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1.2 有理数及其大小比较 讲义
知识梳理
一、有理数的概念
1.定义： 整数和分数统称为有理数。
(1)整数包括正整数、零、负整数。例如：5，0， -3等都是整数。
(2)分数包括有限小数和无限循环小数。比如：0.25（有限小数，可化为分数），（无限循环小数，可化为分数）等。
要点诠释：
1.有理数的概念是对我们之前所学的数进行的一个更广泛的归类，它涵盖了所有能表示为两个整数之比的数（分数形式）以及整数本身。
2.注意区分有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，如、π等，它们不属于有理数范畴。
二、有理数的分类
1.按定义分类： 有理数可分为整数和分数。
(1)整数又分为正整数、零、负整数。
(2)分数又分为正分数和负分数。
2.按性质符号分类： 有理数可分为正有理数、零、负有理数。
(1)正有理数包括正整数和正分数。
(2)负有理数包括负整数和负分数。
要点诠释：
1.分类时要注意标准统一，不重不漏。比如按定义分类时，一个有理数只能属于整数或者分数其中一类；按性质符号分类时，也只能属于正有理数、零、负有理数其中之一。
2.零既不是正数也不是负数，但它是整数，也是有理数。
三、数轴
1.定义： 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2.数轴上的点与有理数的关系： 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。
要点诠释：
1.原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，缺一不可。通常规定向右为正方向。
2.利用数轴可以直观地表示数的大小、相反数等概念，是后续学习有理数运算等知识的重要工具。
四、相反数
1.定义： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。特别地，0的相反数是0。
2.性质： 互为相反数的两个数的和为0。即若a与b互为相反数，则a + b = 0。
要点诠释：
1.相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数，要说成是另一个数的相反数。
2.求一个数的相反数，只需改变这个数的符号即可。比如5的相反数是 -5， -2.5的相反数是2.5。
五、绝对值
1.定义： 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
2.性质：
(1)一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：当a > 0时，|a| = a；当a < 0时，|a| = -a；当a = 0时，|a| = 0。
(2)绝对值具有非负性，即|a|≥0。
要点诠释：
1.绝对值表示的是距离，所以一定是非负的。
2.求一个数的绝对值时，要先判断这个数是正数、负数还是0，然后根据相应的性质来求。
六、有理数的大小比较
1.法则一（利用数轴比较）： 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
2.法则二（利用绝对值比较）：
(1)正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
(2)两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
要点诠释：
1.利用数轴比较大小时，关键是要准确地将数在数轴上表示出来，然后根据它们在数轴上的位置来判断大小关系。
2.比较两个负数大小时，先求出它们的绝对值，再根据绝对值大的反而小这一规则来判断，例如比较 -3和 -5，|-3| = 3，|-5| = 5，因为5 > 3，所以 -3 > -5。
巩固练习
一、选择题
1．在﹣2，+2.4，0.72，﹣2，0，﹣1.8 中，负分数共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各图中，数轴画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．一个点在数轴的正半轴上，且距离原点2个单位长度，这个点表示的数是（　　）
A．2 B． C．2或 D．1
4．下列说法中正确的是（　　）
A．正数和负数互为相反数
B．任何一个数的相反数都与它本身不相同
C．任何一个数都有它的相反数
D．数轴上原点两旁的两个点表示的数互为相反数
5．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
6．一种大米每袋的标准质量为，下列选项记录了4袋大米的质量，不足的记为负数，超过的记为正数，则其中最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
7．下面各式中结果为负数的是（　　）
A． B． C． D．
8．在，，0，四个数中，绝对值最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．
二、填空题
9．在四个数中，有理数有　 　个．
10．大于且小于的整数是　 　．
11．如图，数轴上A表示的数为1，B表示的数为－3，则线段AB中点表示的数为　 　．
12．若 的相反数是它本身，则 　 　．
13．比较大小：　 　，　 　（填“”、“”或“”）
14．如果，那么　 　．
三、解答题
15． 求绝对值等于下列各数的数：3，2024，0，
16．把下列各数分别填入相应的集合里.
，，0，，，2006，+1.99，，0.010010001…，15%
（ 1 ）负数集合：{ …}；
（ 2 ）分数集合：{ …}；
（ 3 ）非负整数集合：{ …}；
（ 4 ）有理数集合：{ …}.
17．如图，图中数轴的单位长度为1.请回答下列问题.
（1）如果点A，B表示的数互为相反数，那么点 C表示的数是正数还是负数 是多少
（2）如果点D，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数 图中表示的5个点中，哪一个点表示的数的绝对值最小 是多少
18．下面是一个不完整的数轴，
（1）将下列各数按从小到大的顺序用“”号连接起来：；；；．
（2）请将数轴补充完整，并将（1）中各数表示在数轴上；
参考答案
1．B
2．D
3．A
4．C
5．A
6．B
7．D
8．C
9．3
10．，
11．
12．0
13．；
14．
15．解：绝对值等于3的数是±3；
绝对值等于2024的数是±2024；
绝对值等于0的数是0；
绝对值等于的数是±。
16．解：（1）负数集合：{，}；
（2）分数集合：{，，，+1.99，15%}；
（3）非负整数集合：{0，2006，}；
（4）有理数集合：{，，0，，，2006，+1.99，，15%}．
17．（1） 解：∵点A，B表示的数的互为相反数，
∴点C右边的点为原点，点C表示的数为负数，-1.
（2）解：∵点D，B表示的数的互为相反数，
∴原点在线段BD的中点，即C点左边半格，点C表示的数是正数；点C表示的数的绝对值最小，最小的绝对值是0.5.
18．（1）解：，，∴；
（2）解：补全数轴，数字表示在数轴上如图所示，

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