形的外角的性质和三角形外角和．
3.会利用三角形的外角性质解决有关问题.
二、教学重、难点：
重点：掌握三角形的外角的性质和三角形外角和.
难点：会利用三角形的外角性质解决有关问题.
三、教学准备：
课件、三角尺、铅画纸、小剪刀。。
四、教学过程：
情境引入
在绿茵场上，某足球队员在O处受到阻挡需要传球.请帮助作出选择，应传给在A处的球员还是B处的球员，其射门不易射偏，请说明理由.(不考虑其他因素)
【设计意图】通过创设足球射门情境，来激发学生学习热情，为新知学习做好铺垫。
知识精讲
三角形的内角是三角形内部的骄子.
那三角形的外部呢？
什么都没有呀，让人感到很无奈!
只要你添上一笔就精彩了!
把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD. 像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
画一个△ABC，你能画出它的所有外角来吗？请动手试一试. 同时想一想外角与相邻内角有什么特殊关系？
归纳：
1.每个外角是相邻内角的邻补角；
2.每一个顶点相对应的外角都有２个；
3.每一个三角形都有６个外角.
【针对练习】如图,∠ADC是哪个三角形的外角？∠BDC是哪个三角形的外角？∠DFE是哪个三角形的外角？
思考：如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°. ∠ACD是的一个外角. 能由∠A，∠B求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
解：在△ABC中，
∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠ACB=180°-70°-60°=50°，
∴∠ACD=180°-50°=130°，
∠ACD=∠A+∠B.
思考：任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
证明：∵ ∠A+∠B+∠ACB=180°，
∠ACB+∠ACD=180°，
∴ ∠A+∠B=180°-∠ACB，
∠ACD=180°-∠ACB，
∴ ∠ACD=∠A+∠B.
推论1：一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠A+∠B.
推论2：如图，根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.(∠ACD=∠A+∠B)完成下列填空：
∠ACD ___ ∠A (填＜、＞) ∠ACD ___ ∠B (填＜、＞)
因此，我们还可以得出这样的结论：
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
几何语言：
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
典例解析
例1.如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，得
∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
所以 ∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3) ，
由∠1+∠2+∠3=180°，
得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
你还有其它解法吗？
解法二：如图，∠BAE+∠1=180° ① ，
∠CBF+∠2=180° ②，
∠ACD+∠3=180° ③，
又知∠1+∠2+∠3=180°，
①+②+③得
∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540 °，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
结论：三角形的外角和等于360°.
【针对练习】
说出下列图形中∠1和∠2的度数.
例2.如图，在△ABC中,∠BAC=80°,∠B=60°,AD是△ABC的高,点E在BC边上,且AE是∠DAC的角平分线,EF//AC,求∠AEC和∠AFE的度数．
解：∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠DAC＝∠BAC－∠BAD＝50°，
又∵AE是∠DAC的角平分线，
∴∠DAE＝1/2∠DAC＝25°，
∵∠AEC是△ADE的外角，∴∠AEC＝∠ADC+∠DAE＝90°+25°=115°，
∵∠BAC＝80°，∠B＝60°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝40°，
∵EF∥AC，
∴∠DEF＝∠C＝40°，
∵∠AFE是△DEF的外角，
∴∠AFE＝∠ADC+∠DEF＝90°+40°=130°．
【针对练习】如图，点O是△ABC内一点，连接BO，CO，CO恰好平分∠ACB，延长BO交AC于点E．已知∠A=50°，∠BCO=35°，∠BEC=65°，求∠ABO和∠OBC的度数．
解：∵∠A=50°，∠BCO=35°，
∴∠ABO=∠BEC-∠A=65°-50°=15°，
∵CO平分∠ACB ，∠BCO=35°，
∴∠BCA=2∠BCO=70°，
∴∠ABO=180°-∠A-∠BCA=180°-50°-70°=60°，
∴∠OBC=∠ABC-∠ABO= 60°-15°=45°．
例3.如图，已知AD是△ABD和△ACD的公共边.求证:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
证明:延长AD.
∵∠BDE与∠CDE分别是△ABD与△ACD的外角，
∴BDE=∠1+∠B，∠CDE=∠2+∠C，
∵∠BAC=∠1+∠2，∠BDC=∠BDE+∠CDE，
∴∠BDC=∠1+∠B+∠2+∠C
=∠BAC+∠B+∠C.
方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．
【针对练习】
如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：连接AD并延长于点E.在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，在△ACD中，∠2+∠ACD=
∠4.因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51°+20°+30°=101°.
解法二：延长BD交AC于点E.在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三:连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
【点睛】解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
课堂小结
1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？
【设计意图】培养学生概括的能力。使知识形成体系，并渗透数学思想方法。
达标检测
1.三角形的三个内角之比分别是1:2:3，则此三角形的最大外角为______度.
2.三角形的三个外角(各顶点取一个)中，最多有____个锐角;
3.等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_____________.
4.如图，∠1=_____.
5.如图，CE⊥AF于E，若∠F=40°，∠C=50°，则∠DBC=_____.
6.如图，AB//CD，∠A=38°，∠C=80°，则∠M=_____.
7.求出图中的x的值.
8.如图，在五角星的图中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
9.己知:如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C.求证: AD//BC.
10.如图，BD是∠ABC的角平分线，CD是△ABC的外角平分线,BD、CD交于D，试探索∠A与∠D的关系.
【参考答案】
1.150
2.1
3.30°或75°
4.120°
5.80°
6.42°
7.解:由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列方程得
x+x+10=x+70，
解得x=60.
因此，x的值为60.
8.解:∵∠1是△BDF的一个外角∴∠1=∠B+∠D，
∵∠2是△EHC的一个外角∴∠2=∠C+∠E，
∵∠A+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
9.证明:∵∠EAC=∠B+∠C且∠B=∠C，
∴∠B=∠EAC，
∵AD平分∠EAC，
∴∠DAE=∠EAC，
∴∠DAE=∠B，
∴AD//BC.
10.解:∵∠ACE是△ABC的外角∴∠ACE=∠A+∠ABC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE ∴∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，
∴∠DCE= ∠A+∠DBC，
∵∠DCE是△DBC的外角∴∠DCE=∠D+∠DBC，
∴∠D+∠DBC=∠A+∠DBC，
即∠D=∠A.
五、教学反思：
本节的知识内容很突出，要让学生了解三角形的外角及其性质，所以在教学过程中，应让学生自主探索，利用多种方法进行研究. 同时要关注学生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生的逻辑思维和解决问题的能力. 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学基础的重要性，在获得数学活动经验的同时，提高学生的探究、发现和创新能力.

展开更多......

收起↑