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第04讲 指数与指数函数
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 指数与指数幂的运算 4
知识点2 指数函数的图象与性质 5
题型破译 6
题型1 根式与分数指数幂的化简运算 6
【方法技巧】底数相同
题型2 定义域和解析式 7
【方法技巧】指数函数的解析式
题型3 指数应用题 7
题型4 值域 8
【方法技巧】换元为指数函数
【易错分析】易忽略新元的变化范围
题型5 定点及图象问题 9
题型6 单调性问题 10
题型7 比较指数幂大小 10
题型8 解指数不等式 11
题型9 指数的综合应用 12
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
04真题溯源·考向感知 13
05课本典例·高考素材 14
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）判断指数函数的单调性 （2）判断对数函数的单调性 （3）根据分段函数的单调性求参数 （4）指数型复合函数单调性 单选题 多选题 填空题 解答题 北京卷，第9题，4分 天津卷，第7题，5分 新课标I卷，第6题,5分 天津卷，第5题，5分 新课标I卷，第4题,5分 北京卷，第10题，5分 天津卷，第3题，5分
考情分析： 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。
复习目标： 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.能结合指数函数比较指数式大小.
知识点1 指数与指数幂的运算
1．根式
（1）次方根的概念与性质
次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.
性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作.
（2）根式的概念与性质
根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做 ，叫做被开方数.
性质 ①.
②当为奇数时，.
③当为偶数时，.
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
.
③0的正分数指数幂等于 ，0的负分数指数幂 .
（2）实数指数幂
对于任意实数，均有下面的运算性质：
①；②；③.
自主检测求值： ； .
知识点2 指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数 叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
【注】指数函数的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数与的图象关于 对称
过定点 过定点，即时，
图象
单调性 在上是减函数 在上是增函数
函数值的变化情况 当时，；当时， . 当时，；当时， .
底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
自主检测已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是 ．
题型1 根式与指数幂的运算
例1-1计算：（ ）
A．0 B．1 C．100 D．5
例1-2设函数（且），如果，那么的值等于（ ）
A．32 B．64 C．16 D．8
方法技巧 指数运算与化简求值
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
【变式训练1-1·变考法】）设，那么（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】（多选）已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】 .
题型2 定义域和解析式
例2-1函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
例2-2函数的定义域是 ．
方法技巧
定义域：
直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）．
【变式训练2-1·变考法】函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-2】（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-3】若指数函数的图象过点，则的解析式为 .
题型3 指数应用题
例3-1某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
例3-2某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数的模型，变量，参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题。
【变式训练3-1·变载体】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（ ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，）
题型4 值域
例4-1（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
例4-2函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ．
方法技巧
值域：
复合函数法：
1.先求内层函数的值域D；
2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围．
【变式训练4-1】已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】函数的值域为 .
【变式训练4-3】函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ．
题型5 定点及图象问题
例5-1函数的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
例5-2（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【变式训练5-1·变考法】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式训练5-2·变考法】（多选）如图，能使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-3】若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 ．
题型6 单调性问题
例6-1已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6-2若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-1·变考法】已知，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】函数的减区间是 ．
【变式训练6-3】函数的单调递增区间是 .
题型7 比较指数幂大小
例7-1设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
例7-2（2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题）设，，，则的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
方法技巧
1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）．
2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）．
3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）．
注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）．
【变式训练7-1】已知实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】当时，下列不等式中正确的是（ ）
B．
C． D．
【变式训练7-3】下列大小关系正确的是（ ）
①，②，③，④．
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
题型8 解指数不等式
例8-1（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例8-2已知不等式成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
指数方程：
同底法：若方程可化为，则（且）．
换元法：形如的方程，令（），转化为二次方程求解，注意验根（）．
指数不等式：
同底法：若不等式可化为，则：
当时，；
当时，．
换元法：类似指数方程，通过换元转化为整式不等式，注意新变量范围．
对数法：两边取对数（注意对数函数定义域，需保证两边均为正数），如（，），两边取自然对数得，再分的正负讨论．
【变式训练8-1】设，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练8-2】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ．
【变式训练8-3】已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ．
题型9 指数的综合应用
例9-1已知函数的图象如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
例9-2若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数且的图象恒过定点
B．若函数满足，则函数的图象关于点对称
C．当时，函数的最小值为
D．函数的单调增区间为
【变式训练9-2】（2025·湖北武汉·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在单调递增 D．函数有两个零点
【变式训练9-3】若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”，则实数的取值范围是 .
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
1．求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
2．比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，．
3．已知下列不等式成立，比较m，n的大小：
(1)；
(2)；
(3)（，且）
4．已知，，判断下面结论的正误：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
5．已知函数.
(1)判断并用定义法证明函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？
6．对于函数与：
(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；
(2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．
7．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 4
知识点1 指数与指数幂的运算 4
知识点2 指数函数的图象与性质 5
题型破译 6
题型1 根式与分数指数幂的化简运算 6
【方法技巧】底数相同
题型2 定义域和解析式 8
【方法技巧】指数函数的解析式
题型3 指数应用题 9
题型4 值域 12
【方法技巧】换元为指数函数
【易错分析】易忽略新元的变化范围
题型5 定点及图象问题 15
题型6 单调性问题 16
题型7 比较指数幂大小 18
题型8 解指数不等式 21
题型9 指数的综合应用 23
【方法技巧】由集合间的关系求参数的解题方法
04真题溯源·考向感知 26
05课本典例·高考素材 28
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）判断指数函数的单调性 （2）判断对数函数的单调性 （3）根据分段函数的单调性求参数 （4）指数型复合函数单调性 单选题 多选题 填空题 解答题 北京卷，第9题，4分 天津卷，第7题，5分 新课标I卷，第6题,5分 天津卷，第5题，5分 新课标I卷，第4题,5分 北京卷，第10题，5分 天津卷，第3题，5分
考情分析： 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6分 近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。
复习目标： 1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质. 2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念. 3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 4.能结合指数函数比较指数式大小.
知识点1 指数与指数幂的运算
1．根式
（1）次方根的概念与性质
次 方 根 概念 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，.
性质 ①当是奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数.这时，的次方根用符号表示.
②当是偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示.正的次方根与负的次方根可以合并写成.负数没有偶次方根.
③0的任何次方根都为0，记作.
（2）根式的概念与性质
根 式 概念 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数.
性质 ①.
②当为奇数时，.
③当为偶数时，.
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是.
于是，在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定且
.
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数，均有下面的运算性质：
①；②；③.
自主检测求值： ； .
【答案】 2 /0.2
【分析】利用指数、对数运算计算得解.
【详解】；.
故答案为：2；
知识点2 指数函数的图象与性质
1．指数函数的概念
一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域是.
【注】指数函数的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
定义域
值域
奇偶性 非奇非偶函数
对称性 函数与的图象关于y轴对称
过定点 过定点，即时，
图象
单调性 在上是减函数 在上是增函数
函数值的变化情况 当时，；当时， 当时，；当时，
底数对图象的影响 指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如下图所示，其中 ①在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小； ②在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小. 即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.
自主检测已知函数的图象经过第一、二、四象限，则实数a的取值范围是 ，实数b的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，如图1，由图象上下平移的可能情况，可知函数的图象不可能同时过第一、二、四象限；当时，满足条件，如图2，所以，得．
题型1 根式与指数幂的运算
例1-1计算：（ ）
A．0 B．1 C．100 D．5
【答案】C
【详解】原式．
例1-2设函数（且），如果，那么的值等于（ ）
A．32 B．64 C．16 D．8
【答案】B
【详解】由题意可得．故．
方法技巧 指数运算与化简求值
(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：
①必须同底数幂相乘，指数才能相加．
②运算的先后顺序．
（2）运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
【变式训练1-1·变考法】）设，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由得①；由得②．得，得．
【变式训练1-2】（多选）已知，下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】因为，所以A正确；，所以B错误；由可知，，所以，所以C正确；因为，又，所以原式，所以D正确．
【变式训练1-3】 .
【答案】
【分析】根据指数和对数的运算性质计算即可.
【详解】原式.
故答案为：.
题型2 定义域和解析式
例2-1函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：D.
例2-2函数的定义域是 ．
【答案】
【分析】解不等式，可得出原函数的定义域.
【详解】要使函数有意义，则，变形可得，
因为指数函数在上单调递增，则，解得，
故函数的定义域是.
故答案为：.
方法技巧
定义域：
直接法：形如的函数，定义域即的定义域（需注意本身的限制，如分母不为零、根号下非负等）．
【变式训练2-1·变考法】函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数的奇偶性排除两个选项，再利用时的函数值判断即可.
【详解】函数中，，即，解得，
函数定义域为，，
函数是偶函数，图象关于轴对称，选项AC不满足；
当时，，选项D不满足，B符合题意.
故选：B
【变式训练2-2】（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项．
【详解】对于A选项，函数的定义域为；
对于B选项，由，得，故函数的定义域为；
对于C选项，函数的定义域为；
对于D选项，函数的定义域为．
故选：B．
【变式训练2-3】若指数函数的图象过点，则的解析式为 .
【答案】
【分析】根据指数函数的概念求解.
【详解】由题意设，且，
∵的图象过点，∴，解得，
则的解析式为.
故答案为：.
题型3 指数应用题
例3-1某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为：，其中、是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么污染物减少大约需要花费（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将代入函数解析式可得，将代入函数解析式可求出的值，根据污染物减少，可得出，解出即可得解.
【详解】由可知，当时，；
当时，，解得，那么.
因为污染物减少，所以，所以，
所以．
所以污染物减少大约需要花费．
故选：B．
例3-2某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将代入关系式可得出，将代入关系式可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果.
【详解】当时，，当时，，即.
所以当时，，
即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为.
故选：A.
方法技巧
利用指数、对数运算解决实际问题时认清所给函数的模型，变量，参数，利用待定系数法确定参数的值，然后解决问题。
【变式训练3-1·变载体】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得出，，，将代入关系可得出，再将代入关系式，结合指数运算可求得结果.
【详解】由题知，，，所以，可得，
再经过分钟后，该物体的温度为，
即该物体的温度为．
故选：C．
【变式训练3-2】为保保农副产品的安全，防止农药残留超标影响公众健康，我国制定了种农药在种（类）农副产品中的项农药最高残留限量（MRL）国家标准.百菌清是农药中常用的一种杀菌剂，其最高残留限量为.一果园检测发现，某次喷洒农药后，耙耙柑上的百菌清残留量达到了，并以每天的速度降解，直至天后残留量为原来的.若在该次喷洒农药的天后，百菌清残留量为，则在该次喷洒农药的（ ）天后，百菌消残留量约为.（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可知，天后，百菌清残留量为，结合题意可得出，，然后解方程，利用指数与对数的互化可求得的值.
【详解】由题意可知，天后，百菌清残留量为，
，所以，，，
令，即，则，
所以，，所以，，故，
所以，在该次喷洒农药的天后，百菌消残留量约为.
故选：B.
【变式训练3-3】“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，）
【答案】
【分析】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米，
木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，，
以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米，
由题意可得，可得，
所以，，
所以，，则，
故至少需要天.
故答案为：.
题型4 值域
例4-1（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用函数在、上的值域，取并集即可得出函数的值域.
【详解】当时，，因为函数在上单调递增，
所以，此时；
当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数，
故，即在上的值域为.
综上所述，函数的值域为.
故选：A.
例4-2函数的单调递减区间为 ；函数的值域是 ．
【答案】
【详解】令，当时，u单调递增．而在上是减函数，所以函数的单调递减区间为．又，所以．
方法技巧
值域：
复合函数法：
1.先求内层函数的值域D；
2.再根据指数函数的单调性，求y在时的取值范围．
【变式训练4-1】已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正切函数的单调性确定，再根据指数函数的单调性即可求出的值域，即得答案.
【详解】令，则，
因为在上单调递增，
所以，
又单调递减，且，
所以，即的值域是.
故选：B.
【变式训练4-2】函数的值域为 .
【答案】
【分析】根据基本不等式求得的范围，然后根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】，当且仅当，即时等号成立，
又在上单调递增，所以，所以函数的值域为.
故答案为：
【变式训练4-3】函数的定义域为，值域为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】作出函数的图象，求出时的值，结合图象可得所求最大值．
【详解】函数
作出函数的图象如图所示，
令，解得或，
因为函数的定义域为，值域为，
由图象可得，的最大值为．
故答案为：．
题型5 定点及图象问题
例5-1函数的图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，解得，且，故函数的图象恒过定点．
例5-2（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】画出函数和的图象，借助图象分析满足等式时a，b的大小关系，如图所示．
令，若，则；若，则；若，则．
方法技巧
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
【变式训练5-1·变考法】已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出指数型函数求出所过定点，再利用基本不等式求出最小值.
【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，，
所以，当且仅当时取等号.
故选：D
【变式训练5-2·变考法】（多选）如图，能使不等式成立的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】由题图可知，当或时，不等式成立．
【变式训练5-3】若函数的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数的图象与x轴有公共点，即有实数解．由于，故，解得．
题型6 单调性问题
例6-1已知函数（且）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复合函数单调，结合分段讨论外函数单调性，再确定内函数二次函数的单调性即可求解.
【详解】当时，，所以外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递减，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
当时，，所以外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数在区间上单调递增，
则满足二次函数在区间上单调递增，
即满足对称轴，解得，结合，可得；
综上可得a的取值范围是或，
故选：A.
例6-2若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由指数函数单调性得是增函数，从而，由此结合对数函数单调性可说明A错，B对，对于CD，举反例即可判断.
【详解】，令函数，
因为都是增函数，所以是增函数，
所以，
对于AB，，故A错误，B正确；
对于CD，当时，，故CD错误.
故选：B.
【变式训练6-1·变考法】已知，当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数在上为减函数，结合指数函数、对数函数以及分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】当时，，不妨设，则，
所以，函数在上为减函数，
又因为，则，解得.
故选：D.
【变式训练6-2】函数的减区间是 ．
【答案】
【详解】令，则函数t的增区间是．而函数在上单调递减，故函数的减区间是．
【变式训练6-3】函数的单调递增区间是 .
【答案】或
【分析】根据复合函数的单调性判断可得答案.
【详解】函数，
令，
则在上单调递增，在上单调递减，
由的，而在上单调递增，
所以的单调递增区间是或.
故答案为：或.
题型7 比较指数幂大小
例7-1设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数及对数函数的单调性计算判断大小.
【详解】因为，
则.
故选：B.
例7-2（2025年天津市南开区高中学业水平合格性考试模拟练习数学试题）设，，，则的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间值和，比较大小即可求解.
【详解】因为指数函数在上单调递增，所以，即；
因为对数函数在上单调递增，所以，即；
因为对数函数在上单调递增，所以，即，
所以，即.
故选：B.
方法技巧
1.同底数比较：直接利用指数函数单调性（时，指数大的函数值大；时相反）．
2.同指数比较：构造幂函数（如比较与），利用幂函数单调性（时，底数大的函数值大）．
3.中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较与，可先与1比较，再通过取对数或换底公式进一步分析）．
注意：若底数和指数均不同，可通过取对数转化为乘法运算比较（如比较与，两边取自然对数得与）．
【变式训练7-1】已知实数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质及指数函数的单调性判断各项的大小关系.
【详解】A：当，则，错；
B：当，则，错；
C：当，有；
当，有；
当，有，对；
D：由在定义域上单调递减，则，错.
故选：C
【变式训练7-2】当时，下列不等式中正确的是（ ）
B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合幂函数以及指数函数的单调性，逐项检验，可得答案
【详解】对于A，由，则，，
易知函数在上单调递减，所以，故A错误；
对于B，由，则，易知，故B错误；
对于C，由，则，，
易知函数在上单调递减，所以，故C错误；
对于D，由，则，
易知函数在上单调递减，函数在上单调递增，
所以，故D正确；
故选：D.
【变式训练7-3】下列大小关系正确的是（ ）
①，②，③，④．
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
【答案】C
【详解】对于①，因为指数函数单调递减，所以，①错误．对于②，因为指数函数单调递减，所以；又因为幂函数在上单调递增，所以，所以，②正确对于③，因为幂函数在上单调递增．所以，③正确．对于④，因为幂函数在上单调递减，所以，即，④错误．
题型8 解指数不等式
例8-1（2025·甘肃白银·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数函数单调性解不等式求集合，再由集合的交运算求集合.
【详解】由题设，又，
所以.
故选：A
例8-2已知不等式成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由指数函数的单调性，可得，解不等式即可.
【详解】
，
即 ，即
，故不等式的解集为 ，
故选：D.
方法技巧
指数方程：
同底法：若方程可化为，则（且）．
换元法：形如的方程，令（），转化为二次方程求解，注意验根（）．
指数不等式：
同底法：若不等式可化为，则：
当时，；
当时，．
换元法：类似指数方程，通过换元转化为整式不等式，注意新变量范围．
对数法：两边取对数（注意对数函数定义域，需保证两边均为正数），如（，），两边取自然对数得，再分的正负讨论．
【变式训练8-1】设，则关于x的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以，解得.
【变式训练8-2】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】先将转化为，再利用指数函数的单调性即可得到不等式，即可求得结果.
【详解】，，即，
即，故不等式的解集为．
故答案为：
【变式训练8-3】已知函数，则不等式成立的实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得.
【详解】，定义域为关于原点对称，所以为偶函数，
又当时，为增函数；当时，为减函数，
所以即，
两边平方整理可得，解得，
所以不等式成立的实数m的取值范围为.
故答案为：.
题型9 指数的综合应用
例9-1已知函数的图象如图所示，则（ ）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】由指数型函数图象得性质，根据性质求得参数即可.
【详解】由于关于直线对称，由图可知对称轴在之间，即，
且在处函数值在之间，即．
故选：A．
例9-2若不等式在上恒成立，且，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性结合题意分析解不等式得，再利用基本不等式常数代换的方法即可求解.
【详解】由，得或，
由为增函数，解得或，
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则有或，
则存在，使得不等式，不符合；
当时，则不等式解为R，即不等式在上恒成立，
因此，即.
因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
【变式训练9-1】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．函数且的图象恒过定点
B．若函数满足，则函数的图象关于点对称
C．当时，函数的最小值为
D．函数的单调增区间为
【答案】ABD
【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据对称性的定义，转化后即可判断；对C：利用基本不等式，即可求得函数最小值：对D：根据复合函数的单调性，结合函数解析式和定义域，即可求得结果.
【详解】对A：令，解得，当时，，故恒过定点，A正确；
对B：因为，则，故的图象关于对称，B正确；
对C：因为，故，
当且仅当时取得等号，故C错误；
对D：要使有意义，则，解得，
则的定义域为，
由复合函数的单调性可得在单调递增，在单调递减，又在上单调递减，
故在单调递减，在单调递增，故D正确.
故选：ABD.
【变式训练9-2】（2025·湖北武汉·三模）（多选）已知函数，则（ ）
A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称
C．在单调递增 D．函数有两个零点
【答案】ACD
【分析】先求出函数的定义域，然后将函数利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的判断法则以及二次函数的性质依次判断A,B,C即可；分析函数与函数的单调性结合图象的交点，即可判断函数零点个数，从而判断D.
【详解】函数定义域为，又，
令，，在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确；
因为，
所以函数的对称中心为对称，故选项B错误，选项A正确；
因为，所以函数，函数，
所以在上单调递减，在上单调递增，又函数在上为增函数，
则函数与函数在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
故函数与函数在区间上有两个交点，即函数有两个零点，故D正确.
故选：ACD．
【变式训练9-3】若函数对于任意，总存在使得，则称是上的“a阶依赖函数”.若函数是上的“a阶依赖函数”，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】原问题可转化为对于任意，总存在使得，即有，解出即可得.
【详解】由题意可得，对于任意，总存在使得，
即有，则，即.
故答案为：
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
2．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
3．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
5．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
6．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
1．求下列函数的值域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用指数函数的性质即可得解；
（2）利用二次函数的性质与指数函数的性质，结合复合函数的单调性即可得解.
【详解】（1）由于，则，
故的值域为.
（2）当时，开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
则，又为减函数，
所以的值域为，即.
2．比较下列各组数的大小：
(1)，，；
(2)，，．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）（2）利用指数函数的性质，结合“媒介数”比较大小即得.
【详解】（1）函数在R上单调递增，，因此，
函数在R上单调递减，，因此，
所以.
（2）函数在R上单调递减，，因此，
函数在R上单调递增，，因此，
所以.
3．已知下列不等式成立，比较m，n的大小：
(1)；
(2)；
(3)（，且）
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】利用指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）因为在上单调递增，
又，所以；
（2）因为在上单调递减，
又，所以；
（3）当时，在上单调递减，
又且，所以；
当时，在上单调递增，
又且，所以.
4．已知，，判断下面结论的正误：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)错误；
(2)错误；
(3)正确；
(4)错误；
【分析】利用指数函数的单调性判断.
【详解】（1）解：因为，所以指数函数在R上递减，
又因为，所以，故错误；
（2）因为，所以指数函数在R上递减，
又因为，所以所以，故错误；
（3）因为，所以指数函数在R上递减，
又因为，所以，所以，故正确；
（4）因为，所以，所以指数函数在R上递增，
又因为，所以，所以，故错误；
5．已知函数.
(1)判断并用定义法证明函数的单调性；
(2)是否存在实数使函数为奇函数？
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2)存在实数，使函数为奇函数
【分析】（1）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解；
（2）利用函数奇偶性的性质即可得解.
【详解】（1）函数的定义域为，而为增函数，
则为减函数，故是增函数.
证明如下：任取，且，
则
因为，所以，则,，
所以，即，
所以在上为增函数.
（2）假设存在实数a，使为奇函数，则，
所以，解得，
当时，，其定义域为，
所以，则为奇函数，
故存在实数，满足题意.
6．对于函数与：
(1)通过计算或借助绘图工具求这两个函数图象的交点个数；
(2)比增长得快，通过分析它们的图象解释其含义．
【答案】(1)图见解析，交点个数为2
(2)见解析
【分析】（1）画出函数图象，观察图象即可得出交点个数，并且分析和时没有交点.
（2）构造函数，通过证明当时，即可证明当时，比增长得快.
【详解】（1）
由图可知，两函数图象在第一象限内有两个交点，故交点个数为2，
且随着增大，的值总大于的值，两图象再无交点，
当时，，所以此时两函数图象也没有交点，
综上所述：两函数图象共有两个交点.
（2）由图可知当时，比增长得快，
不妨设，求导得，
继续对求导得，再求导得，
因为，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
所以在上单调递增，
所以，
因此当时，比增长得快.
7．已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，．
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用代入法得到关于的方程组，解之即可；
（2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解.
【详解】（1）把，代入，
得，结合且，解得，
所以.
（2）由（1）知可化为，
故在上恒成立，
则在上的最小值不小于.
由指数函数的单调性可知函数在上为减函数，
所以当时，有最小值2，故，
故的取值范围为.
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