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第05讲 数列求和
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 倒序相加法 4
知识点2分组求和法 4
知识点3 裂项相消法 5
知识点4 错位相减法 6
知识点5奇偶项讨论求和 7
题型破译 8
题型1 倒序相加法 8
题型2 分组求和法 10
题型3 错位相减法 13
题型4 裂项相消法之等差型 16
【方法技巧】裂项相消法之等差型模型特点
题型5 裂项相消法之根式型 19
【方法技巧】裂项相消法之根式型模型特点
题型6 裂项相消法之指数型 21
【方法技巧】裂项相消法之指数型模型特点
题型7 裂项相消法之裂项相加型 25
【方法技巧】裂项相消法之裂项相加模型标志
题型8 奇偶项分类讨论求和 28
04真题溯源·考向感知 31
05课本典例·高考素材 35
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）公式法 （2）奇偶讨论、并项分类 （3）倒序相加法 （4）裂项相消法 （5）错位相减法 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T16（2），（10分） 天津卷T19（2）（ⅰ），（5分） 全国甲卷（文）T17（2），（7分） 全国甲卷（理）T18（2），（7分） 天津卷T19（2）（ⅱ），（6分） 全国甲卷（理）T17（2），（7分） 全国II卷T18（2），（7分）
考情分析：高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前 项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查．
复习目标： （1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． （2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
知识点1 倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
自主检测1．已知数列中，，则（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
【答案】A
【详解】，
所以，
两式相加可得：，
所以，
故选：A
知识点2分组求和法
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
自主检测已知数列为等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）在等比数列中，由，，得公比，
，解得，，
所以的通项公式是.
（2）由（1）知，，
所以.
知识点3 裂项相消法
1、等差型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
①
如：
3、指数型
①
如：
4、通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
自主检测已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公比为，根据题意，当时，．
即，解得．所以．
（2）因为，所以，
方程两边都除以得．
所以．
于是．
知识点4 错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
自主检测．已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若为递增数列，，求数列的前项和．
【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）因数列为等差数列，则，解得，
同理可得，
因，则，又，得，
因数列为等比数列，则，解得，
若，则，公比为，公差为；
若，则，公比为，公差为，
则或．
（2）因为递增数列，则，，则，
则，，
两式相减得，
．
知识点5奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
2、通项含有的类型；例如：
自主检测已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，.
当时，由，得，
则.
因为，所以.
（2）由（1）可得
当为偶数时，，
则，
则，
则
，
则.
当为奇数时，.
故
题型1 倒序相加法
例1-1已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因，
且①
则，②
由①+②可得：，
故.
故选：C.
例1-2高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 .
【答案】1012
【详解】由，则，则，
，
因为，由等比数列的性质可知，，，，……，
所以上式.
故答案为：
【变式训练1-1】已知，若等比数列满足，则（ ）
A． B．1013 C．2025 D．2026
【答案】D
【详解】因，数列是等比数列，有，
因为，所以，
故有
设，
则，
则，
则.
故选：D.
【变式训练1-2】已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
设，
则，
，所以，
故选：B．
【变式训练1-3】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ．
【答案】4050
【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，，
则，
由，当时，，
于是，
令，
则，
因此，
所以.
故答案为：4050.
题型2 分组求和法
例2-1已知数列中，，（n为正整数）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析，
(2)
【详解】（1）已知，等式两边同除得，且
所以是以为首项，以为公差的等差数列.
则，解得.
（2）数列的前n项和为
，
根据等差数列等比数列前n项和公式可得，
所以数列的前n项和.
例2-2已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【答案】(1)；
(2) .
【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，，得，
化简得，解得，，
所以数列的通项公式为.
（2）由，得，
则
.
【变式训练2-1】已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）因为，又，
故是以为首项，2为公差的等差数列，
所以，
又，，成等差数列，故，
设的公比为，其中，则，解得或
当时，，此时，为递增数列，满足要求，
当时，，此时，为递减数列，舍去，
综上，，；
（2）由（1），
.
【变式训练2-2】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知，均为等比数列，且，.
(1)证明：为定值.
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：设数列的公比为，数列的公比为
依题意可得的公比为，的公比为，
所以，，
则，故为定值.
（2）由，
故
.
【变式训练2-3】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和；
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）由点在函数的图象上，得，
当时，，而满足上式，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知，，，当为偶数时，，
所以数列的前20项和
.
题型3 错位相减法
例3-1已知数列的前n项和为，，当时，
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和为．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，即，
整理得：，即，
当时，，
所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
所以，即.
当时，，
当时，不符合上式，故.
（2）由（1）知，所以，
所以，①
，②
由得，.
所以.
例3-2（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以当时，；
当时，，
所以，
即，
又，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得
所以．
（3）由（2）得，
记 ，①
则 ，②
由①－②得
所以，
所以 ．
【变式训练3-1】在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，
所以
解得，，
故的通项公式为．
（2）因为，
所以，①
，②
①-②得
，
故．
【变式训练3-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和；
(3)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)证明见解析
(2)，
(3)
【详解】（1），
所以数列为等差数列，首项为，公差为1.
（2），.
（3），，
，
两式相减可得
；
所以.
【变式训练3-3】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列的首项，等比数列的公比，且，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，由已知，得，
即，∴，
∴，.
（2），
，
，
两式相减得：
所以 .
题型4 裂项相消法之等差型
例4-1已知等比数列的各项均为正数，首项为其前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设等比数列由的公比为，且，
因为，则，即，
又，上式整理得，解得或 （舍去），
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，则，
.
例4-2已知是数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可得，.
当时，.
当时，.
不满足上式，.
（2）由（1）知，.
当时，.
当时，，
.
又满足上式，.
方法技巧 裂项相消法之等差型模型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
【变式训练4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和；
(3)记，求数列的前n项和．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1），得，
当时，有，
得，
化简可得，
因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以；
（2）由（1）可得，
当时，，
当时，，
综上，；
（3）由（1）可得，
则.
【变式训练4-2】已知数列为等差数列，的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）设数列的公差为，由题得，
解得，所以.
（2），
则
.
【变式训练4-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
【答案】(1)8，15，24
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以.
又，所以.
（2）由（1）可知，
则时，，
则.
当时，，适合上式，所以数殉的通项公式为；
（3）由（2）可得
则
.
题型5 裂项相消法之根式型
例5-1(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
【答案】(1)或；
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为d，依题意，，，成等比数列，
所以，解得：或
当时，；当时，，
所以数列的通项公式为或.
（2）因为等差数列的公差不为零，由（1）知（），
则，
所以
.
例5-2设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
成等比数列，
则，
即，
将代入上式，解得或（舍去）．
；
（2）由（1）得，又，
所以，
所以，
则
．
方法技巧 裂项相消法之根式型模型
①
如：
【变式训练5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，
，，成等比数列，
则，即，
将代入上式，解得或（舍去）．
；
（2）由（1）得，又，
所以，
所以，
则
．
【变式训练5-2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设数列的公差为，由，
则，解得，故；
（2）由（1）得．
.
题型6 裂项相消法之指数型
例6-1已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则.
（2）由（1）可得，
所以
所以
（3）由（1）可得
易知在上单调递增，且恒成立，所以
故得证.
例6-2已知正项数列的首项为7，且，数列满足，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）（1）因为，所以．
因为，所以，即．
又，所以是首项为7，公差为3的等差数列．
因为，①
所以当时，，②
①-②得也满足．
故的通项公式为的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以
（3）因为，
所以，
当时，取得最小值．
因为对任意恒成立，所以，
整理得，解得．
方法技巧 裂项相消法之指数型模型
①
如：
【变式训练6-1】已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，
可得时，，
解得，
时，，又，
两式相减可得，
即有，
数列是首项为3，公比为3的等比数列，
所以；
（2）数列满足，
所以．
【变式训练6-2】已知数列中，，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，为数列的前n项和，证明：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意知，所以，
由于，故，
故，
故数列是以3为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）知，数列是以3为首项，公比为3的等比数列，
所以，故
（3）由（2）知．，
所以，-
故
由于，故，
【变式训练6-3】拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且．
(1)求；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)若数列，记为数列的前项和，证明：．
【答案】(1)．
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）解：由函数，则，
则，可得，
即，
又由，所以；
（2）解：由（1）知：，可得，即，
又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列．
（3）证明：由（2）可得，则，
所以，
则 .
因为，可得，所以，
所以.
题型7 裂项相消法之裂项相加型
例7-1（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）由，，得，又，
数列是首项为，公差的等差数列，
，即，
当时，，且也满足，
，则数列的通项公式为；
（2）由（1）得，
.
例7-2（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，，
由，，成等比数列，得，而，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
所以.
方法技巧 裂项相加的标志
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
【变式训练7-1】已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见解析，；
(2).
【详解】（1）由，则，又，则，
所以是首项、公比都为4的等比数列，则，故；
（2）由（1）及已知有，
所以，
所以 .
【变式训练7-2】已知数列满足，，，数列满足，.
(1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)令，记数列的前项和为，求证：.
【答案】(1)证明见解析，
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意，，因为，
数列的第一项为0，数列不是等比数列；
但是，
且，
∴数列是以2为首项以2为公比的等比数列.
（2）方法一：因为，且
数列是以1为首项，以0为公差的等差数列.
，；
方法二：，用累乘可得，当时，
，……，，，
所以，即，
又，；
（3）因为，
所以 ，
因为，.
【变式训练7-3】已知数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵数列的前项和为满足，
，而，
数列是首项为1，公差为1的等差数列，
，即，
当时，，显然也满足上式，
.
（2）由（1）知，，
，
.
题型8 奇偶项分类讨论求和
例8-1记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式;
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1).
(2).
【详解】（1）由题意，当时，，即，所以.
当时，，
所以，
即，，
累加可得
则，
又满足该式，故.
（2）由题意，，
当为偶数时，即有，，
则；
当为奇数时，则为偶数，.
综上，.
例8-2已知首项为的数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，可得，
且，
可知数列是以首项为，公比为3的等比数列，
则，可得，
当时，，
且符合上式，所以.
（2）由（1）可知：，
可得
，
所以.
【变式训练8-1】已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，即，
又，所以，所以，即，
当时，，
当时，也适合上式，所以．
（2）由（1）知，则，
当n为偶数时，，
当n为奇数时，为偶数，，
所以.
【变式训练8-2】已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，，
(1)求和的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）设数列公差为，数列公比为，
由 ，得解得．
所以．
由于，即，又，，
所以，解得或（舍去）
所以；
（2）由（1）得：
所以
所以
所以
当为偶数时：
当为奇数时：
.
【变式训练8-3】记是等差数列的前项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
【答案】(1)
(2)4
(3)
【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意知，，解得，
所以.
（2）由（1）可得，
由可得，解得或，
因为，故正整数的最小值为.
（3）因
当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
所以数列的前项和为：.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求的通项公式．
（2）利用错位相减法可求.
【详解】（1）当时，，解得．
当时，，所以即，
而，故，故，
∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，
所以.
（2）,
所以
故
所以
，
.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为,故，
所以即故等比数列的公比为，
故，故，故.
（2）由等比数列求和公式得，
所以数列的前n项和
.
3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：
显然为偶数，则，
所以，即，且，
所以是以2为首项，3为公差的等差数列，
于是．
[方法二]：奇偶分类讨论
由题意知，所以．
由（为奇数）及（为偶数）可知，
数列从第一项起，
若为奇数，则其后一项减去该项的差为1，
若为偶数，则其后一项减去该项的差为2．
所以，则．
[方法三]：累加法
由题意知数列满足．
所以，
，
则 ．
所以，数列的通项公式．
（2）[方法一]：奇偶分类讨论
．
[方法二]：分组求和
由题意知数列满足，
所以．
所以数列的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；
同理，由知数列的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．
从而数列的前20项和为：
．
4．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+与关系式
设，则，
当时，；
当时， ；
因为也是等差数列，所以，解得；
所以，，故.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列的公差为d，等差数列的公差为，
则，将代入，
化简得对于恒成立．
则有，解得．所以．
选①③作条件证明②：
因为，是等差数列，
所以公差，
所以，即，
因为，
所以是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设，则，
当时，；
当时， ；
因为，所以，解得或；
当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列；
当时，，不合题意，舍去.
综上可知为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为，所以，，因为也为等差数列，所以公差，所以，故，当时，，当时，满足上式，故的通项公式为，所以，，符合题意.
1．(人教A版选择性必修第二册练习第3题为背景改编)当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源 交通 信息通信等领域有关技术加速融合，电动化 网联化 智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
【答案】B
【详解】设第年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润是以2为首项，0.2为公差的等差数列，
所以，设第年新能源汽车的销量为辆，
则该汽车的销量是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以，
设该车企销售新能源汽车的总利润为，
①，
，②
①-②得：
，
所以万元，即亿元，
故选：B.
2．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第10题改)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则 ．
【答案】4725或4746
【详解】由，得，或，
若，则数列是周期数列，其周期为3，
因此；
若，则数列去掉前3项后是周期数列，其周期为3，
因此.
故答案为：4725或4746
【点睛】思路点睛：由“角谷猜想”的运算法则，利用逆推的方法求出前4项，再利用周期性求和.
3．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第9题)小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？
【答案】元
【详解】由题意得，小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出的钱数为：
（元）
即能取到元.
4．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第12题)已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)不存在，理由见解析.
【详解】（1）由题意知当时，①
当时，②
联立①②，解得，；
所以数列的通项公式．
（2）由（1）知，，
所以，可得；
设数列中存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列，则，
所以，即；
又因为，，成等差数列，所以，
所以，化简得，即；
又，所以与已知矛盾；
所以在数列中不存在3项，，成等比数列．
5．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第14题)在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为．
（1）求出；
（2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式．
参考公式：．
【答案】（1）10；（2）；；证明见解析；
【详解】观察图形的排列规律可知，
；
；
；
（1）
（2）由上知，
则
又，故
则
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 数列求和
目录
01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 倒序相加法 4
知识点2分组求和法 4
知识点3 裂项相消法 5
知识点4 错位相减法 6
知识点5奇偶项讨论求和 6
题型破译 7
题型1 倒序相加法 7
题型2 分组求和法 7
题型3 错位相减法 9
题型4 裂项相消法之等差型 11
【方法技巧】裂项相消法之等差型模型特点
题型5 裂项相消法之根式型 13
【方法技巧】裂项相消法之根式型模型特点
题型6 裂项相消法之指数型 15
【方法技巧】裂项相消法之指数型模型特点
题型7 裂项相消法之裂项相加型 18
【方法技巧】裂项相消法之裂项相加模型标志
题型8 奇偶项分类讨论求和 20
04真题溯源·考向感知 22
05课本典例·高考素材 24
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）公式法 （2）奇偶讨论、并项分类 （3）倒序相加法 （4）裂项相消法 （5）错位相减法 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T16（2），（10分） 天津卷T19（2）（ⅰ），（5分） 全国甲卷（文）T17（2），（7分） 全国甲卷（理）T18（2），（7分） 天津卷T19（2）（ⅱ），（6分） 全国甲卷（理）T17（2），（7分） 全国II卷T18（2），（7分）
考情分析：高考对数列求和的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．数列的求和主要考查等差、等比数列的前 项和公式及非等差、等比数列的求和方法，其综合性较强．数列求和问题以解答题的形式为主，偶尔出现在选择填空题当中，常结合函数、不等式综合考查．
复习目标： （1）熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式． （2）掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法．
知识点1 倒序相加法
即如果一个数列的前项中，距首末两项“等距离”的两项之和都相等，则可使用倒序相加法求数列的前项和.
自主检测1．已知数列中，，则（ ）
A．96 B．97 C．98 D．99
知识点2分组求和法
1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.
2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.
自主检测已知数列为等比数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
知识点3 裂项相消法
1、等差型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
2、无理型
①
如：
3、指数型
①
如：
4、通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
自主检测已知是首项为1的等比数列，数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
知识点4 错位相减法
错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．
自主检测．已知分别是等差数列和等比数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)若为递增数列，，求数列的前项和．
知识点5奇偶项讨论求和
1、通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：
角度1：求的前项和
角度2：求的前项和
2、通项含有的类型；例如：
自主检测已知数列的前项和为.
(1)求的通项公式；
(2)若求数列的前项和.
题型1 倒序相加法
例1-1已知，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
例1-2高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，…，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前n项和的方法正是借助了高斯算法.已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1， ，试根据提示探究：若，则 .
【变式训练1-1】已知，若等比数列满足，则（ ）
A． B．1013 C．2025 D．2026
【变式训练1-2】已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ．
题型2 分组求和法
例2-1已知数列中，，（n为正整数）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
例2-2已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，设数列的前项和为，求.
【变式训练2-1】已知数列满足：，，数列为单调递增的等比数列，，且，，成等差数列.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【变式训练2-2】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知，均为等比数列，且，.
(1)证明：为定值.
(2)求数列的前项和.
【变式训练2-3】已知函数，数列的前项和为，点均在函数的图象上．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前20项和；
题型3 错位相减法
例3-1已知数列的前n项和为，，当时，
(1)求；
(2)设，求数列的前n项和为．
例3-2（2025·辽宁·二模）记数列的前项和为，已知．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和．
【变式训练3-1】在等差数列中，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
【变式训练3-2】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知数列满足，，数列满足．
(1)证明：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式及前n项和；
(3)记，求数列的前n项和．
【变式训练3-3】（2025·湖北襄阳·模拟预测）已知等差数列的首项，等比数列的公比，且，.
(1)求数列和数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
题型4 裂项相消法之等差型
例4-1已知等比数列的各项均为正数，首项为其前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)，求数列的前项和．
例4-2已知是数列的前项和，数列是首项为2，公比为2的等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知，求数列的前项和.
方法技巧 裂项相消法之等差型模型
①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
【变式训练4-1】（2025·甘肃白银·模拟预测）记数列的前n项和为，已知，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项和；
(3)记，求数列的前n项和．
【变式训练4-2】已知数列为等差数列，的前项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和.
【变式训练4-3】（2025·甘肃·模拟预测）已知数列的前项和为，且.
(1)求；
(2)求的通项公式；
(3)若，求数列的前项和.
题型5 裂项相消法之根式型
例5-1(1)求数列的通项公式；
(2)若等差数列的公差不为零，且数列满足：，求数列的前99项和.
例5-2设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.
方法技巧 裂项相消法之根式型模型
①
如：
【变式训练5-1】（2024·辽宁沈阳·三模）设公差不为的等差数列的首项为，且成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列为正项数列，且，设数列的前项和为，求证：.
【变式训练5-2】（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）设数列为等差数列，前项和为 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求．
题型6 裂项相消法之指数型
例6-1已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
例6-2已知正项数列的首项为7，且，数列满足，．
(1)求和的通项公式；
(2)求数列的前n项和；
(3)设，为数列的前n项和，若对任意，恒成立，求实数m的取值范围．
方法技巧 裂项相消法之指数型模型
①
如：
【变式训练6-1】已知数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【变式训练6-2】已知数列中，，且满足．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)求的通项公式；
(3)令，为数列的前n项和，证明：．
【变式训练6-3】拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且．
(1)求；
(2)证明：数列为等比数列；
(3)若数列，记为数列的前项和，证明：．
题型7 裂项相消法之裂项相加型
例7-1（2025·福建龙岩·二模）已知数列的前项和为，且满足，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
例7-2（2025·河北秦皇岛·二模）已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项和．
方法技巧 裂项相加的标志
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
【变式训练7-1】已知数列满足，.
(1)证明：是等比数列，并求出数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【变式训练7-2】已知数列满足，，，数列满足，.
(1)证明：数列不是等比数列；并且求数列的通项公式；
(2)求数列的通项公式；
(3)令，记数列的前项和为，求证：.
【变式训练7-3】已知数列的前项和为，满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和.
题型8 奇偶项分类讨论求和
例8-1记为数列的前项和，已知.
(1)求的通项公式;
(2)设，求数列的前项和.
例8-2已知首项为的数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
【变式训练8-1】已知正项数列的前n项和为，且满足．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
【变式训练8-2】已知为等差数列，为等比数列且公比大于，，，，
(1)求和的通项公式；
(2)设，记数列的前项和为，求.
【变式训练8-3】记是等差数列的前项和，若．
(1)求数列的通项公式；
(2)求使成立的的最小值；
(3)求数列的前项的和．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和.
3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知数列满足，
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求的前20项和.
4．（2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
5．（2021·全国甲卷·高考真题）已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
1．(人教A版选择性必修第二册练习第3题为背景改编)当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源 交通 信息通信等领域有关技术加速融合，电动化 网联化 智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
2．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第10题改)任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），，若，记数列的前项和为，则 ．
3．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第9题)小明的父母为了准备小明将来考入大学的学费，于2017年元旦在某银行存入10000元，并在后续每一年的元旦都在该银行存入1200元，直到2022年存入最后一笔钱为止．如果银行的存款年利率为2．75%，且以复利计息，那么小明的父母在2022年底将存款连本带利全部取出时，能取到多少钱？
4．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第12题)已知等比数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，，（其中，，成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．
5．(人教A版选择性必修第二册复习参考4第14题)在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球．记第n堆的乒乓球总数为．
（1）求出；
（2）试归纳出与的关系式，并根据你得到的关系式探求的表达式．
参考公式：．
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