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2.1 有理数的加法与减法 讲义
知识梳理
一、有理数加法
1.有理数加法法则
（1）同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
例如：（两个正数相加，结果为正，绝对值相加）；（两个负数相加，结果为负，绝对值相加）。
（2）异号两数相加：绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得。
例如：（正数绝对值大，结果取正，用大绝对值减小绝对值）；（负数绝对值大，结果取负，用大绝对值减小绝对值）；（互为相反数相加得）。
（3）一个数同相加：仍得这个数。
例如：，。
要点诠释：
1.在进行有理数加法运算时，首先要判断两数的符号情况，然后根据相应法则进行计算。
2.对于异号两数相加，确定结果的符号是关键，一定要比较两个加数绝对值的大小。
3.有理数加法运算的结果可能是正数、负数或，其符号和绝对值都由加数的情况决定。
二、有理数加法运算律
1.加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即。
例如：，无论加数位置如何交换，和不变。
2.加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即。
例如：，先计算，再加上得到；右边先计算，再加上也得到。
要点诠释：
1.加法交换律和结合律可以推广到多个有理数相加的情况。
2.利用加法运算律可以简化有理数加法运算，通常将互为相反数的数结合相加（和为），将同号的数结合相加，这样能使计算更简便。
三、有理数减法
1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即。
例如：；（减去一个负数，等于加上它的正数形式的相反数）。
要点诠释：
1.有理数减法运算转化为加法运算后，就可以按照有理数加法法则进行计算。
2.理解“减去一个数等于加上这个的相反数”这一转化思想是掌握有理数减法的关键，它将减法运算纳入到加法运算的体系中，便于统一运算规则。
四、有理数加减混合运算
1.运算方法：有理数的加减混合运算，可以通过减法法则将减法转化为加法，然后按照加法运算律进行简便计算。
例如：，然后可以利用加法交换律和结合律，将和结合，和结合进行计算。
要点诠释：
在进行加减混合运算时，要先将减法全部转化为加法，再观察式子中数的特点，合理运用加法运算律进行简便运算，这样能提高计算效率，减少错误。
巩固练习
一、选择题
1．根据有理数加法法则，计算过程正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，不适合储存这种食品的是（　　）
A． B． C． D．
3．算筹我国是最早认识负数并进行相关运算的国家，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用算筹（小棍形状的记数工具）来表示正负数，其中正放表示正数，斜放表示负数，例如图①表示的是的运算过程．按照这种方法，可推算图②中的算式为（　　）
A． B． C． D．
4．文文想了解北京某天的天气情况，用手机查询到北京这天的天气情况如图所示，则北京这天的温差（最高气温与最低气温的差）为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，如果数轴上A，B两点之间的距离是5，且点B在原点左侧，那么点B表示的数是（　　）
A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2
6．下列运算错误的是（　　）
A． B．
C． D．
7．如果，且，那么m，n，，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知，，且，则的值为（　　）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
9．式子写成省略括号和加号的形式是　 　．
10． 已知A地的海拔是-53米，而 B地比 A 地高30米，则B地的海拔是　 　米.
11．如图，数轴上A，B两点所表示的有理数的和为　 　.
12． - 4.5 与2.5 之间的所有整数之和是　 　.
13．计算： =　 　.
14．若a的相反数是-3，b的绝对值是4，则a-b=　 　.
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）4.8-3.4-(-4.5).
（3）
（4）
16．某学习小组学生的平均身高是，班长嘉淇记录了部分数据如下表．
姓名
身高/ 162 　 160 　 　 175
与平均身高的差值/ 　 　
（1）将上表补充完整；
（2）最高与最矮的学生是谁？他俩身高相差多少？
17．计算：
王林的做法如下：
解：原式（第一步）
（第二步）
（第三步）
（第四步）
王林发现自己的答案和同学们的不一样．
（1）解法中第二步运用了：　 　（运算律）；
（2）请指出他从第 ▲ 步开始出现错误，写出正确的解题过程．
18．张华记录了今年雨季某地河水的水位变化情况，如下表所示(正号表示比前一天高，负号表示比前一天低)：
星期 一 二 三 四 五 六 日
水位变化(m) +0.25| +0.80 -0.40 +0.03 +0.28 -0.36 -0.04
（1）本周星期　 　的水位最高，星期　 　的水位最低.
（2）与上周日相比，本周日的水位是上升了还是下降了(写出计算过程)
19．如下图所示，在数轴上，a，b，c对应的数，且b和c到原点距离相等，结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：
（1）如果a，b，c对应的数分别为、、，则数轴上表示5与a的两点之间的距离是______；表示和c两点之间的距离是______；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．则a到c的距离是______
（2）确定符号： ______0， _____0，_____0，______0；
（3）化简：；
参考答案
1．D
2．A
3．B
4．B
5．D
6．A
7．B
8．C
9．
10．-23
11．-1
12．-7
13．-4.75
14．7或-1
15．（1）解：原式=-1.25+2.75=1.5
（2）解：原式=4.8-3.4+4.5=5.9
（3）解：
（4）解：原式=2.5+2.5+1-1.5=4.5
16．（1）解：由题意得：平均身高为，
，
将表补充完整如下：
姓名
身高/ 162 173 160 158 168 175
与平均身高的差值/
（2）解：由表格数据可得学生最高，学生最矮；
他俩身高相差。
17．（1）加法交换律和结合律
（2）解他从第三步开始出现错误，正确的解题过程如下：
18．（1）二；一
（2）解：0.25 + 0.80 - 0.40 + 0.03 + 0.28 - 0.36 - 0.04 = 0.56m
由于计算结果为正数，所以与上周末相比，本周日的水位是上升了.
19．（1）；；
（2），，，
（3）解：∵，，∴
．

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