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1.2 有理数及其大小比较暑期预习讲义
知识梳理
一、有理数的概念
1.定义：
（1）整数和分数统称为有理数。
（2）整数包括正整数、零、负整数。例如：5，0， -3等都是整数。
（3）分数包括有限小数和无限循环小数。像0.25（有限小数，可化为分数），（无限循环小数，可化为分数）等都是分数。
2.要点诠释：
（1）有理数是能够表示为两个整数之比的数，这是有理数区别于无理数的重要特征。无理数是无限不循环小数，如、π等，它们不属于有理数范畴。
（2）注意“0”的归属，它既不是正数也不是负数，但它是整数，所以也是有理数。
二、有理数的分类
1.按定义分类：
（1）有理数可分为整数和分数两大类。
（2）整数又可细分为正整数、零、负整数；分数可细分为正分数、负分数。
（3）例如：正整数如3，正分数如，负整数如 -2，负分数如 -。
2.按性质符号分类：
（1）有理数可分为正有理数、零、负有理数。
（2）正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。
（3）例如：正有理数有2、等，负有理数有 -1、 -等。
3.要点诠释：
（1）两种分类方法都要熟练掌握，不同的分类方式有助于从不同角度理解有理数的构成。
（2）在分类时要注意标准统一，避免重复和遗漏。比如不能把一个数既分到正整数里又分到正分数里。
三、数轴
1.定义：
（1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
（2）原点是数轴上表示0的点；正方向一般规定向右为正方向；单位长度是根据实际需要选取的衡量线段长度的标准。
2.要点诠释：
（1）数轴是数形结合的重要工具，它能直观地表示数的大小和相互关系。
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，但数轴上的点不一定都表示有理数（还可能表示无理数）。
（3）画数轴时，三要素缺一不可，并且要根据所表示数的范围合理选取单位长度。
四、相反数
1.定义：
（1）只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
（2）一般地，a和 -a互为相反数，特别地，0的相反数是0。
（3）例如：3和 -3互为相反数， -2.5和2.5互为相反数。
2.要点诠释：
（1）互为相反数的两个数在数轴上对应的点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
（2）求一个数的相反数只需改变其符号即可，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。
五、绝对值
1.定义：
（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。
（2）例如：|3| = 3，表示数轴上表示3的点到原点的距离是3；|-2| = 2，表示数轴上表示 -2的点到原点的距离是2。
2.要点诠释：
（1）绝对值是一个非负的数值，即|a| ≥ 0。
（2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。可以总结为：当a ≥ 0时，|a| = a；当a < 0时，|a| = -a。
六、有理数的大小比较
1.利用数轴比较大小：
（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
（2）例如：在数轴上表示出2和 -1，因为2在 -1的右边，所以2 > -1。
2.利用法则比较大小：
（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
（2）两个负数，绝对值大的反而小。
（3）例如：比较 -2和 -3，先求它们的绝对值，|-2| = 2，|-3| = 3，因为3 > 2，根据“两个负数，绝对值大的反而小”，所以 -2 > -3。
3.要点诠释：
（1）利用数轴比较大小直观形象，是理解有理数大小关系的重要方法，要熟练掌握通过数轴上点的位置判断数的大小。
巩固练习
一、选择题
1．下列各数中，是负整数的是（　　）
A． B． C． D．2025
2．下列给出的数轴中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列关于“0”的叙述中，不正确的是（　　）
A．表示“没有”，但有实际意义，是“正数”与“负数”的分界
B．既不是正数，也不是负数
C．是整数，也是最小的自然数
D．不能写成分数的形式，不是有理数
4．如图，点M表示的数可能是（　　）
A．1.5 B． C．2.5 D．
5．的相反数是（　　）
A． B．2025 C． D．
6．小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数共有（　　）个
A．11 B．9 C．10 D．8
7．一个数的相反数是它本身，则该数为（　　）
A． B． C． D．不存在
8．已知，则m的值可能是（　　）
A． B．2 C． D．无法确定
9．下列比较大小正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
10．下列各数：，，6，0，，，其中非负数有　 　个．
11．在数轴上，点M到原点的距离为8个单位长度，则点M表示的数是　 　．
12．写出一个绝对值小于4的负整数：　 　．
13．若，则　 　．
14．如图，数轴上A，B两点表示的两个数互为相反数（一格表示单位长度为1），则点C表示的数是 　 　．
15．比较大小：　 　（填“＞”“＜”或“＝”）
16．下列说法中错误的有　 　(填序号)
①绝对值是它本身的数有两个，它们是0和1．
②一个数的绝对值必为正数．
③2的相反数的绝对值是2．
④任何数的绝对值都不是负数．
三、解答题
17．把下列各数分别填入相应的集合内
，，0，，12，，，，．
负有理数集合{ }
正分数集合{ }
非负整数集合{ }
18． 如图， 写出数轴上点A，B， C， D，E表示的数.
19．求下列各数的相反数和绝对值：
20．如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题：
（1）若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为　 　；
（2）若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？
（3）若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？
21．如图所示，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题．
（1）如果点A，B表示的数互为相反数，那么点C表示的数是　　　　．
（2）　　　　；如果点B，E表示的数互为相反数，那么哪一个点表示的数的绝对值最小？
参考答案
1．B
2．C
3．D
4．D
5．B
6．B
7．A
8．A
9．C
10．4
11．或8
12．
13．0
14．-1
15．
16．①②
17．，，，；，；0，12
18．解：点A表示的数是0 ， 点B表示的数是 -2 ， 点C表示的数是 1 ， 点D表示的数是2.5 ， 点E表示的数是 -3 ．
19．解： 的相反数，即；的绝对值，即；
2.5的相反数，即-2.5；2.5的绝对值，即；
的相反数，即；的绝对值，即；
13.5的相反数，即-13.5；13.5的绝对值，即；
的相反数，即；的绝对值，即
20．（1）
（2）
（3）
21．（1）
（2）5，C点表示的数的绝对值最小

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