资源简介

第04讲 解三角形
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 正弦定理 3
知识点2 余弦定理 4
知识点3 解三角形中常用结论 5
知识点4 实际应用问题中的专用名词与术语 5
题型破译 6
题型1 正弦定理解三角形 6
【易错分析】易忽视三角形解的个数
题型2 余弦定理解三角形 6
题型3 多边形解三角形（含一个确定三角形） 7
【方法技巧】多边形解三角形（含确定三角形）技巧
题型4 多边形解三角形（不含一个确定三角形） 9
【方法技巧】多边形解三角形（无确定三角形）技巧
题型5 解三角形的实际应用 10
题型6 边角互化 12
【方法技巧】边角互化常用原则
题型7 三角函数与解三角形的综合应用 13
题型8 最值问题（基本不等式法） 15
【方法技巧】基本不等式求最值
题型9 最值问题（三角函数法） 16
【方法技巧】三角函数法求最值
题型10 切弦互化求最值问题 17
04 真题溯源·考向感知 18
05 课本典例·高考素材 20
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）掌握正、余弦定理及其变形 （2）理解并应用三角形面积公式 （3）解决三角形度量相关问题 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T5（5分） 天津卷T16（14分） 北京卷T16（13分） 全国Ⅰ卷T15（13分） 全国甲卷（文）T12（5分） 全国甲卷（理）T11（5分） 全国 II卷T15（13分） 全国甲卷（文）T17（12分） 全国甲卷（理）T16（5分） 全国乙卷（文）T4（5分） 全国乙卷（理）T18（12分） 全国 I卷T17（12分） 全国 II卷T17（12分）
考情分析： 解三角形是全国卷数学的核心考点，每年必考1-2题，主要以选择题、填空题和中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。 该专题难度多为中档，但常与三角函数、向量等知识交汇，提升综合考查力度。备考需熟练掌握公式变形与应用，强化应用题训练，培养几何直观与逻辑推理能力，同时关注多解讨论、最值问题等易错点。建议通过真题演练掌握“边化角”“角化边”技巧，提升跨章节知识整合能力。
复习目标： 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 4.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
知识点1 正弦定理
1.正弦定理的内容
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
定理 正弦定理
公式 ，其中为的_________的半径.
常见变形 ① ； ②_________，_________，_________ ； ③；
解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
2.三角形的面积公式
设的三边为，对应的三个角分别为，其面积为S.
①(h为BC边上的高)；
②___________________________；
3.判断三角形的解的个数
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 _________ 一解 _______ 无解
自主检测在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则 .
知识点2 余弦定理
在中，若角所对的边分别是，则
定理 余弦定理
公式
常见变形 ，，
解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角．
余弦定理与勾股定理的关系 C为直角； C为_________； C为_________.
自主检测已知的内角，，的对边分别为，，，且，则
知识点3 解三角形中常用结论
1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边：
2. 大边对大角，大角对大边：
3.，故有①；②_________；
③；④，⑤
自主检测在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
知识点4 实际应用问题中的专用名词与术语
1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线_________的角叫仰角,目标视线在水平视线_________的角叫俯角(如图①).
3.方位角:指从正北方向按_________转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
自主检测某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ）

A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米
题型1 正弦定理解三角形
例1-1在中，，则的值是 .
例1-2在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 .
易错分析 易忽视三角形解的个数
两边和其中一边的对角，若用正弦定理求角,会有多解的情况。这是由于正弦函数在在区间内不严格单调，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
【变式1-1】在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【变式1-2】（ 2025·浙江金华·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（ 2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型2 余弦定理解三角形
例2-1在中，，则（ ）
A． B． C． D．
例2-2已知一个三角形的三边分别是，，，则此三角形中的最大角为（ ）
A． B． C． D．150°
【变式2-1】已知的角所对的边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【变式2-2】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】在中，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型3 多边形解三角形（含一个确定三角形）
例3-1（多选）如图，在中，已知点在边上，，，，.则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
例3-2如图，在四边形中，.
(1)求的长；
(2)求四边形的面积.
方法技巧 多边形解三角形（含确定三角形）技巧
解此类题需先锁定确定三角形，用正弦定理或余弦定理求出其边角。再分析与其他多边形的连接关系（如公共边、等角），将已知量传递到未知三角形，逐步拆解。
【变式3-1】（ 2025·福建龙岩·二模）在中，，为边上的点，且满足，，则 ．
【变式3-2】如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长度；
(2)若与交于点，求．
【变式3-3】已知内角的对边分别为，点是的内心，若,.
(1)求角；
(2)延长AM交BC于点，若，求的周长.
题型4 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
例4-1在中，已知，，，点为边的中点， ．
例4-2如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 .
方法技巧 多边形解三角形（无确定三角形）技巧
解此类题需寻找多边形中隐含的边角关系，如公共边、等角、互补角或内角和定理，设未知量（边长或角度），利用正弦定理在多个三角形中建立边角比例关系，形成方程组。通过消元转化为单变量问题，结合几何约束（如边长为正）求解，注重整体关联与方程思想的运用。
【变式4-1】在中，点满足，，，则 ．
【变式4-2】记的内角的对边分别为．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【变式4-3】如图，四边形中，，，，且四点共圆．

(1)求的值；
(2)若点为上一点，的面积为，求的值．
题型5 解三角形的实际应用
例5-1如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（ ）
A． B． C． D．
例5-2如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.
(1)求观测点到树干底部点的距离的长度；
(2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值.
【变式5-1】如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（ ）

A． B． C． D．
【变式5-3】如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A．300m B．600m C． D．
【变式5-4】无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A处出发，沿北偏东70°的方向航行后到达B处，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行2到达C处.
(1)求A与C的距离；
(2)如果下次航行直接从A出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？
题型6 边角互化
例6-1在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
例6-2已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ，的最小值为 ．
方法技巧 边角互化常用原则
选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有，可考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【变式6-1】在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（多选）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，，则下列正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)若，求的面积.
题型7 三角函数与解三角形的综合应用
例7-1已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长.
例7-2已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)已知中，角、、所对的边分别为、、.若，，，的面积为，求边的长.
【变式7-1】函数的的部分图象如图，且经过点，.

(1)求函数的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值.
【变式7-2】平面向量，函数．
(1)求函数的最小正周期与零点；
(2)在三角形中，内角的对边分别为，已知，，求三角形的面积．
【变式7-3】已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
(1)求函数在上的值域；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求.
题型8 最值问题（基本不等式法）
例8-1如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例8-2在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
方法技巧 基本不等式求最值
利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
【变式8-1】（ 2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
【变式8-2】在中，角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值.
【变式8-3】已知、、分别为斜中角、、的对边，．
(1)求；
(2)已知的面积为，求的最小值．
题型9 最值问题（三角函数法）
例9-1已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
例9-2已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求角；
(2)求的最大值，并求出此时的周长.
方法技巧 三角函数法求最值
先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围
【变式9-1】（ 2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ．
【变式9-2】已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若，求面积的取值范围.
【变式9-3】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，．
(1)求的取值范围；
(2)求和面积之差的最大值．
【变式9-4】的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
题型10 切弦互化求最值问题
例10-1已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-1】已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
8．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
2．在中，求证：.
3．已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
4．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 解三角形
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 正弦定理 3
知识点2 余弦定理 4
知识点3 解三角形中常用结论 5
知识点4 实际应用问题中的专用名词与术语 5
题型破译 6
题型1 正弦定理解三角形 6
【易错分析】易忽视三角形解的个数
题型2 余弦定理解三角形 9
题型3 多边形解三角形（含一个确定三角形） 10
【方法技巧】多边形解三角形（含确定三角形）技巧
题型4 多边形解三角形（不含一个确定三角形） 14
【方法技巧】多边形解三角形（无确定三角形）技巧
题型5 解三角形的实际应用 19
题型6 边角互化 24
【方法技巧】边角互化常用原则
题型7 三角函数与解三角形的综合应用 27
题型8 最值问题（基本不等式法） 31
【方法技巧】基本不等式求最值
题型9 最值问题（三角函数法） 34
【方法技巧】三角函数法求最值
题型10 切弦互化求最值问题 40
04 真题溯源·考向感知 42
05 课本典例·高考素材 48
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）掌握正、余弦定理及其变形 （2）理解并应用三角形面积公式 （3）解决三角形度量相关问题 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T5（5分） 天津卷T16（14分） 北京卷T16（13分） 全国Ⅰ卷T15（13分） 全国甲卷（文）T12（5分） 全国甲卷（理）T11（5分） 全国 II卷T15（13分） 全国甲卷（文）T17（12分） 全国甲卷（理）T16（5分） 全国乙卷（文）T4（5分） 全国乙卷（理）T18（12分） 全国 I卷T17（12分） 全国 II卷T17（12分）
考情分析： 解三角形是全国卷数学的核心考点，每年必考1-2题，主要以选择题、填空题和中档解答题形式呈现。高频考查正弦定理、余弦定理及面积公式，涉及边角互化、判断三角形形状、多解问题等基础内容。 该专题难度多为中档，但常与三角函数、向量等知识交汇，提升综合考查力度。备考需熟练掌握公式变形与应用，强化应用题训练，培养几何直观与逻辑推理能力，同时关注多解讨论、最值问题等易错点。建议通过真题演练掌握“边化角”“角化边”技巧，提升跨章节知识整合能力。
复习目标： 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形. 2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题. 3.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 4.能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的最值和范围问题.
知识点1 正弦定理
1.正弦定理的内容
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则
定理 正弦定理
公式 ，其中为的外接圆的半径.
常见变形 ① ； ②，， ； ③；
解三角形问题 ①已知两角和任意一边，求其他的边和角； ②已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角．
2.三角形的面积公式
设的三边为，对应的三个角分别为，其面积为S.
①(h为BC边上的高)；
②；
3.判断三角形的解的个数
已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
自主检测在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则 .
【答案】2
【详解】由正弦定理得：，则.
故答案为：2.
知识点2 余弦定理
在中，若角所对的边分别是，则
定理 余弦定理
公式
常见变形 ，，
解三角形问题 ①已知三边，求三个角； ②已知两边和一角，求第三边和其他两角．
余弦定理与勾股定理的关系 C为直角； C为钝角； C为锐角.
自主检测已知的内角，，的对边分别为，，，且，则
【答案】
【详解】，
故答案为：
知识点3 解三角形中常用结论
1. 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边：
2. 大边对大角，大角对大边：
3.，故有①；②；
③；④，⑤
自主检测在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【详解】设所求为，由题意，
在三角形中，解得.
故选：A.
知识点4 实际应用问题中的专用名词与术语
1.基线:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2.仰角和俯角:在目标视线和水平视线所成的角中,目标视线在水平视线上方的角叫仰角,目标视线在水平视线下方的角叫俯角(如图①).
3.方位角:指从正北方向按顺时针转到目标方向线所转过的水平角,如B点的方位角为α(如图②).
4.方向角:从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角,如南偏西60°,指以正南方向为始边,顺时针方向向西旋转60°.
自主检测某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得，千米，千米，则，间的直线距离约为（ ）

A．6千米 B．7千米 C．8千米 D．5千米
【答案】B
【详解】由余弦定理，，解得.
故选：B.
题型1 正弦定理解三角形
例1-1在中，，则的值是 .
【答案】
【详解】由正弦定理，所以，
又，所以，所以，
即，即，
即，所以.
故答案为：
例1-2在中，、、分别三个内角、、的对边，，，若该三角形有两个解，则边的长的取值范围为 .
【答案】
【详解】因为在中，，，且该三角形有两个解，如下图所示：
则，即，即，
因此，边的长的取值范围为.
故答案为：.
易错分析 易忽视三角形解的个数
两边和其中一边的对角，若用正弦定理求角,会有多解的情况。这是由于正弦函数在在区间内不严格单调，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。
【变式1-1】在中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】由，，则，
由正弦定理，，
又，则，故.
故选：A.
【变式1-2】（ 2025·浙江金华·三模）在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由正弦定理可得，
由于,故或，故AB错误，
若时，则,
此时，
若时，则,此时为三角形中最小的内角，故，故C错误，D正确，
故选:D
【变式1-3】（ 2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，
得，所以．
又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径），
所以，解得，
则的外接圆的面积为．
故选：B
题型2 余弦定理解三角形
例2-1在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由余弦定理可得，可得，故，
故
故选：C
例2-2已知一个三角形的三边分别是，，，则此三角形中的最大角为（ ）
A． B． C． D．150°
【答案】D
【详解】一个三角形的三边分别是，为最大边．
设最大角为，由余弦定理可得，
，又，故此三角形中的最大角．
故选：D.
【变式2-1】已知的角所对的边分别为，若，，，则的面积为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【详解】因为中，，
所以由余弦定理可得，
因为，所以，解得或（舍去），
所以的面积为，
故选：B
【变式2-2】已知钝角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】∵，且为钝角三角形，∴C为钝角.
由余弦定理，得，
∴，解得.
又中，两边之和大于第三边，即，∴.
综上，实数k的取值范围是.
故选：C
【变式2-3】在中，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由余弦定理得，又，
所以，
则的范围是.
故选：D.
题型3 多边形解三角形（含一个确定三角形）
例3-1（多选）如图，在中，已知点在边上，，，，.则下列说法正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】在中，，，所以．
同理可得，，
所以
，故A正确；
在中，由正弦定理得：，
又，所以，
在中，由余弦定理得，
，故B正确，C不正确；
因为，所以，
则，故D不正确.
故选：AB.
例3-2如图，在四边形中，.
(1)求的长；
(2)求四边形的面积.
【答案】(1)3
(2)
【详解】（1）在中，由余弦定理得，
即，所以.
（2）在中，由正弦定理，得，则.
而，于是，
又，则，，，
因此，
所以四边形的面积
.
方法技巧 多边形解三角形（含确定三角形）技巧
解此类题需先锁定确定三角形，用正弦定理或余弦定理求出其边角。再分析与其他多边形的连接关系（如公共边、等角），将已知量传递到未知三角形，逐步拆解。
【变式3-1】（ 2025·福建龙岩·二模）在中，，为边上的点，且满足，，则 ．
【答案】
【详解】在中，，
由余弦定理得出，
在中，，
所以，则．
故答案为：
【变式3-2】如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长度；
(2)若与交于点，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，
，，，，
在中，，，
，
在中，，
．
（2）解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系，
则，，，
，，过点作于点，
，即，
整理得，
，，，，
，，，
∴，
为与的夹角，，，
∴．
解法二：，在中，，，，
则，
，
则
．
【变式3-3】已知内角的对边分别为，点是的内心，若,.
(1)求角；
(2)延长AM交BC于点，若，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由可得，由正弦定理可得 ，
故可得，即，而，故
（2）因为点是的内心，，，
因，，则
从而，.
又，所以，即.
由余弦定理可得.
将代入上式化简得.
解得，因为，所以.
所以的周长为.
题型4 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
例4-1在中，已知，，，点为边的中点， ．
【答案】/
【详解】由余弦定理，得，
即，则．
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
由与互补，则，
所以，解得．
在中，由余弦定理，得，
因为，所以，
所以．
故答案为：
例4-2如图，在中，是的中点，是上的点，，，，，则 .
【答案】/0.75
【详解】设在三角形与三角形中，
解得：
作的四等分点，且,由题意知，，
又因为，所以,,
又，所以,
在三角形与三角形中，
化简得: ,代入解得：,
从而解得：
故答案为：.
方法技巧 多边形解三角形（无确定三角形）技巧
解此类题需寻找多边形中隐含的边角关系，如公共边、等角、互补角或内角和定理，设未知量（边长或角度），利用正弦定理在多个三角形中建立边角比例关系，形成方程组。通过消元转化为单变量问题，结合几何约束（如边长为正）求解，注重整体关联与方程思想的运用。
【变式4-1】在中，点满足，，，则 ．
【答案】
【详解】设，
由正弦定理得，，
即，
所以
，
即，
同除得，
解得舍去，或，
所以．
故答案为：．
【变式4-2】记的内角的对边分别为．已知，点在边上，．
(1)证明：；
(2)若，求．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在中，①，
②，
联立①②得，即，
，．
（2）若，则，
又，
，
化简得：，又，即或，
若时，，
则，
若，则（舍）．
综上：．
【变式4-3】如图，四边形中，，，，且四点共圆．

(1)求的值；
(2)若点为上一点，的面积为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为四点共圆，所以，
则．
如图所示：

连接，在中，，
在中，，
两式作差得，解得．
（2）由（1）可知，所以．
由的面积为，得，
即，解得，
则．
易知，所以，
连接，
在中，，
在中，，
两式作差得，，解得，
则．
在中，，
则．
由正弦定理，得．
题型5 解三角形的实际应用
例5-1如图，某观察站B在城A的南偏西的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东，在B处测得公路上距B处的C处有一人正沿公路向A城走去，走了之后到达D处，此时B，D间的距离为．要达到A城，这个人还要走（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意有：，在中，由余弦定理有：，
又，所以，
所以，
所以，
又，
在中，由正弦定理有：，所以.
故选：A.
例5-2如图1，椰子树是海南最具代表性的树木之一，树干笔直无分枝，叶片形似巨大的羽毛伞.如图2，、两处观测点与树干底部点在同一水平面内，树干垂直于水平面，某同学在地面处，测得树干顶端处的仰角为，、两处相距米，，.
(1)求观测点到树干底部点的距离的长度；
(2)求在树干顶端处观测到、两点的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理可得，
因为，所以.
又两处相距米，故，所以的长为米.
（2）在中，由在处测得树干顶端处的仰角为，
可得，则.
由（1）知，由，得，
由，得.
在中，由，得.
在中，由余弦定理得.
故在处观测到、两点的夹角的余弦值为.
【变式5-1】如图两点在河的同侧，且、两点均不可到达．现需测、两点间的距离，测量者在河对岸选定两点、，测得，同时在、两点分别测得，，，则、两点间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意有，
在中由正弦定理有，
又，所以为等边三角形，所以，
又因为，在中，由余弦定理有：
，
所以，
故选：B.
【变式5-2】如图，某东西走向的河道上建有两个水文观测站、，在某时刻站观测到水位异常，将信号同时发给河流北面的市与市．已知市收到信号的时间是市的倍，，，，则观测站到市的距离为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，则、均为锐角，
所以，
，
所以
，
由题意可知，由余弦定理可得，
即，解得.
故选：B.
【变式5-3】如图，两座山峰的高度，为测量峰顶M和峰顶N之间的距离，测量队在B点（A，B，C在同一水平面上）测得M点的仰角为，N点的仰角为，且，则两座山峰峰顶之间的距离（ ）
A．300m B．600m C． D．
【答案】D
【详解】在中，，
在中，，
在中，
．
故选：D.
【变式5-4】无人机在城市管理、农业、地质、气象、电力、抢险救灾、视频拍摄、快递配送等行业应用广泛.在一次城市宣传的取景拍摄中，一架无人机从A处出发，沿北偏东70°的方向航行后到达B处，然后从B出发，沿北偏东10°的方向航行2到达C处.
(1)求A与C的距离；
(2)如果下次航行直接从A出发到达Ｃ，应沿什么方向航行？
【答案】(1)
(2)应沿北偏东的方向航方向航行
【详解】（1）由题意知，在中，，
，，
根据余弦定理，得，
所以．
（2）根据正弦定理可得，
即
又，所以．
所以应沿北偏东的方向航方向航行即可到达C处.
题型6 边角互化
例6-1在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【详解】由，则，
所以，可得，不能确定是否成立，
所以一定是直角三角形.
故选：B
例6-2已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则 ，的最小值为 ．
【答案】 3 /
【详解】在中，由及余弦定理，得
，因此；
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：3；
方法技巧 边角互化常用原则
选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：
（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；
（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；
（3）若式子含有，可考虑余弦定理，“角化边”；
（4）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；
（5）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到.
【变式6-1】在中，角，，的对边分别为，，，满足，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，由正弦定理得，
，
，即，
，，，
，，.
故选：A.
【变式6-2】在中，角，，的对边分别为，，，面积为S.若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，且，所以，
即，
由正弦定理得：,
又因为三角形中,,
，
因为,所以.
故选：C.
【变式6-3】（多选）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知，，则下列正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】A：由，结合余弦定理得，
即，又因为为锐角三角形，所以，则，故A项正确；
B：，由正弦定理得，
即
，
再结合，可得，即，从而得，故B项错误；
C：由，，可得，故C项错误；
D：由三角形面积公式可得，故D项正确.
故选：AD.
【变式6-4】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求C；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，可得，
由余弦定理，
可得.
因为，所以.
（2）因为，所以由正弦定理得，即.
因为，所以，即.
故的面积.
题型7 三角函数与解三角形的综合应用
例7-1已知函数.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)记锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，求的周长.
【答案】(1)
(2)3
【详解】（1）
.
令，解得.
所以的单调递增区间为.；
（2），即.
因为，所以，所以，即.
由余弦定理，可得，即，所以.
于是，所以.
所以的周长为.
例7-2已知，.
(1)若函数的最小正周期为，求的值；
(2)已知中，角、、所对的边分别为、、.若，，，的面积为，求边的长.
【答案】(1)2
(2)
【详解】（1）依题意，，
由函数的最小正周期为，得，
所以；
（2）由（1）及，得，
由，得，
在中，，则，
解得，即，
由，的面积为，得，
解得，
由余弦定理得
.
【变式7-1】函数的的部分图象如图，且经过点，.

(1)求函数的解析式；
(2)的内角，，所对的边分别为，，，若，，，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为图像经过，，
所以得周期，由得.
又得，，又因为，
所以，所以.
（2）因为，又，
结合图像可知：，，
又，，由余弦定理可得.
在中，易求得，
由平方关系可得：.
所以.
【变式7-2】平面向量，函数．
(1)求函数的最小正周期与零点；
(2)在三角形中，内角的对边分别为，已知，，求三角形的面积．
【答案】(1)最小正周期为；函数的零点为
(2)
【详解】（1）因为，
所以
，
所以最小正周期为，
由，可得，解得，
所以函数的零点为.
（2）因为，所以，所以，
因为为三角形内角，所以，所以，即，
因为，所以，
整理得，解得或(舍去），
所以的面积为.
【变式7-3】已知函数，若先将其图象向右平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.
(1)求函数在上的值域；
(2)在中，角的对边分别为，若，且，求.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）将图象向右平移个单位长度，
得的图象，
再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，
得的图象，
由，得，所以，
故函数在上的值域为；
（2）由（1）得，
因为，所以，
由余弦定理得，又，所以，
由正弦定理得，又，
故.
题型8 最值问题（基本不等式法）
例8-1如图，在四边形中，，，，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】连接，
在中，，，
由余弦定理可得，
在中，，由余弦定理可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，，
即面积的最大值为.
故选：A.
例8-2在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，当的周长取最大值时，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
因为，所以，
又因为，且，所以，
又因为，，
所以，即.
（2）在中，由余弦定理，
得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为，
此时面积.
方法技巧 基本不等式求最值
利用基本不等式求最值范围，主要结合余弦定理，可求周长及面积的题目，若要求解周长的范围时，还需利用三角形“两边之和大于第三边（任意三角形）”
【变式8-1】（ 2025·河南·二模）记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）由余弦定理，得，
故，即，当且仅当时等号成立，
由正弦定理可得，
又，故，即.
（2）
设为的中点，则有，
两边平方得，，
即，
故，即，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为4.
【变式8-2】在中，角、、的对边分别为、、，已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线交于点，且，求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以
，
所以，
由于，则，所以，即，
又，所以.
（2）因为的角平分线交于点，且，，
根据三角形面积公式可得，
又，得，得，当时等号成立，
所以，
即的面积最小值为．
【变式8-3】已知、、分别为斜中角、、的对边，．
(1)求；
(2)已知的面积为，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，，
即，
因为为斜三角形，所以，故，
由正弦定理可得．
（2）由（1）知，，所以，
所以，
即，
因为，则，故，所以，
所以，则，
所以，
当且仅当，即时，取最小值．
题型9 最值问题（三角函数法）
例9-1已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
【答案】
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
例9-2已知三角形，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求角；
(2)求的最大值，并求出此时的周长.
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时的周长为
【详解】（1）由可得，
由正弦定理可得，
所以，
因为、，所以，则，故.
（2）由正弦定理可得，
所以
，
设锐角满足，，
所以，
因为，则，
故当时，即时，取最大值，
此时，，，
此时，的周长为.
方法技巧 三角函数法求最值
先利用正弦定理将边转化成角，然后利用或者题干中角的关系，可将所求式子中的角统一成一个角，需要注意题干中对角有没有限制要求，利用角的范围求出范围
【变式9-1】（ 2025·辽宁鞍山·一模）在锐角中，内角所对的边分别为，为的面积，，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由，则，故,
由是的内角，则,
所以,
由正弦定理，,
由是锐角三角形，
所以且,
解得或(舍去),
令,设,
当时，单调递增，故,
而,故.
故答案为：.
【变式9-2】已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求A；
(2)若，D为BC边的中点，求AD长的最大值；
(3)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由题设及正弦边角关系知，
所以，
由，则，且，可得；
（2）由（1）及余弦定理有，
所以，当且仅当时取等号，
D为BC边的中点，则，
所以，
综上，AD长的最大值；
（3）由，，
由（1）易知，则，
由为锐角三角形，则，则，
所以.
【变式9-3】设锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆圆心为O，且，．
(1)求的取值范围；
(2)求和面积之差的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，
可化为，
由余弦定理知，，
又,所以，
由,
因为为锐角外接圆圆心，
所以
由余弦定理得，
，
所以，
由正弦定理得，，
则
，
由,解得，
所以，
则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，
则,
且,即,
因为,
所以,
,
所以
,
所以当即时，
和面积之差的最大值
【变式9-4】的内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)若，，求内切圆的半径；
(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）因为，
所以.
由正弦定理得，所以，
因为，所以.
（2）由（1）知，代入数据得.
因为的面积，
所以内切圆的半径.
（3）如图，设，，则，且.
因为，所以.
由正弦定理得，所以，
所以，其中，
故的最大值为.
题型10 切弦互化求最值问题
例10-1已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据正弦定理的边化角公式以及两角和的正弦公式，得出，再将化简为，利用换元法以及导数，即可得出的取值范围.
【详解】由，得
整理得
，
又，
令，因为，所以
则
令，则
；
即函数在上单调递减，在上单调递增，即
故选B
【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，涉及了导数的应用，属于较难题.
【变式10-1】已知在锐角中，角的对边分别为，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，且
，
由正弦定理得：，
即
又，
，
，
（当且仅当，即，取“=”）.
故选：A
【点睛】本题主要考查正弦定理和基本不等式，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养，属于中档题.
【变式10-2】在锐角三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，根据正弦定理得，
因为，
所以，
因为三角形为锐角三角形，
所以，即，
，
由题，则，
所以，
故选：A
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）在中,内角所对的边分别为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得:，
即:，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
4．（2025·全国二卷·高考真题）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
5．（2023·全国甲卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若，求面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，解得：．
（2）由正弦定理可得
，
变形可得：，即，
而，所以，又，所以，
故的面积为．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求A．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式）
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系）
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式）
设，由题意，，
根据向量的数量积公式， ，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为
7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
8．（2025·天津·高考真题）在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求A的值；
(2)求c的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）已知，由正弦定理，
得，显然，
得，由，
故；
（2）由（1）知，且，，
由余弦定理，
则，
解得（舍去），
故；
（3）由正弦定理，且，
得，且，则为锐角，
故，故，
且；
故.
9．（2023·全国乙卷·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
2．在中，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】根据余弦定理的推论，得左边右边，故等式成立.
【点睛】本题考查了余弦定理的推理的应用，考查了证明等式的方法及推理论证能力，属于基础题.
3．已知、、分别为三个内角、、的对边，.
(1)求；
(2)若，的面积为，求、.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据正弦定理，
变为，即，
也即，
所以．
整理，得，即，所以，
所以，则．
（2）由，，得．
由余弦定理，得，
则，所以．则．
4．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D. 现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高.
【答案】
【详解】在△BCD中，
.
由正弦定理得
所以
在Rt△ABC中，
塔高为.
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