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2.2 有理数的乘法与除法 讲义
知识梳理
一、有理数乘法
1.有理数乘法法则：
（1）两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。例如：
①同号情况：（两个正数相乘，结果为正，绝对值相乘）；（两个负数相乘，结果为正，绝对值相乘）。
②异号情况：（正数与负数相乘，结果为负，绝对值相乘）；。
（2）任何数与0相乘：都得0。例如：，。
要点诠释：在进行有理数乘法运算时，首先要准确判断两数的符号，根据“同号得正，异号得负”确定乘积的符号，然后再计算绝对值的乘积。乘积的结果的符号与两因数的符号关系密切，这是有理数乘法运算的关键步骤之一。
2.多个有理数相乘：
（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就为0。
要点诠释：确定多个有理数相乘的积的符号时，只需数出负因数的个数，不必考虑正因数的个数。例如：计算，这里有3个负因数（奇数个），所以积为负，先确定符号后再计算绝对值相乘，即积为。
3.有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。即。例如：。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。即。例如：，先计算，再乘以得到；右边先计算，再乘以也得到。
（3）乘法分配律：一个数与两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即。例如：，左边，右边。
要点诠释：乘法交换律和结合律可以方便地改变乘法运算的顺序，在进行多个有理数乘法运算时，可根据因数的特点灵活运用这些运算律来简化计算。乘法分配律常用于式子中有一个数与一个和或差的形式相乘的情况，通过分配律可以将乘法转化为较简单的乘法和加法（或减法）运算，降低计算难度。
二、有理数除法
1.有理数除法法则：
（1）除以一个不等于0的数：等于乘上这个数的倒数。即。例如：；。
（2）两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除。例如：
①同号情况：（两个正数相除，结果为正，绝对值相除）；（两个负数相除，结果为正，绝对值相除）。
②异号情况：（正数与负数相除，结果为负，绝对值相除）；。
要点诠释：有理数除法运算首先要判断两数的符号，根据“同号得正，异号得负”确定商的符号，然后再进行绝对值的相除。同时要注意，除数不能为0，因为0没有倒数，这是进行有理数除法运算的基本前提。
2.有理数的乘除混合运算： 在进行有理数的乘除混合运算时，通常按照从左到右的顺序依次进行计算，也可以根据乘除法的运算律将运算进行适当调整，以简化计算。例如：，按照从左到右的顺序计算，先计算，再除以4得到，最后乘以得到；如果利用运算律，可将式子变形为，先计算括号内的，再进行乘法运算，也能得到相同结果。
要点诠释：在乘除混合运算中，要注意运算顺序，同时合理运用运算律能提高计算效率。当式子中有括号时，先算括号内的，再按照顺序进行乘除运算。
巩固练习
一、选择题
1．下列算式中，积为负数的是 （　　）
A．0×(-5) B．
C．(-1.5)×(-2) D．4×(-0.5)×(-10)
2．下列计算结果最小的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式中计算正确的有（　　）
① ；② ；③ ；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（　　）
A． B．
C． D．
5．计算的结果是（　　）
A． B． C． D．1
6．在等五个数中，任意三个数的积最小为（　　）
A． B． C． D．
7．小航在计算时，误将“”看成“”得到的结果是，则的正确结果是（　　）
A． B． C．2 D．1
8．已知，且， 则的值为（　　）
A．2 B． C． D．或
二、填空题
9．两数的商是，被除数是，则除数是　 　．
10．若高度每增加1千米，气温就下降，现在地面气温是，那么离地面高度为6千米的高空的气温是　 　℃
11．绝对值不小于1且小于3的所有整数的积是　 　．
12．若，则=　 　．
13．已知是有理数，若，则　 　．
14．现定义两种运算“ ”和“※”．对于任意两个有理数，，如，， 如， 则　 　．
三、解答题
15．计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
16． 列式并计算：
（1）已知一个数与 的积是4，求这个数。
（2）一个数除以1 的相反数的商为一4，求这个数。
17． 小明有 5 张写着不同数字的卡片，请按要求抽出卡片，解答下面各题：
（1）从中抽出2 张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取 最小值是多少
（2）从中抽取三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，如何抽取 最大值是多少
18．学习了有理数的乘法后，老师给同学们出示了这样一道题目：计算看谁算得又快又对，有两位同学的解法如下：聪聪：原式
明明：原式
（1）对于以上两种解法，你认为谁的解法更简便
（2）睿睿认为还有一种更好的方法，请你仔细思考，把它写出来．
（3）用你认为最合适的方法计算：．
19．一辆出租车从公司出发，在南北向的北京路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负）：
第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
5千米 2千米 千米 千米 6千米
（1）接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？
（2）该出租车送完第五批客人之后回到公司，若出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？
参考答案
1．B
2．C
3．A
4．A
5．A
6．B
7．B
8．C
9．
10．
11．0
12．
13．3或
14．
15．（1）解：原式=
=
=
（2）解：原式=
=
（3）解：原式=
=
（4）解：原式=
=
（5）解：原式=
=
=
（6）解：原式=
=3
16．（1）；
（2）.
17．（1）解：由商最小，可知为负数，即两数一正一负，
∴抽取-5和3，最小值为 ；
（2）解：由题意可得，结果为正数，即三个数中有两个负数，一个正数，
∴抽取-5，4和-3，最大值为 .
18．（1）解：观察两个同学的方法，明明的计算量要小一点，所以明明的解法更简便．
（2）解：
（3）解：
19．（1） 解：
答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南边6千米处.
（2）解： (升)。
答：在这过程中共耗油6升.

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