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22.1 二次函数的图象和性质 暑假预习讲义
【知识点讲解】
一、二次函数的概念
1.一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数。其中是自变量，、、分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
2.注意二次函数的表达式是整式形式，且自变量的最高次数是，同时二次项系数不为。
易错点提示：容易忽略这个条件。例如判断函数是否为二次函数时，要先确定，即，若不考虑这一点就可能出错。
二、二次函数的图象（以为例）
1.当时，抛物线开口向上，对称轴是轴（即直线），顶点坐标是。在对称轴左侧（），随的增大而减小；在对称轴右侧（），随的增大而增大。
2.当时，抛物线开口向下，对称轴是轴（直线），顶点坐标是。在对称轴左侧（），随的增大而增大；在对称轴右侧（），随的增大而减小。
3.二次函数图象的形状是抛物线，越大，抛物线的开口越窄；越小，抛物线的开口越宽。
易错点提示：
1.混淆开口方向与的正负关系。比如认为时开口向下，这是常见错误，一定要牢记开口向上，开口向下。
2.对于抛物线开口宽窄与的关系理解不准确。可能会错误地认为越大（不考虑绝对值）开口越宽等，实际上是越大开口越窄。
三、二次函数的图象和性质
1.它的图象是由的图象向上（）或向下（）平移个单位得到的。
2.对称轴仍然是轴（直线），顶点坐标是。
3.当时，开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小。
易错点提示：在描述平移过程时，容易弄错方向。例如将函数得到，应该是向下平移个单位，而不是向上平移，要注意是“上加下减”原则，这里是在的值上进行加减来确定平移方向。
四、二次函数的图象和性质
1.它的图象是由的图象向左（）或向右（）平移个单位得到的。
2.对称轴是直线，顶点坐标是。
3.当时，开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小。
易错点提示：对于平移规律掌握不扎实，在由得到时，错误判断平移方向。比如将变为，应该是向左平移个单位，这里遵循“左加右减”原则，是在的值上进行加减来确定平移方向，容易弄反。
五、二次函数的图象和性质（顶点式）
1.它是二次函数的顶点式，图象是由经过平移得到的，平移过程为先左右平移（根据的值），再上下平移（根据的值）。
2.对称轴是直线，顶点坐标是。
3.其增减性与前面几种形式类似，当时，开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，在对称轴右侧随的增大而增大；当时，开口向下，在对称轴左侧随的增大而增大，在对称轴右侧随的增大而减小。
易错点提示：
1.在求顶点坐标时，可能会错误地将顶点式中的、值直接拿来用，而忽略了符号。比如对于函数，顶点坐标是，有的同学可能会错误地认为是，要注意顶点式中的值是使得括号内为的值。
2.在根据顶点式分析函数性质时，要准确结合、、的值，不能只看其中一部分，否则会对函数的开口方向、对称轴、增减性等判断错误。
六、二次函数图象的对称轴和顶点坐标的求法
1.对于二次函数（一般式），其对称轴公式为，把代入函数解析式可求得顶点的纵坐标，所以顶点坐标为。
2.对于顶点式，对称轴是直线，顶点坐标是。
易错点提示：
1.在使用对称轴公式时，可能会忘记不能为这个前提条件，或者在代入计算时出现运算错误，比如符号错误等。
2.求顶点坐标时，在将代入一般式求纵坐标时，计算过程要仔细，容易出现计算失误导致顶点坐标错误。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的图象开口方向是（　　）
A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
3．抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是（　　）
A．(3，4) B．(－3，4) C．(3，－4) D．(2，4)
4．若将二次函数化为的形式，则所得表达式为（　　）
A． B． C． D．
5．将抛物线 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，则平移后的抛物线解析式为（　　）
A． B．
C． D．
6．直线与抛物线在同一坐标系里的大致图象正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若抛物线的顶点在x轴上，则c的值是（　　）
A．4 B． C． D．
8．已知点，，都在二次函数的图象上，则（　　）
A． B． C． D．
9．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为 ，若此炮弹在第6秒与第15秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（　　）
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
10．已知抛物线经过和两点，则m的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
二、填空题
11．二次函数的图像经过点，则的值为　 　.
12．当　 　时，函数是二次函数．
13．已知二次函数 ，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是　 　．
14．已知抛物线 过 和 两点，那么该抛物线的对称轴是直线　 　．
15．已知二次函数（为常数，），当时，，则该函数图象的顶点位于　 　．
16．函数 在 有最大值6，则实数a的值是　 　.
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点、．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）求这条抛物线的开口方向和顶点坐标．
18．已知二次函数．
（1）请直接写出该二次函数的顶点式：_____________；
（2）请你在所给的平面直角坐标系中，画出二次函数的图象；
（3）根据图像回答问题：当时，的取值范围是___________．
19．已知二次函数的图象经过点．
（1）求c的值；
（2）判断点是否在该函数的图象上，并说明理由．
20．如图、已知二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，与y轴的交点为．
（1）求m的值：
（2）求二次函数的解析式；
（3）已知点是二次函数图象上两点．且，当时，求的取值范围．
21．已知二次函数（为常数），
（1）若，求该二次函数图象的对称轴；
（2）若，该二次函数在时有最小值2，求的值；
（3）将二次函数的图象作适当的平移得新抛物线的解析式为：．若时，恒成立，求m的最大值．
参考答案
1．C
2．C
3．A
4．A
5．B
6．D
7．B
8．B
9．B
10．B
11．2
12．
13．x≤1
14．x=2
15．第一象限
16． 或
17．（1）解：∵抛物线经过点、，
∴，
解得：，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知：抛物线解析式的二次项系数，
∴抛物线开口向上，
∵，
∴抛物线顶点坐标为．
18．（1）
（2）解：列表如下：
x ..． ﹣1 0 1 2 3 ..．
y ..． 0 3 4 3 0 ..．
描点、连线，如图所示：
（3）
19．（1）解：把代入得
，
；
（2）解：由（1）得二次函数的解析式为，
当时，，
在这个二次函数的图象上．
20．（1）解：当时，，
∴，即；
（2）解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，
∴，解得：，
∴该二次函数解析式为；
（3）解：将点代入二次函数，得：，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
解得：．
21．（1）解：∵，
∴（为常数），
∴，
∴二次函数的对称轴是．
（2）解：∵，
∴二次函数的对称轴是．
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或；
当时，函数有最小值．即，
解得：（舍去）或
综上，或．
（3）解：如图，令，设其图象与原抛物线C交点的横坐标为和，．观察图象，随着抛物线C的向右不断平移和的值不断增大，
当时，恒成立，即时，m的最大值为．
∴，得（舍去）或3．
∴，得或．
∴m的最大值为．

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