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21.2 解一元二次方程 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、直接开平方法
1.对于形如（）的一元二次方程，可以直接利用平方根的定义求解，即。
2.当方程为（）的形式时，先开平方，得到，然后再进一步求解的值，即（）。
易错点提示：
1.忽略条件：在使用直接开平方法时，一定要注意方程右边的常数必须是非负的，否则方程在实数范围内无解。例如对于方程，直接开平方法在实数范围内就不适用，不能错误地写成，要牢记负数在实数范围内没有平方根这一基本性质。
2.求解过程中符号错误：当对形如的方程开平方得到后，在进一步求解的过程中，要注意正确处理正负号。比如在求解方程时，开平方得到，不能只考虑这一种情况，而忽略了的情况，否则会导致漏解。
二、配方法
对于一元二次方程（），配方法的步骤如下：
1.先将二次项系数化为（如果），即方程两边同时除以，得到。
2.在等式两边加上一次项系数一半的平方，即，得到。
3.将左边式子变形为完全平方式，则方程变为。
4.最后再用直接开平方法求解的值。
易错点提示：
1.系数化为时出错：当二次项系数不为时，在将系数化为的过程中，要注意方程两边每一项都要除以二次项系数，不能只除了部分项，否则会导致方程变形错误。比如对于方程，应该将方程两边同时除以得到，而不能错误地写成（只除了二次项）。
2.添加项计算错误：在等式两边添加一次项系数一半的平方时，要准确计算这个值。例如对于方程，一次项系数一半的平方是，不能错误地计算成其他值，不然会导致后续配方过程出错。
3.配方后忘记还原方程求解：完成配方得到完全平方式后，不能忘记将其还原为可以用直接开平方法求解的形式，从而得出方程的解。比如配成的形式后，要继续进行开平方求解的步骤，否则无法得到方程的解。
三、公式法
对于一元二次方程（），其求根公式为。只要确定了方程中的、、的值，代入求根公式就可以求出方程的解。
易错点提示：
1.确定、、值错误：在代入求根公式时，要准确确定方程中的、、的值，尤其是当方程的形式比较复杂时。比如对于方程，如果把它看作关于的一元二次方程，设，则方程变为，此时，，，不能错误地把原方程中的系数直接当作、、的值代入求根公式，否则会导致求解错误。
2.计算错误：在求根公式中，是一个关键的部分，其计算结果会影响到方程的解。在计算时，可能会出现运算错误，比如符号错误、乘法运算错误等。例如在解方程，，，，计算应该是，不能错误地计算成其他值，不然会影响到求根结果。
四、因式分解法
如果一元二次方程（）可以通过因式分解将其转化为两个一次因式乘积的形式，即，那么令，根据“若两个数的乘积为零，则至少其中一个数为零”的原理，得到或，然后分别求解这两个一元一次方程就可以得到一元二次方程的解。
易错点提示：
1.因式分解错误：这是使用因式分解法的关键所在，如果因式分解不正确，就无法正确求解方程。例如对于方程，应该分解为，不能错误地分解成其他形式，比如，否则会导致求解出的结果错误。
2.遗漏方程的解：当得到两个一元一次方程和后，要分别求解这两个方程，不能只解其中一个而遗漏另一个方程的解。比如对于方程，因式分解为，得到和，不能只解了，得到，而遗漏了这个解。
五、韦达定理
对于一元二次方程（），设它的两个根为、，那么韦达定理指出：
1.两根之和。
2.两根之积。
例如，对于方程，根据求根公式可求得两根为，。这里，，。按照韦达定理，两根之和，而；两根之积，而，验证了韦达定理的正确性。
易错点提示：
1.记错公式：韦达定理的公式相对简单，但容易记错。一定要牢记两根之和是，两根之积是，不能混淆这两个公式，否则在运用韦达定理解决问题时会得出错误的结果。
2.未明确方程的、、值：在使用韦达定理时，首先要准确确定所给一元二次方程的、、的值，然后才能正确运用公式计算两根之和与两根之积。如果对、、的值判断错误，那么根据韦达定理得出的结果也必然是错误的。
3.应用场景错误：韦达定理主要用于已知一元二次方程求两根的关系，或者已知两根的关系反推一元二次方程的系数等情况。但有些同学可能会在不适合的场景下错误地尝试使用韦达定理，比如在方程还未确定是一元二次方程或者还未明确其系数时就想用韦达定理，这是不正确的做法，会导致解题思路混乱和结果错误。
【巩固练习】
一、选择题
1．用配方法解下列方程，其中应在左右两边同时加上4的是（　　）
A． B． C． D．
2．能用直接开平方法求解的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．用配方法解方程 时，原方程应变形为（　　）
A． B． C． D．
4．关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．一元二次方程的根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
6．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
7．关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（　　）
A．或 B． C． D．
8．已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（　　）
A．1 B． C． D．
二、填空题
9．把方程化成的形式，则的值是　 　．
10．如果关于 的方程 （ 为常数）有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是　 　．
11．已知三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程 的根，则这个三角形的周长为　 　.
12．设是方程的两个根，且，则m＝　 　．
13．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论：
①如果是的倒方程的解，则；
②如果，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根。
其中正确的有　 　（填正确的序号）
三、解答题
14．解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
15．以下是某同学解方程的过程：
解：方程两边因式分解，得，①
方程两边同除以，得，②
∴原方程的解为．③
（1）上面的运算过程第______步出现了错误．
（2）请你写出正确的解答过程．
16．已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程两实数根分别为和，且满足，求的值．
17．已知关于x的方程，其中a，b，c分别为三边的长．
（1）若是方程的根，试判断的形状；
（2）若方程有两个相等的实数根，且，求c的值．
参考答案
1．C
2．B
3．A
4．A
5．A
6．D
7．B
8．B
9．
10．k＜1
11．13
12．2
13．①②③
14．（1）解：，
移项得，
开方得，
∴，；
（2）解：，
移项得，
配方得，即，
开方得，
∴，；
（3）解：，
移项得，
因式分解得，
∴或，
∴，；
（4）解：，
开方得，
∴或，
∴，．
15．（1）②
（2）解：方程两边因式分解，得，
移项，得，
∴，
∴，．
16．（1）解：，
，
=（a-2）2+4，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+4＞0，即b2-4ac＞0，
无论为何值， 方程总有两个不相等的实数根.
（2）解：，
，即：，
∵和是方程x2-ax-2=0的两实数根，
∴由一元二次方程的根与系数的关系可得：
，，
∴，即，
解得：a=1或，
答：或．
17．（1）解：∵是关于x的方程的根，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴
∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

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