资源简介

26.4 解直角三角形的应用
课题 第1课时 与仰角、俯角及方向角有关的实际问题 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P117-118
教学目标 1.使学生进一步掌握解直角三角形的方法,比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 2.在课堂中渗透数形结合的数学思想,让学生感受到生活中处处有数学. 3.积极参与数学活动,对数学产生好奇心,培养学生独立思考问题的习惯,在数学活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心,渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点,培养学生生活中应用数学的意识.
教学重难点 重点：解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题. 难点：把实际问题转化为数学问题,并选择简单的方法解决问题.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 【复习回顾】 带领学生回顾解直角三角形有关的问题: 在解直角三角形时用到的关系式: (1)三边之间的关系:a2+b2=c2(勾股定理); (2)两锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; (3)边角之间的关系: sin A==,cos A==,tan A==, sin B==,cos B==,tan B==. 通过循序渐进的方法,让学生回顾之前所学知识,为本节课学习的内容作铺垫.
2.实践探究，学习新知 【探究】 如图,用一个测角仪和一个卷尺测得∠C=50°和所站位置到旗杆的距离为4.5米,能否得到旗杆的高度 你知道怎样得到吗 俯角、仰角概念: 在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角. 如果观察旗杆的底座,俯角为18°,此时又怎么求得旗杆顶部到地面的距离 【例题】 例1 海中有一个小岛A,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在船北偏东60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在船北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险.请说明理由. 解:如果渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 理由如下: 如图,过点A作AD⊥BC,垂足为D, 根据题意,可知∠ABC=30°,∠ACD=60°. ∵∠ACD=∠ABC+∠BAC,∴∠BAC=∠ABC=30°, ∴CA=CB=12. ∵在Rt△ACD中,∠ADC=90°,∠ACD=60°,sin∠ACD=, ∴sin 60°=, ∴AD=12×sin 60°=12×=6>8. ∴渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险. 【归纳总结】 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: (1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题); (2)根据条件的特点,选用适当锐角三角函数去解直角三角形; (3)得到数学问题的答案; (4)得到实际问题的答案. 从学生熟悉的实际问题入手,通过一个简单的直接求值的小例子让学生感受锐角三角函数在实际生活中的应用.激发学生的学习兴趣,引发学生思考,为复杂的应用作铺垫. 由实际问题情境导入新课,激发学生的学习兴趣,培养学生从实际问题中抽象出几何图形从而解决问题的能力. 让学生经历合作探究过程,通过观察、思考、操作、计算得出结论,培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.
3.学以致用，应用新知 考点1 与仰角、俯角有关的问题 练习1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120 m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1 m）. 解：如图，在Rt△ABD中，∵ α＝30°，AD＝120 m，
∴BD＝AD tan α＝120×tan 30°＝120×＝（m）.
在Rt△ACD中，∵ β＝60°，AD＝120 m，
∴CD＝AD tan β＝120×tan 60°＝120×＝（m）.
∴BC＝BD+CD＝+＝≈277.1（m）. 因此，这栋楼高约为277.1 m. 变式训练1 如图，两建筑物AB和CD的水平距离为120米，已知从C顶部看A的俯角为30°，看B的俯角为60°，求建筑物AB，CD的高度. 解：如图，过点A作AECD，垂足为E， 则AE＝BD＝120米. 由题意知∠CAE＝30°，∠CBD＝60°. 在Rt△CBD中，tan∠CBD＝tan 60°＝＝， ∴CD＝BD＝120米. 在Rt△ACE中，tan∠CAE＝tan 30°＝， ∴CE＝AE＝40米， ∴AB＝CD-CE＝120-40＝80（米）. ∴建筑物AB的高度为80米，建筑物 CD的高度为120米. 考点2 与方位角有关的问题 练习2 如图，我国航母由西向东航行，到达处时，测得小岛位于它的北偏东方向，且与航母相距海里，再航行一段时间后到达处，测得小岛位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离的长． 解：如图，过点B作BD⊥AC于点D， 由题意得，∠BAD=60°，∠BCD=45°，AB=80， 在Rt△ADB中，BD=AB·sin 60°=80×=40， 在Rt△BCD中，BC=， ∴BC的距离是40海里. 变式训练2 如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东方向上，则小岛A到航线的距离为_________. 答案：10 通过相关练习，加深对仰角、俯角的理解，提高学生知识的综合运用能力． 通过相关练习，加深对方向角的理解，提高学生知识的综合运用能力．
4.随堂训练，巩固新知 1.如图所示，由D点测塔顶A点和塔基B点仰角分别为60°和30°.已知塔基距地平面20米(即BC为20米)，则塔身AB的高为 (　　) A.60米　 　B.4米 C.40米 D.20米 答案：C 2.如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC＝ 米. 答案：100 3.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为 米. 答案：20 4.为了测得铁塔的高度，小莹利用自制的测角仪，在C 点测得塔顶E 的仰角为45°，在D 点测得塔顶E 的仰角为60°，已知测角仪AC 的高为1.6 m，CD 的长为6 m，CD所在的水平线CG⊥EF 于点G（如图17所示），求铁塔EF 的高. .解：设DG＝x，则EG＝x. ∵∠ECG＝45°，∠CGE＝90°， ∴∠CEG＝45°，∴ EG＝CG ， ∴CD+DG＝EG， 即6+x＝x，解得x＝3+3， ∴ EG＝×（3+3）≈14.2（m）， EF＝EG+GF≈14.2+1.6＝15.8（m）. 答：铁塔EF的高约为15.8 m. 5.小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为45°，35°，如图18所示.已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为100 m.请求出热气球离地面的高度.(结果保留整数.参考数据：sin 35°≈0.574，cos 35°≈0.819，tan 35°≈0.700) 解：如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°， ∠ACD＝35°，BC＝100 m. 设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m. ∵BC＝CD-BD，∴ -x＝100. ∴x≈233. 答：热气球离地面的高度约为233 m. 6.如图所示，A、B两城市相距200km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB)，经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心100km为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区(参考数据：≈1.73，≈1.414). 解：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区.如图21，过点P作PC⊥AB，C是垂足. 则∠APC＝30°，∠BPC＝45°， AC＝PC·tan 30°，BC＝PC·tan 45°. ∵AC+BC＝AB， ∴PC · tan 30°+PC·tan 45°＝200， 即PC+PC＝200， 解得PC≈126.8 km＞100 km. 答：计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
5.课堂小结，自我完善 通过小结给出本节课的知识结构，让学生进一步熟悉本节课所学的知识.
6.布置作业 课本P120习题A组第1题，习题B组第1题. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率.
板书设计 26.4　解直角三角形的应用 第1课时　与仰角、俯角有关的问题 1.仰角与俯角 仰角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线上方的角. 俯角：在视线与水平线所形成的角中，视线在水平线下方的角. 2.方向角：方向角通常都写成：北偏……，南偏……的形式. 3.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程: （1）将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案. 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节课的主要内容是掌握仰角、俯角等概念,使学生能初步用解直角三角形的相关知识解决一些实际问题. 反思，更进一步提升.

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