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21.1 一元二次方程 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、一元二次方程的定义
1.定义内容：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
2.一般形式：一元二次方程的一般形式是。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。例如方程，这里，，。
二、一元二次方程的识别
1.判断方法：要判断一个方程是否为一元二次方程，需看它是否满足以下几个条件：
（1）首先是整式方程，即方程中的分母不含未知数。比如就不是一元二次方程，因为它的分母含有未知数，是分式方程。
（2）只含有一个未知数。像含有两个未知数和，所以不是一元二次方程。
（3）未知数的最高次数是。例如，未知数的最高次数是，它是一元一次方程，而不是一元二次方程。
三、一元二次方程的根
1.定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的根，也叫做一元二次方程的解。比如对于方程，当或时，方程左右两边相等，所以和就是这个一元二次方程的根。
【易错点】
一、关于一元二次方程的一般形式
1.易错点：忽视这个条件。在一元二次方程的一般形式中，作为二次项系数不能为，如果，那么方程就变成了，这是一元一次方程了。例如方程，实际上它就是，是一元一次方程，而不是一元二次方程，有些同学在判断或运用一元二次方程相关知识时，容易忽略这个关键条件。
二、方程的整理与识别
1.未化成最简形式就判断：有些方程需要先化简整理才能准确判断它是否是一元二次方程。比如，如果直接看可能会觉得它不是一元二次方程，但将左边展开并整理得到，进一步化简为，这说明原方程是恒等式，不是一元二次方程。但很多同学没有养成先化简再判断的习惯，容易出错。
2.对整式方程的理解不准确：如前面提到的分式方程和整式方程的区分，有些同学可能会误认为含有分式形式的式子只要能通过运算化成整式形式就是整式方程，这是错误的。比如，虽然化简后是，但原方程是分式方程，因为它最初的形式分母含有未知数，所以在判断方程类型时一定要看原始的方程形式是否符合整式方程的定义。
三、关于方程的根
1.漏解情况：当求解一元二次方程时，可能会出现漏解的情况。例如对于方程，开平方得到，但有些同学可能只得到，忘记了也是方程的根。在解一元二次方程时，要牢记根据平方根的性质，正数有两个平方根，它们互为相反数，所以要全面考虑所有可能的解，避免漏解。
2.代入检验的忽略：求出方程的根后，应该将根代入原方程进行检验，看是否能使原方程左右两边相等。有些同学在解题过程中往往忽略了这一步，特别是在较为复杂的计算后得到的根，可能会存在计算错误导致实际上并不满足原方程，如果不检验就无法发现这些错误。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．，， B．，， C．，； D．，，
3．关于x的方程是一元二次方程，则（　　）
A． B． C． D．
4．若是一元二次方程的一个解，则的值是（　　）
A． B．2 C．0 D．或0
5．一个小组有若干人，新年互相发送1条祝福信息，已知全组共发送306条信息，则这个小组有多少人？设这个小组有x人，根据题意可列方程（　　）
A． B． C． D．
6．若是关于的一元二次方程的解，则的值为（　　）
A． B．8 C． D．4
二、填空题
7．写出以的一个一元二次方程　 　．
8．方程的一次项系数是　 　．
9．将方程化为一般形式为　 　．
10．当　 　时，关于的方程是一元二次方程．
11．关于x的一元二次方程 有一个根是0，则k的值是　 　．
三、解答题
12．把方程 先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
13．已知关于x的方程（m-1）x2+x-2＝0．
（1）当m为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当m为何值时，此方程是一元二次方程？
参考答案
1．B
2．A
3．B
4．A
5．C
6．A
7．（答案不唯一）
8．-8
9．
10．
11．-2
12．解：去括号，得
移项、合并同类项，得
二次项系数化为 1，得
所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为 1，16，0．
13．（1）解：∵（m-1）x2+x-2＝0，
∴此方程是一元一次方程，则m-1＝0，
解得m＝1．
即m＝1时，此方程是一元一次方程；
（2）解：∵（m-1）x2+x＝2＝0，
此方程是一元二次方程，则m-1≠0，
解得m≠1．
即m≠1时，此方程是一元一次方程．

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