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21.3 实际问题与一元二次方程 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤
1.审题：认真阅读题目，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题。分清题目中的数量关系，哪些是常量，哪些是变量。
易错点提示：对题意理解不透彻，遗漏关键信息。例如在涉及行程问题时，没有注意到是相向而行还是同向而行等条件，导致后续列方程错误。
2.设未知数：根据题目所求问题，合理设出未知数。可以直接设未知数，即设所求的量为；也可以间接设未知数，通过设与所求量相关的其他量为，再进一步找出与所求量的关系。
易错点提示：设未知数不合理，使得后续列方程和求解变得复杂甚至无法进行。比如在面积问题中，应该设边长等与面积计算直接相关的量为未知数，但却设了一些不便于表示面积关系的量，增加了解题难度。
3.列方程：根据题目中的等量关系列出一元二次方程。常见的等量关系在不同类型的实际问题中有不同体现，如面积问题中长方形面积 = 长×宽，增长率问题中增长后的量 = 原来的量×(1 + 增长率) 等。
易错点提示：
（1）找不到正确的等量关系。例如在销售问题中，混淆利润、售价、成本之间的关系，本应是利润 = 售价 - 成本，却错误地列成其他关系，导致方程错误。
（2）对一些实际问题中的数量变化规律把握不准。比如在连续增长或降低问题中，没有正确理解每次增长或降低是在之前的基础上进行的，从而列错方程。
4.解方程：运用前面所学的解一元二次方程的方法（如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）求解所列出的一元二次方程。
易错点提示：
（1）在解方程过程中出现计算错误。如用公式法时，计算判别式的值出错，或者代入求根公式时计算失误。
（2）忘记检验方程的解是否符合实际问题的情境。因为一元二次方程可能有两个根，但在实际问题中，有些根可能不符合实际意义（如人数不能为负数、长度不能为负等），需要舍去。
5.检验并作答：把求得的方程的解代入原方程进行检验，看是否满足方程左右两边相等，同时还要检验解是否符合实际问题的背景和条件。然后根据检验结果，写出符合题意的答案。
易错点提示：只检验了是否是方程的解，而忽略了对实际意义的检验，导致给出不符合实际情况的答案。例如求出的物品单价是负数，却没有意识到这不符合实际，直接作为答案给出。
二、常见实际问题类型及相关知识点
1.面积问题
（1）常见图形的面积公式要牢记，如长方形面积（、分别为长和宽），正方形面积（为边长），三角形面积（为底，为高）等。
（2）根据题目描述，通过设未知数表示出图形的边长等相关量，再利用面积公式列出一元二次方程。例如，已知长方形的长比宽多厘米，面积是平方厘米，设宽为厘米，则长为厘米，可根据面积公式列出方程。
易错点提示：
（1）对图形的边长变化关系理解错误。比如在一个长方形的长和宽都增加一定长度后求面积变化的问题中，没有正确表示出增加后的长和宽，导致方程列错。
（2）在计算面积时，代入公式的量对应错误。例如把三角形的底和高弄反了代入面积公式，得出错误的方程。
2.增长率问题
（1）若原来的量为，平均增长率为，经过次增长后的量为，则有公式。同理，若为降低率问题，公式为（这里为降低率）。
（2）根据题目给定的关于原来的量、增长（或降低）后的量以及增长（或降低）次数等信息，设出增长率（或降低率）为未知数，利用上述公式列出方程。例如，某工厂去年的产量为件，今年预计产量比去年增加，设增长率为，今年产量为件，则可列出方程。
易错点提示：
（1）混淆增长率和增长后的量的概念。在列方程时，错误地把增长后的量当作增长率代入公式，导致方程错误。
（2）对于多次增长或降低的问题，没有正确理解每次增长或降低是在前一次的基础上进行的。比如在连续两年增长的问题中，第二年的增长应该是在第一年增长后的量的基础上进行，而不是在原来的量的基础上，若理解错误会列错方程。
3.销售问题
（1）掌握利润、售价、成本之间的关系，即利润售价成本。售价标价×折扣率（如果有折扣情况）。
（2）根据题目中关于成本、售价、利润以及销售数量等信息，设出合适的未知数（如设售价提高或降低的金额为未知数等），利用上述关系列出一元二次方程。例如，某商品成本为元，标价为元，若设售价降低元，则售价为元，利润为元，若已知某种销售数量与利润的关系，就可以据此列出方程。
易错点提示：
（1）对利润、售价、成本的关系记忆不准确，在列方程时出现错误的表达式。比如把利润错误地写成售价成本等。
（2）没有考虑到销售数量与利润之间的关系。有些题目中利润不仅与售价和成本有关，还与销售数量有关，若忽略这一点，方程就不完整，无法准确求解问题。
【巩固练习】
一、选择题
1．我国古代著作《四元玉鉴》中记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批株的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．根据题意可列方程，其中x表示（　　）
A．剩余椽的数量 B．这批椽的数量
C．剩余椽的运费 D．每株椽的价钱
2． 春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共49人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（　　）
A． B．
C． D．
3．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（　　）
A．6个 B．8个 C．9个 D．12个
6．某经济技术开发区今年一月份工业产值达50亿元，且一月份、二月份、三月份的总产值为亿元，若设平均每月的增长率为，根据题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．若干个好朋友除夕夜打电话互相问候，两个朋友之间都通话交流一次，一共通话次，设这些朋友一共人，则可列方程：　 　．
8．如图，某小区要在长为，宽为的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为　 　．
9．已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分率是　 　．
10．某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，该小家电定价是　 　元．
三、解答题
11．某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
12．一个两位数，个位数字比十位数字大，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上正好等于新的两位数，求原来的两位数．
13．某医疗器械生产厂生产某种医疗器械，80条生产线齐开，每条生产线每个月可生产8台该种医疗器械.该厂经过调研发现：当生产线适当减少后（减少的条数在总条数的20%以内时），每减少10条生产线，每条生产线每个月反而会多生产4台.若该厂需要每个月的产能达到840台，那么应减少几条生产线？
14．某大型批发商场平均每天可售出某款商品3000件，售出1件该款商品的利润是10元. 经调查发现，若该款商品的批发价每降低1元，则每天可多售出1000件.为了使每天获得的利润更多，该批发商场决定降价x元销售该款商品.
（1）当x为多少元时，该批发商场每天卖出该款商品的利润为40000元？
（2）若按照这种降价促销的策略，该批发商场每天卖出该款商品的利润能达50000元吗？若能，请求出x的值，若不能，请说明理由.
15．如图，为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园，生态园一面靠墙，若墙长为，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长．
（1）要围成生态园的面积为，请求出的长．
（2）围成生态园的面积能否达到？请说明理由．
16．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；
（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价．每件上衣每降价1元，每天可多售出2件．若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？
参考答案
1．B
2．C
3．C
4．D
5．C
6．D
7．
8．
9．
10．52或58
11．解：设增加了 行，则增加的列数为 ，
根据题意，得： ，
整理，得： ，
解得 ， （舍 ，
答：增加了3行3列．
12．解：设原来的两位数的十位数字为，
，
整理得：
解得：，不符合题意，舍去
，故原来的两位数为．
答：原来的两位数为．
13．解：设减少x台生产线
∵80×20％=16
∴
∴ ，即
解得： ， （舍去），
所以应减少10条生产线.
14．（1）解：该批发商场决定降价x元销售该款商品，依题意得，
，
即
解得：，
答：当x为2或5时，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润为40000元
（2）解：，
即
∵，原方程无解，
∴按照这种降价促销的策略，该饮料批发商店每天卖出该款饮料的利润不能达到50000元.
15．（1）解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
当时，不符合题意，舍去，
答：的长为米．
（2）解：由（1）得：，
整理得：，
∴，
∴方程无解，
∴围成生态园的面积不能达到．
16．（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为，
依题意，得，
解得（不合题意，舍去）．
答：平均每次降价盈利减少的百分率为．
（2）解：设每件应降价元，则每天可售出件，
依题意，得，
解得：，．
要尽快减少库存，
．
答：每件应降价60元．

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