资源简介

24.4 一元二次方程的应用
课题 第1课时几何图形问题 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P47-49
教学目标 1.会根据实际问题中面积的等量关系，列出一元二次方程并求解. 2.能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理. 3.通过解决有关面积的实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题，经历将实际问题抽象为代数问题的过程，进一步体会数学中的建模思想.
教学重难点 重点：列一元二次方程解决与面积有关的应用题. 难点：实际问题中找到等量关系,根据实际意义检验结果是否符合题意.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
创设情景，导入新课 1.三角形、正方形、长方形、平行四边形的面积公式是什么呢 2.解一元二次方程的方法有哪些 3.列方程解应用题的一般步骤是什么 预设答案： 1.三角形面积公式：S=ah 正方形面积公式：S=a2 长方形面积公式：S=ab 平行四边形面积公式：S=ah 2.解一元二次方程的方法有配方法、公式法、因式分解法 3.列方程解应用题的一般步骤是: （1）弄清题意，找出未知数，并用x表示； （2）找出应用题中数量之间的相等关系，列方程； （3）解方程； （4）检验，写出答案. 师生活动：教师提问，学生回顾思考，并举手回答． 通过复习有关面积公式及列方程解应用题的步骤,为本节课的探究活动做好铺垫,很自然地走进今天的学习内容;创设实际问题的导入,让学生感受建模思想在与面积有关的实际问题中的应用,激发学生学习兴趣.
2.实践探究，学习新知 【探究】 例1 如图，某学校要在校园内墙边的空地上修建一个长方形的存车处，存车处的一面靠墙(墙长 22 m)，另外三面用90 m长的铁栅栏围起来.如果这个存车处的面积为700 m2，求这个长方形存车处的长和宽. 解：设长方形靠墙的一边的长为x m，得方程 x2－90x＋1 400=0. 解得：x1＝70，x2＝20. 由于墙长22 m， x1＝70不合题意，应舍去. 当x＝20时，. 答：这个长方形存车处的长和宽分别是35 m 和20 m. 师生活动：学生独立思考后,小组针对问题进行交流讨论,共同探究问题并做出解答,教师给学生充足的思考时间,对学习有困难的学生加以指导,对学生的解答教师点评并规范解题步骤. 【归纳总结】 一元二次方程应用题中对于根的取舍，关键是要体会未知数x所代表的实际意义及限制条件．如“平均增长率x不能为负”、“小路的宽不能超过矩形种植地的宽”等这些细节问题都是根取舍的关键所在． 师生活动：学生在教师的启发下归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 【做一做】 等腰梯形的面积为160 cm2,上底比高多4 cm,下底比上底多16 cm，求这个梯形的高. 提示：本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含x的代数式表示出来.然后利用梯形的面积公式来建立方程求解. 解：设这个梯形的高为 x cm,则上底为（x+4）cm, 下底为(x+20) cm. 根据题意得： 整理，得x2+12x-160=0， 解得 x1=8 , x2=-20 (不合题意，舍去) 答：这个梯形的高为8 cm. 师生活动：学生思考、书写，教师巡视观察学生做的情况，然后通过课件展示做题过程． 【归纳总结】 利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题. 师生活动：学生归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 例3 已知一本数学书的长为26 cm，宽为 18. 5 cm，厚为1 cm 一张长方形包书纸如图所示，它的面积为1 260 cm2, 虚线表示的是折痕. 由长方形相邻两边与折痕围成的四角均为大小相同的正方形. 求正方形的边长. 分析：问题中的等量关系为：包书纸的长×宽＝1260 .只要把包书 纸的长和宽用正方形的边长表示出来就可以了. 解：设正方形的边长为x cm， 根据题意，得 (26＋2x)(18.5×2＋1＋2x) ＝1260. 整理，得x2＋32x－68=0. 解这个方程，得 x1＝2，x2＝－34(不合题意，舍去). 答：正方形的边长是2 cm. 师生活动：学生在教师的引导下思考回答,独立完成解答过程,教师帮助有困难的学生,并展示答案,同时规范做题格式. 【总结归纳】 在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，但一般情况下只有一个根符合实际问题的要求，所以解方程后一定要检验看哪个根是符合实际问题的解. 师生活动：学生归纳发言，教师在学生概括的基础上进行归纳. 【练一练】 （1）某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为(　　) A．x(x－11)＝180 B．2x＋2(x－11)＝180 C．x(x＋11)＝180 D．2x＋2(x＋11)＝180 答案：C （2）一个直角三角形的两条直角边的和是17 cm，面积是30 cm2，则斜边长为(　　) A.12 cm B.13 cm C.14 cm D.15 cm 答案：B 师生活动：学生独立思考，尝试独立完成解答过程，小组内交流答案，教师对学生的解答作出点评. 通过数形结合的思想，解决与一元二次方程的一些问题.进一步提高学生读图能力和解决问题的能力. 通过归纳总结，使学生掌握在一元二次方程应用题中，根据实际问题取舍根. 通过课堂练习巩固新知，进一步加强学生一元二次方程解决实际问题的能力,增强学生的应用意识和独立思考的能力. 通过归纳总结，使学生掌握运用一元二次方程解决规则图形的问题的一般步骤. 师生共同找题中的已知量与未知量之间的等量关系,列出方程解决问题,提高学生的读题、审题能力,培养学生深入思考、分析问题的能力,又培养学生合作解决问题的意识. 通过归纳总结，使学生更加清晰掌握在用一元二次方程解决实际问题时根的取舍，培养学生分析问题的能力． 通过对相关解题思想的总结，再加以练习，让学生更加深刻理解用一元二次方程解应用题的规则，巩固所学知识.
3.学以致用，应用新知 考点1 一元二次方程的应用——与图形有关的问题 练习1 如图，要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m 的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成．为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的木板门，设花圃与墙垂直的一边长为x m，若花圃的面积为80 m2，所列方程正确的是（ ） A.x(26-2x)=80 B.x(24-2x)=80 C.(x-1)(26-2x)=80 D.(x-1)(25-2x)=80 答案：A 变式训练1 如图，有5个形状大小完全相同的小矩形构造成一个大矩形（各小矩形之间不重叠且不留空隙），图中阴影部分的面积为16，且每个小矩形的宽为1，则每个小矩形的长为______． 答案： 巩固解决与图形有关问题的方法，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1.已知一个直角三角形两直角边的和是12，斜边的长是10，求这个直角三角形两直角边的长. 解：设一条直角边长为x,则另一条直角边长为12-x. 由勾股定理可得： x2+(12-x) 2=102 整理化简得：x2-12x+22=0 解得：x1=6+，x2=6-. 即两条直角边的长分别为：6+，6-. 2.一个三角形的一边长为x－4，这条边上的高为2x＋1，面积为，求x的值. 解：由题意得：(x-4)(2x+1)=， 整理化简得： 2x2-7x-15=0， 解得：x1=5，x2=-(舍去)， 故x的值是5. 师生活动：学生解答，教师展示动画，给出解释． 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 本节课所学知识：一元二次方程的应用—几何图形问题. 常见类型： （1）小路/彩条宽度的问题； （2）一边靠墙围成区域的问题； （3）课本封面问题. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 课本P48习题A组，P49习题B组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 24.4 一元二次方程的应用 第1课时 几何图形问题 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节课主要应用在以小路/彩条问题、靠墙建区域的问题、封面问题、动点问题等相关的问题中.解决这些几何问题常见的等量关系有面积公式、体积公式、勾股定理、全等（相似）等.因为一元二次方程又是二次函数的基础，因此本节课知识起到了承上启下的作用，为以后用二次函数解决实际问题提供了保障.本节课问题的设置，由浅入深、由易到难，让学生解决问题的能力逐级上升.通过从具体问题情境中抽象出数量关系，归纳出变化规律，进而用数学模型表示，最终解决实际问题.为以后学习二次函数解决问题打下坚实的基础. 反思，更进一步提升.

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