资源简介

第05讲 对数与对数函数
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 对数与对数运算 4
知识点2 对数函数及其性质 5
题型破译 6
题型1 指数与对数的互化及对数运算 6
【方法技巧】底数不变
题型2 换底公式 6
【方法技巧】底数不相同时换相同底后再计算
题型3 定义域和解析式 7
题型4 指对运算的应用 8
题型5 对数函数的概念与图象 9
题型6 比较对数式的大小 10
题型7 解对数方程和不等式 10
题型8 对数复合函数的单调性 11
题型9 对数函数性质的综合应用 11
04真题溯源·考向感知 12
05课本典例·高考素材 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）判断对数函数的单调性 （2）由对数函数的单调性解不等式 （3）对数的运算性质的应用 （4）比较对数式的大小 （5）对数的运算 （6）对数函数单调性 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第8题，5分 新课标I卷，第6题，5分 新课标Ⅱ卷，第8题，5分 全国甲卷理，第15题，5分 新课标I卷，第10题，5分 北京卷，第4题，4分
考情分析： 1.本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 2.本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分
复习目标： 1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系
知识点1 对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的 ，N叫做 .
（2）对数式与指数式的互化：.
（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数 ；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数 .
2．对数的性质
（1）1的对数等于0，即；
（2）底数的对数等于1，即；
（3）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：（1）；
（2）； （3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式的变形及推广：
（1）；（2）；
自主检测（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若设，且，则
D．若，则
知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质 过定点 ，即时，
在上是 . 在上是 .
当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；
当时，底数越小，图象越 轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
自主检测（多选）已知的定义域为，值域为，则（ ）
A．若，则
B．对任意，使得
C．对任意的图象恒过一定点
D．若在上单调递减，则的取值范围是
题型1 对数与对数运算
例1-1下列说法正确的是（ ）
①对数式与指数式且是同一关系式的两种不同表示方法；
②若且，则一定成立；
③对数的底数为任意正实数；
④，对于一切且恒成立．
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
例1-2已知，则的值为（ ）
A．15 B． C． D．
方法技巧 对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
【变式训练1-1·变考法】方程的解集为 .
【变式训练1-2】计算的值为 ．
题型2 换底公式
例2-1已知，，则（ ）
A． B． C． D．
例2-2已知，则（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
【变式训练2-1·变考法】已知：，求证：．
【变式训练2-2】已知.
(1)求的值；
(2)设，求证：.
题型3 定义域和解析式
例3-1（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定为“，使得”
B．函数的定义域是
C．函数且的图象经过定点
D．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时
例3-2若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ．
方法技巧
定义域：
1.真数，即解不等式（若对数函数为）．
2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．
值域：
1.先确定内层函数的取值范围（）．
2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域
【变式训练3-1·变载体】已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【变式训练3-2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】已知，，则集合（ ）
A． B． C． D．
题型4 指对运算的应用
例4-1数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则 ， .
例4-2深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．33 B．34 C．35 D．36
方法技巧
logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0)
【变式训练4-1】石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量与超声处理时间（单位：分钟）满足，其中为初始颗粒数量，为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数约为（ ）（参考数据：，）
A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4%
【变式训练4-2】香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
题型5 对数函数的概念与图象
例5-1函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例5-2（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练5-1·变考法】（多选）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（ ）
A．是函数的图象 B．是函数的图象
C．是函数的图象 D．是函数的图象
【变式训练5-2·变考法】定义在R上的奇函数，当时，，则
【变式训练5-3】已知，，，比较a，b，c的大小关系： ．
题型6 比较对数的大小
例6-1设，则（ ）
A． B． C． D．
例6-2比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)，与．
方法技巧
若底数a不确定，需分和两种情况讨论．
比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断．
【变式训练6-1·变考法】设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】设，，，列出三个数从大到小的排列顺序.
题型7 解对数方程和不等式
例7-1不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
例7-2解不等式：
(1)；
(2)（且）．
方法技巧
1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：
当时，；
当时，．
2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论．
【变式训练7-1】若集合，则 ．
【变式训练7-2】若，求实数a的取值范围．
【变式训练7-3】已知（，且），求x的取值范围．
题型8 对数复合函数的单调性
例8-1已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例8-2已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ．
【变式训练8-1】（多选）设函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数是增函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域是
【变式训练8-2】已知函数对任意的，都满足，则实数a的取值范围是 ．
题型9 对数函数性质的综合应用
例9-1已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
例9-2已知函数方程有四个不相等的实数根，求的取值范围．
方法技巧
1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．
若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．
复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．
2.对称性：
若，则图象关于直线对称；
若，则图象关于点对称．
【变式训练9-1】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-2】已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练9-3】已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
1．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
3．某工厂2016年产值为200万元，计划从2017年开始，每年的产值比上一年增长20%．问至少从哪年开始，该厂的年产值可超过1200万元？
4．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围．
5．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，）
6．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．

7．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
8．比较下列各题中两个值的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 对数与对数函数
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 对数与对数运算 4
知识点2 对数函数及其性质 5
题型破译 7
题型1 指数与对数的互化及对数运算 7
【方法技巧】底数不变
题型2 换底公式 8
【方法技巧】底数不相同时换相同底后再计算
题型3 定义域和解析式 10
题型4 指对运算的应用 11
题型5 对数函数的概念与图象 14
题型6 比较对数式的大小 16
题型7 解对数方程和不等式 18
题型8 对数复合函数的单调性 20
题型9 对数函数性质的综合应用 22
04真题溯源·考向感知 25
05课本典例·高考素材 28
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）判断对数函数的单调性 （2）由对数函数的单调性解不等式 （3）对数的运算性质的应用 （4）比较对数式的大小 （5）对数的运算 （6）对数函数单调性 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第8题，5分 新课标I卷，第6题，5分 新课标Ⅱ卷，第8题，5分 全国甲卷理，第15题，5分 新课标I卷，第10题，5分 北京卷，第4题，4分
考情分析： 1.本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习 2.本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5-6分
复习目标： 1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数 2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点 3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系
知识点1 对数与对数运算
1．对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
（2）对数式与指数式的互化：.
（3）两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数lnN.
2．对数的性质
（1）1的对数等于0，即；
（2）底数的对数等于1，即；
（3）对数恒等式.
3．对数的运算性质
如果，那么：（1）；
（2）； （3）.
4．对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式的变形及推广：
（1）；（2）；
自主检测（多选）下列关系表示正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若设，且，则
D．若，则
【答案】ABC
【详解】对于A，，所以，所以，所以A正确；
对于B，由，得，故，所以B正确；
对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；
对于D，因为，所以，所以，所以D错误.
故选：ABC.
知识点2 对数函数的图象及其性质
1．对数函数的概念
一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.
2．对数函数的图象和性质
一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：
图象
定义域
值域
性质 过定点，即时，
在上是减函数 在上是增函数
当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0
在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；
当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”．
3．对数函数与指数函数的关系
指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称.
自主检测（多选）已知的定义域为，值域为，则（ ）
A．若，则
B．对任意，使得
C．对任意的图象恒过一定点
D．若在上单调递减，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据，求解即可；对于D ，根据对数型函数的单调性和真数在恒大于等于零即可解得.
【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立，
所以判别式，即，
所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确；
对于B，若，即，
化简，
故解得，故B错误；
对于C，，因为与无关，所以，
，故定点为，故C正确；
对于D，若在上单调递减，只需要在上单调递减，且，即，解得，故.故D正确.
故选：ACD
题型1 对数与对数运算
例1-1下列说法正确的是（ ）
①对数式与指数式且是同一关系式的两种不同表示方法；
②若且，则一定成立；
③对数的底数为任意正实数；
④，对于一切且恒成立．
A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【详解】③错误，对数的底数不能为1，排除A，C，D．
例1-2已知，则的值为（ ）
A．15 B． C． D．
【答案】C
【分析】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解.
【详解】因为，所以，
又，所以.
故选：C.
方法技巧 对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R)．
【变式训练1-1·变考法】方程的解集为 .
【答案】
【分析】先确定的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为，求解出但不在范围内，最后得到原不等式解集为即可.
【详解】由题意得，解得，，解得，
因为，
所以，
则，
由对数函数性质得 在上单调递增，
可得，解得，不在范围内，故原不等式解集为.
故答案为：
【变式训练1-2】计算的值为 ．
【答案】
【分析】利用对数恒等式、换底公式及运算性质可求得所求代数式的值.
【详解】原式.
故答案为：.
题型2 换底公式
例2-1已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】，，然后利用换底公式和对数运算性质得，进而利用对数函数的单调性性得，即可得解．
【详解】，，
可知，．
故选：B
例2-2已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】．
方法技巧
对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
【变式训练2-1·变考法】已知：，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】将指数式化为对数式，再结合对数运算以及换底公式运算分析证明.
【详解】设，显然，
则，可得，
所以.
【变式训练2-2】已知.
(1)求的值；
(2)设，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）将两边取对数化简即可得解；
（2）由(1)解得，代入计算即可得解.
【详解】解：（1）将两边同取对数得，，则，所以.
（2）由，得，.
所以，，
则，故.
题型3 定义域和解析式
例3-1（多选）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，都有”的否定为“，使得”
B．函数的定义域是
C．函数且的图象经过定点
D．已知函数是定义在上的偶函数，当时，则当时
【答案】BD
【分析】由全称命题的否定为特称命题写出命题的否定判断A；由分式、对数的性质求函数定义域判断B；根据指数的性质求函数所过的定点判断C；应用偶函数性质求函数解析式判断D.
【详解】对于A选项，命题“，都有”为全称量词命题，
该命题的否定为“，使得”，A错；
对于B选项，对于函数，有，
解得且，故函数的定义域是，B对；
对于C选项，对于函数且，，
所以，函数且的图象经过定点，C错；
对于D选项，因为函数是定义在上的偶函数，当时，
当时，，则，D对.
故选：BD.
例3-2若某对数函数的图象过点，则该对数函数的解析式为 ．
【答案】
【分析】设出函数解析式，再结合图象所过点求出参数即可.
【详解】设函数解析式为，且，
由函数的图象过点，得，即，解得，
所以该对数函数的解析式为为.
故答案为：
方法技巧
定义域：
1.真数，即解不等式（若对数函数为）．
2.若存在复合函数（如根号、分式等），需结合其他函数定义域规则综合求解．
值域：
1.先确定内层函数的取值范围（）．
2.根据对数函数的单调性，由t的范围推导的值域
【变式训练3-1·变载体】已知函数，若图象过点，则的值为（ ）
A．－2 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】首先代入点求函数的解析式，再求函数值.
【详解】由条件可知，，得，
所以.
故选：B
【变式训练3-2】函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
故选：A.
【变式训练3-3】已知，，则集合（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，
所以，，因此，.
故选：D.
题型4 指对运算的应用
例4-1数学中的同构法是将不同的代数式（或不等式、方程式）通过变形，转化为形式结构相同或相近的式子，然后通过同构函数利用函数的单调性解题，此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题.如与（将化为）可以同构为.若已知关于a的方程和关于b的方程可化为同构方程，则 ， .
【答案】 3 8
【分析】化方程为，利用同构方程的意义求出；构造函数并利用导数确定单调性得即可计算得解.
【详解】关于b的方程，
依题意，，解得；
因此，显然，
函数，求导得，函数在上单调递增，
由，得，则，即，
所以.
故答案为：3；8
例4-2深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：）
A．33 B．34 C．35 D．36
【答案】B
【分析】根据已知条件列方程，求出，再由，结合指对数关系和对数函数的性质求解即可.
【详解】由题意可得，解得，
所以，
令，得，所以，
所以，
所以，
所以学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为.
故选：B.
方法技巧
logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝logab(a>0，且a≠1，b>0)
【变式训练4-1】石墨烯纳米材料的制备过程中，需通过激光散射技术监测纳米颗粒的团聚程度.在团聚指数增长阶段，散射光强度达到检测阈值时，颗粒团聚体数量与超声处理时间（单位：分钟）满足，其中为初始颗粒数量，为团聚速率常数.已知某样品经超声处理6分钟后，团聚体数量变为初始的100倍，则团聚速率常数约为（ ）（参考数据：，）
A．56.2% B．77.8% C．115.4% D．118.4%
【答案】C
【分析】根据题意，得出方程，结合对数运算性质，即可求解.
【详解】由题意，可得，即，
所以，即，可得，所以.
故选：C.
【变式训练4-2】香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽的关系，即其中是信道容量，单位bps；为信道带宽，单位Hz；代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频（FHSS）技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz，为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由17.3Mbps提高至593Mbps，依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的（ ）倍.（参考数据：，）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.
【详解】设原始状态信道容量为，提升后信道容量为，
由题意可得，即，解得，
同理，即，解得，
所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍.
故选：B
题型5 对数函数的概念与图象
例5-1函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得函数为偶函数，图象关于轴对称，当时，，结合对数函数的性质，结合选项，即可求解.
【详解】由函数，可得函数的定义域为，
又由，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
当时，，由对数函数的性质得在单调递减，且，
所以选项D符合题意.
故选：D.
例5-2（多选）下列函数是对数函数的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】只有与符合对数函数的定义．
方法技巧
对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
【变式训练5-1·变考法】（多选）如图，这是函数和的大致图象，其中，图象中在点处形成了4条曲线，从左至右分别记为，则（ ）
A．是函数的图象 B．是函数的图象
C．是函数的图象 D．是函数的图象
【答案】BC
【分析】中，令，解得或，同理中，令，解得或，故，再图象中，画出，确定是函数的图象，是函数的图象.
【详解】中，令，则，
，若，则，，解得，
若，则，，解得，
同理中，令，则，
，若，则，，解得，
若，则，，解得，
因为，所以，
作出直线，如下：
显然，是函数的图象，是函数的图象.
故选；BC
【变式训练5-2·变考法】定义在R上的奇函数，当时，，则
【答案】
【分析】由奇函数的性质求得，再有求函数值.
【详解】由在R上为奇函数，则，
所以.
故答案为：
【变式训练5-3】已知，，，比较a，b，c的大小关系： ．
【答案】
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，利用“1”、“0”比较大小.
【详解】由，，，
所以，
故答案为：
题型6 比较对数的大小
例6-1设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，构造函数并利用导数确定单调性比较大小.
【详解】令函数，求导得，函数在上单调递增，
因此，即，则，
令函数，求导得，函数在上单调递减，
因此，即，则，
所以.
故选：B
例6-2比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)，与．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据的单调性比较出大小；
（2）利用对数函数单调性和中间值比较出；
（3）利用指数函数和对数函数单调性和中间值比较出大小
【详解】（1）因为函数在上是增函数，又，所以．
（2）由于，所以．
（3）因为，，
所以．
方法技巧
若底数a不确定，需分和两种情况讨论．
比较大小时，若底数或真数不同，可引入中间值（如、）辅助判断．
【变式训练6-1·变考法】设，，，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数的指数函数的性质和单调性即可比较大小.
【详解】因为，所以.
因为为单调递减函数，所以.
，
因为为单调递增函数，所以.
因为为单调递减函数，所以.
所以.
故选：D.
【变式训练6-2】设，，，列出三个数从大到小的排列顺序.
【答案】
【分析】作商结合对数函数的单调性与1比较计算求解.
【详解】由题意得．
，故；
，，
故．
题型7 解对数方程和不等式
例7-1不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用对数函数的单调性可得答案.
【详解】由已知得，
解得.
故选：D.
例7-2解不等式：
(1)；
(2)（且）．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用对数函数的单调性可得答案；
（2）分、讨论，利用对数函数的单调性可得答案．
【详解】（1）原不等式等价于，解得，
所以不等式的解集为；
（2）原不等式化为．
当时，
不等式等价于，不等式组无解．
当时，不等式等价于，
解得．
综上可知，当时，解集为；
当时，解集为．
方法技巧
1.若对数底数a确定，直接利用单调性去掉对数符号，注意真数大于0，如：
当时，；
当时，．
2.若底数a不确定，需分和两种情况讨论．
【变式训练7-1】若集合，则 ．
【答案】
【分析】利用对数函数单调性求解不等式化简集合A，再利用补集的定义求解.
【详解】由，得，则，
所以．
故答案为：
【变式训练7-2】若，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据底数分类讨论，利用对数函数单调性求解.
【详解】若时，则，解得，故，
若，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是．
【变式训练7-3】已知（，且），求x的取值范围．
【答案】答案见解析
【分析】分、讨论，利用对数函数的单调性可得答案.
【详解】，
当时，有，解得．
当时，有，
解得．
综上可得，
当时，不等式中的取值范围为；
当时，不等式中的取值范围是．
题型8 对数复合函数的单调性
例8-1已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围.
【详解】由函数在上单调递增，
可得在上单调递增，
且在上恒成立，故需满足，解得.
故选：B.
例8-2已知函数，函数在上单调递减，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】由复合函数单调性的同增异减原则可知在上单调递减，且真数，在上恒成立，建立不等式求解即可.
【详解】函数在上单调递减，则在上单调递减，
因为二次函数的对称轴为，且开口向上，则，
要使得有意义，则，在上恒成立，
则，
故，解得，所以.
故答案为：.
【变式训练8-1】（多选）设函数，则下列命题为真命题的是（ ）
A．函数的定义域为 B．函数是增函数
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的值域是
【答案】ACD
【详解】恒成立，故A正确；函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；由，可知值域为，图象关于直线对称，故C，D正确.
【变式训练8-2】已知函数对任意的，都满足，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】当时，在上单调递增，显然不满足，所以，只需在上恒成立，且在上单调递增，即对恒成立，且对称轴，故．故实数a的取值范围是．
题型9 对数函数性质的综合应用
例9-1已知定义在上的奇函数满足：，且当时，（为常数），则的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】由在上为奇函数，根据，求得，再由，得到的周期为，结合，代入计算，即可求解.
【详解】由函数，
因为在上为奇函数，可得，解得，
所以函数，
又因为，所以函数的周期为，
所以.
故选：A.
例9-2已知函数方程有四个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】
【分析】将问题转化为的图象与直线有四个不同的交点，采用数形结合的方式可确定四个根所处的范围，结合对勾函数单调性和正弦函数的对称性可求得所求的范围．
【详解】不妨设，方程有四个不相等的实数根等价于的图象与直线有四个不同的交点，作出的图象如图所示．
由图象可知，．因为，所以，即，所以．因为在上单调递减，所以，即．又点关于直线对称，所以．所以的取值范围是．
【点睛】本题考查方程根的取值范围的求解问题，解题关键是能够将问题转化为的图象与直线的交点的问题，采用数形结合的方式确定交点横坐标的取值范围，进而结合函数单调性和对称性来求解范围．
方法技巧
1.奇偶性：判断与的关系，注意定义域需关于原点对称．
若，则非奇非偶（定义域不关于原点对称）．
复合函数如，需先求定义域，再验证（奇函数）．
2.对称性：
若，则图象关于直线对称；
若，则图象关于点对称．
【变式训练9-1】，若存在使得成等差数列，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质列方程，结合对数函数的知识列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由，解得，
依题意，存在使得成等差数列，
即存在使得，
即存在使得，
则， ，
设，则，
函数的开口向上，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，
则，
所以，而且，所以.
故选：B
【变式训练9-2】已知函数，若方程有四个不同的实根，且，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出的图象，确定的范围，再根据对数的运算以及二次函数的对称性得和，进而利用二次函数的性质求出范围.
【详解】作出函数的图象，且，
方程有四个不同的实根，则，
由，得，即，由，得，
，，
函数在上单调递增，当时，，
则的取值范围为，所以的取值范围为.
故选：C
【变式训练9-3】已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，可判断为偶函数，进而判断的单调性，可得时，，结合时，，结合条件可得解.
【详解】设，，
因为，所以为偶函数，
当时，单调递增，且单调递增，所以是单调递增，
故当时，是单调递减，
所以当时，的最小值为，所以当时，，
当时，，因此，因为存在最小值，所以．
故选：A.
1．（2025·全国一卷·高考真题）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ）
A．2h B．4h C．20h D．40h
【答案】B
【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.
【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,
由题意，，
，
，
因为，所以，
所以，
所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.
故选：B.
3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.
【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
4．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意分析可得，消去即可求解.
【详解】由题意得，则，即，所以.
故选：D.
5．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可.
【详解】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则 ．
【答案】64
【分析】将利用换底公式转化成来表示即可求解.
【详解】由题，整理得，
或，又，
所以，故
故答案为：64.
1．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意，知，所以.又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以，即或，所以或.
故选：D.
2．已知与互为相反数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的概念以及对数运算法则得出结果.
【详解】由已知得，即，所以.
故选：C.
3．某工厂2016年产值为200万元，计划从2017年开始，每年的产值比上一年增长20%．问至少从哪年开始，该厂的年产值可超过1200万元？
【答案】2026
【分析】每年的产值构成等比数列，由首项和公比得到通项公式，进而得到不等式，求出答案.
【详解】每年的产值构成等比数列，首项，公比，
则，令，即，
解得，取，
，
故从2026年开始，该厂的年产值可超过1200万元.
4．设，若复数在复平面内的对应点在第三象限，求的取值范围．
【答案】
【分析】根据复数的几何意义得到，再根据对数函数的性质解不等式即可.
【详解】因为复数在复平面内的对应点在第三象限，
所以，即，所以，解得，
即实数的取值范围为.
5．已知放射性物质镭经过年后，其剩余的质量为原来的，求经过多少年后其剩余的质量为原来的．（参考数据，）
【答案】约经过年后其剩余的质量为原来的
【分析】可设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是，利用指数函数列方程求出即可．
【详解】设这种放射性物质最初的质量是，经过百年后，剩余量是，
依题意()，令，两边取对数，得，
解得，
所以约经过年后其剩余的质量为原来的．
6．对数函数，，（，，，且a，b，c均不为1）的图象如图，试比较a，b，c的大小．

【答案】
【分析】令时，分布求对应的实数根，根据图象确定的大小.
【详解】当时，，，
如图①，②，③，

由图可知
7．求下列函数的定义域：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根据对数函数的性质，列出不等式，即可求解.
【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，
所以函数的定义域为.
（2）解：由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
8．比较下列各题中两个值的大小：
(1)，；
(2)，；
(3)，.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）（2）利用对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系；
（3）分、两种情况讨论，结合对数函数的单调性可得出题中两个对数的大小关系.
【详解】（1）解：因为函数在上为增函数，且，所以，.
（2）解：因为函数在上为减函数，且，所以，.
（3）解：当时，函数在上为减函数，
因为，所以，；
当时，函数在上为增函数，
因为，所以，.
综上所述，当时，；当时，.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑