资源简介

第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 一元二次不等式 3
知识点2 简单分式不等式 5
知识点3 绝对值不等式 5
知识点4 高次不等式 5
题型破译 6
题型1 解不含参数的一元二次不等式 6
题型2 解分式不等式、高次不等式 7
题型3 解绝对值不等式 9
题型4 解含参数的一元二次不等式 10
【方法技巧】分类讨论技巧
题型5 由一元二次不等式的解集求参数 14
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数 15
题型7 一元二次不等式的实际问题 18
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题 20
【方法技巧】恒（能）成立的处理方法
题型9 一元二次方程根的分布问题 23
04 真题溯源 考向感知 26
05 课本典例·高考素材 27
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）会从实际生活或数学问题中抽象出一元二次不等式模型； （2）能结合二次函数图象，判断一元二次方程根的个数，并依据图象特征求解一元二次不等式； （3）掌握分式不等式和绝对值不等式的基本解法 单选题 多选题 填空题 解答题 上海卷T2（4分） 天津卷T15（5分） / 全国 I卷T1（5分）
考情分析： 新高考卷中，该专题属于基础核心考点，常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查，单独命题较少。命题侧重对“三个二次”关系的理解，强调通过函数图像分析根的分布及不等式解集。备考需重点掌握分式与绝对值不等式转化技巧，以及恒成立问题中参数范围的求解策略。
复习目标： 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系； 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义； 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，类比求解高次不等式、分式不等式和绝对值不等式
知识点1 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
一元二次不等式 的解集 解集为
一元二次不等式的解集
2．不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：或
（2）恒成立的充要条件是：或
自主检测1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】原不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为.
故选：A.
2．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以其否定“，”是真命题，
即在上恒成立，所以,解得.
故答案为：
知识点2 简单分式不等式
（1）；（2）
（3）左移，通分变成（1）；（4）左移，通分变成（2）
自主检测不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
知识点3 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．和型不等式的解法
（1）；
（2）.
3．和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
自主检测已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，集合，所以.
故选：A
知识点4 高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．穿根引线法的步骤：
①将最高次项系数化为正数；
②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
自主检测（多选）下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为或
B．不等式的解集为或
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为或
【答案】AD
【详解】由得，解得或，
由得，即，解得或，
故选：AD
题型1 解不含参数的一元二次不等式
例1-1已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为集合，，所以.
故选：C．
例1-2已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，
则或，则.
故选：B
【变式1-1】已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，可得，解得，
所以，由，可得，
又，所以，
所以实数 的取值范围是.
故选：A.
【变式1-2】解关于的不等式组：
【答案】
【详解】原不等式组可化为 即
所以，原不等式组的解集为．
题型2 解分式不等式、高次不等式
例2-1（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 .
【答案】
【详解】因为，
解得且，即，
所以不等式的解集是.
故答案为：
例2-2不等式的解集为 ．
【答案】或
【详解】由可得，即，
如下图所示：
由“穿针引线”法可知，原不等式的解集为或.
故答案为：或.
【变式2-1】若集合，则（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】D
【详解】因为集合，解得：或，所以.
故选：D.
【变式2-2】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，故，
故选：D.
【变式2-3】若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，当时，，即，解得，故此时符合题意．当时，，所以，故符合题意．由得，由题可知是的子集，所以．
【变式2-4】不等式的解集为 .
【答案】
【详解】，
令，因为，所以恒成立，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
题型3 解绝对值不等式
例3-1（2025·浙江·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
故选：D.
例3-2不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可得，解得，
即不等式的解集是.
故选：B.
【变式3-1】不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【详解】当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
综上，不等式的解为或，
所以A为必要不充分条件，B、D为充分不必要条件，C为充要条件.
故选：A.
【变式3-2】不等式的解集是 .
【答案】
【详解】根据题意可知不等式等价于或，
解得或.
故答案为：
【变式3-3·变题型】对任意实数，的最小值为 ．
【答案】4
【详解】方法1：由绝对值三角不等式，可得，
当且仅当，即时，取得最小值4．
方法2：设，
当时，；
当时，；
当时，.
综上，可得的最小值为4.
故答案为：4.
题型4 解含参数的一元二次不等式
例4-1对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABCD
【详解】对于一元二次不等式，
当时，函数的图象开口向上，与轴的交点为，，故不等式的解集为.
当时，函数的图象开口向下，
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为；
若，不等式的解集为.
故选：ABCD.
例4-2求下列关于的不等式的解集：．
【答案】答案见解析
【详解】由，得，
因为，所以，
当时，解得；
当时，，解得或；
当时，，解得或．
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
方法技巧 分类讨论技巧
解含参数的一元二次不等式：
（1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
（2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；
（3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【变式4-1】已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，，
因为 ，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C.
【变式4-2】解关于x的不等式．
【答案】答案见解析
【详解】原不等式可化为，即，
①当时，原不等式化为，解得
②当时，原不等式化为，
原不等式解集，
原不等式解集为，
原不等式解集为，
③当时，原不等式化为．
原不等式解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集；
当时，不等式解集为.
【变式4-3】解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【详解】当时，原不等式可化为：.
当时，.
若即时，原不等式的解为：或；
若即时，原不等式的解为：；
若即时，原不等式的解为：或.
当时，.
因为，所以.
综上可知：当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为：.
【变式4-4】设．
(1)若，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)4；
(2)答案见解析；
【详解】（1）由，且，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为4.
（2）由题设，则，
若，则，即，解集为；
若，则，解集为；
若，则，
当，即时，解集为；
当，即时，解集为；
综上，时解集为；
时解集为；
时解集为；
时解集为.
题型5 由一元二次不等式的解集求参数
例5-1已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】A
【详解】由题意知，1为方程的两根，所以解得则不等式可化为，即，解得．
例5-2已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（ ）
A．开口向上，对称轴为的抛物线 B．开口向上，对称轴为的抛物线
C．开口向下，对称轴为的抛物线 D．开口向下，对称轴为的抛物线
【答案】C
【详解】因不等式的解集为，则的根为或2，
则由韦达定理可得.又注意到
，则开口向下，对称轴为.
故选：C
【变式5-1】若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为关于的不等式的解集是，所以可知，
所以原不等式可化为
显然是方程的两根，
所以只须，解得，
所以的取值范围是.
故选：A
【变式5-2】若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时，，显然解集为空，满足题设；
当时，在上无解，
所以，可得；
综上，.
故选：C
【变式5-3】已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【详解】函数定义域非空集，则，解得.记，因为，所以的解集为，依题意有或，所以或.又，，所以.
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
例6-1关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】不等式，
当时，原不等式的解集为，
由解集中恰有4个整数，得，解得；
当时，原不等式的解集为，
由解集中恰有4个整数，得，解得，
所以实数m的取值范围是或.
故选：D
例6-2若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】不等式，可化为
当，即时，，
解集中含有两个整数解，，
当，不等式解集为，不符合题意，
当，即时，，
解集中含有两个整数解，，
综上得.
故答案为：.
【变式6-1】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】不等式可化为，
①时，不等式的解集为，不合题意；
②当时，不等式的解为，且，
若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得；
③当时，不等式的解为，且，
若不等式的解集中恰好有3个整数，则，解得．
综上可知，正数的取值范围为或．
故选：C
【变式6-2】若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于函数，则有，
即，即，
因为函数的定义域中恰有个整数，则，
当时，解不等式可得，
根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，；
当时，解不等式可得，
根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，.
因此，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式6-3】已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，，即，
设不等式的解集为，则，，
则，
因为不等式解集中有且仅有个整数，所以，
即，解得，
所以的对称轴满足，
而，即离对称轴距离最近的整数只有，
所以，所以三个整数解为，
所以，解得.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：本题入手较难，关键是不等式解集中有个整数如何表示，利用解集的区间长度建立不等式是解题关键.
题型7 一元二次不等式的实际问题
例7-1常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A．48元 B．49元 C．51元 D．50元
【答案】D
【详解】根据题意可得，整理得，
解得，又，所以，该店铺的“叫花鸡”每只定价应为.
故选：D.
例7-2如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 h．
【答案】30
【详解】设现在热带风暴中心的位置为点，小时后热带风暴中心到达点位置，
自向轴作垂线，垂足为，
由题意得，则，
若在点处受到热带风暴的影响，则，
所以，即，
整理得，，解得，
所以该码头将受到热带风暴影响的时间为，
故答案为：30．
【变式7-1】在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
【答案】BC
【详解】由题意，对于甲车，有，即，解得或（舍去），这表明甲车的车速超过，但根据题意刹车距离略超过，由此估计甲车不会超过限速；对于乙车，有，即，解得或（舍去），这表明乙车的车速超过，超过规定限速，即乙车超速.
【变式7-2】将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价的取值范围应是 .
【答案】
【详解】设总利润元，因为每个售价为元，则根据题意可得
，
现在商家的售价为90元，将其代入解析式得：
，
要使商家总利润有所增加，则要满足，
即，则，
所以，解得，
所以售价的取值范围应是.
故答案为：.
【变式7-3】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元
(2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元
【详解】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有
，
当且仅当，即时取等号.
所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元.
（2）设月利润为万元，则有，
由题知，整理得，解得.
所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元.
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题
例8-1若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为不等式对于任意均成立，
所以当时，，符合题意；
当时，则，解得，
综上所述，，
故选：D．
例8-2已知为实数，集合.
(1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：因为集合，
由命题“”是假命题，可得命题“”是真命题，
即在上恒成立，
因为函数，当时，取得最大值，最大值为，所以，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
当时，不等式等价于恒成立，符合题意；
当时，等价于恒成立，
因为，当且仅当时，即时，等号成立，所以，
综上可得，实数的取值范围为.
方法技巧 恒（能）成立的处理方法
（1）一元二次不等式在上恒（能）成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可；
（2）分离参数法：一元二次不等式在区间上恒（能）成立，若能够分离参数成或形式，则可以转化为函数值域求解．
举例：若的最大值为，最小值为.
①恒成立 ，恒成立
②恒成立 ，恒成立 .
③能成立 ，能成立
④能成立 ，能成立 .
【变式8-1】（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
【答案】
【详解】因为不等式对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，
又当时，，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，所以实数a的最小值为.
故答案为：.
【变式8-2】已知命题，为真命题，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】由题意得：当时，，不符题意；
当时，的对称轴为，
所以只需，解得；
当时，表示开口向下的抛物线，满足题意.
综上所述，的取值范围为.
【变式8-3·变题型】已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】∵，∴在区间上单调递增，
∴当时，当时，
令，
要想关于x的不等式在区间上恒成立，
则当时，当时，
∴，则，即，
∴，当且仅当，即时取等号.
故选：B.
【变式8-4·变载体】已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】令，则，
原方程可转化为关于的方程在上有解，
分离参变量得：，
即等价于直线与函数的图象在内有交点．
又因为的图象开口向下，对称轴为直线，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
故答案为：.
题型9 一元二次方程根的分布问题
例9-1若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】设，由题可知，若都在区间内，则需满足所以解得，故B，C符合.
例9-2已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】对于函数，开口向上，对称轴为，
令，由题意得方程在区间内有根.
，
当，即时，没有零点，不符合题意；
当，即或时，
当时，，零点为，，符合题意；
当时，，零点为，，不符合题意；
当，即或时，方程有两个不相等的根，
由题意方程至少有一个根在区间内.
①若，解得，
此时，故零点为0或3，不符合题意；
②若，，
此时，零点为2或，，符合题意；
③若，解得，
由零点存在性定理可知，函数在有零点，符合题意；
④若，要使函数在有零点，则，
联立，又，即或，
故解得；
⑤若，由二次函数图象可知，
有两个零点，且一个在区间内，另一个在内，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
【变式9-1】已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数的取值范围．
【答案】
【详解】由已知可得，即，
解得．
∴此时的取值范围是．
【变式9-2】若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围．
【答案】
【详解】设，
由已知方程的两根都小于1，应满足，
化简得，
解得或．
故实数 m的取值范围为．
【变式9-3】已知集合，集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意可知，方程有两个不等根、，
所以，，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，，
即，解得（舍去）或.
（2）方程在区间上有个不等根，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，而，
所以．
故选：C．
2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
3．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
【答案】
【详解】设，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的，，
不妨代入，得，得，
当时，原不等式可化为，
即，
观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号，
此时，，说明时，均可取到，满足题意，
故的最小值为.
故答案为：
4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
1．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.
【解析】（1）将所求不等式变形为，解此不等式即可；
（2）利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；
（3）将所求不等式变形为，利用一元二次不等式的解法解此不等式即可；
（4）将所求不等式变形为，计算，由此可得出该不等式的解集.
【详解】（1）原不等式等价于，即，所以原不等式的解集是；
（2）原不等式的解集是；
（3）原不等式等价于，所以原不等式的解集是或；
（4）原不等式等价于，，则原不等式的解集是.
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，在求解时要将二次项系数化为正数，熟悉一元二次不等式的解法是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.
2．已知，，求，.
【答案】或，或.
【解析】求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，.
【详解】或，
或.
因此，或，或.
【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题.
3．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
【答案】
【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解.
【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立，
则二次函数的图象在x轴下方，
即，得.
当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立.
综上可知，.
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中5.100．
【答案】
【详解】由已知得，化简得：，设方程的两个根为，则，
所以，
所以最多停留.
5．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
【答案】时，S最小且元.
【解析】先求出，再利用基本不等式求解.
【详解】解：由题意，有，又，有.
当且仅当，即时取“=”.
∴当时，S最小且元.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第05讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 一元二次不等式 3
知识点2 简单分式不等式 4
知识点3 绝对值不等式 4
知识点4 高次不等式 5
题型破译 5
题型1 解不含参数的一元二次不等式 6
题型2 解分式不等式、高次不等式 6
题型3 解绝对值不等式 6
题型4 解含参数的一元二次不等式 7
【方法技巧】分类讨论技巧
题型5 由一元二次不等式的解集求参数 8
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数 8
题型7 一元二次不等式的实际问题 9
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题 10
【方法技巧】恒（能）成立的处理方法
题型9 一元二次方程根的分布问题 11
04 真题溯源 考向感知 12
05 课本典例·高考素材 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）会从实际生活或数学问题中抽象出一元二次不等式模型； （2）能结合二次函数图象，判断一元二次方程根的个数，并依据图象特征求解一元二次不等式； （3）掌握分式不等式和绝对值不等式的基本解法 单选题 多选题 填空题 解答题 上海卷T2（4分） 天津卷T15（5分） / 全国 I卷T1（5分）
考情分析： 新高考卷中，该专题属于基础核心考点，常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查，单独命题较少。命题侧重对“三个二次”关系的理解，强调通过函数图像分析根的分布及不等式解集。备考需重点掌握分式与绝对值不等式转化技巧，以及恒成立问题中参数范围的求解策略。
复习目标： 1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系； 2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义； 3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，类比求解高次不等式、分式不等式和绝对值不等式
知识点1 一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程的根 有两相异实根 有两相等实根 没有实数根
一元二次不等式 的解集 ________ 解集为
一元二次不等式的解集 ________ ________
2．不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：或________
（2）恒成立的充要条件是：________或
自主检测1．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
知识点2 简单分式不等式
（1）；（2）________
（3）左移，通分变成（1）；（4）左移，通分变成（2）
自主检测不等式的解集为 ．
知识点3 绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．和型不等式的解法
（1）；
（2）________
3．和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
自主检测已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
知识点4 高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．________的步骤：
①将最高次项系数化为正数；
②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
自主检测（多选）下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为或
B．不等式的解集为或
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为或
题型1 解不含参数的一元二次不等式
例1-1已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
例1-2已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】解关于的不等式组：
题型2 解分式不等式、高次不等式
例2-1（2025·上海浦东新·三模）设为实数，则不等式的解集是 .
例2-2不等式的解集为 ．
【变式2-1】若集合，则（ ）
A． B． C．或 D．
【变式2-2】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-3】若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】不等式的解集为 .
题型3 解绝对值不等式
例3-1（2025·浙江·二模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
例3-2不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【变式3-2】不等式的解集是 .
【变式3-3·变题型】对任意实数，的最小值为 ．
题型4 解含参数的一元二次不等式
例4-1对于给定的实数，关于实数的一元二次不等式的解集可能为（ ）
A． B． C． D．
例4-2求下列关于的不等式的解集：．
方法技巧 分类讨论技巧
解含参数的一元二次不等式：
（1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论；
（2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论；
（3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
【变式4-1】已知集合，，若 ，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】解关于x的不等式．
【变式4-3】解关于的不等式：．
【变式4-4】设．
(1)若，求的最小值；
(2)解关于的不等式.
题型5 由一元二次不等式的解集求参数
例5-1已知不等式的解集为或，则不等式的解集为（ ）
A． B． C．或 D．或
例5-2已知二次函数，若不等式的解集为，则函数图像为（ ）
A．开口向上，对称轴为的抛物线 B．开口向上，对称轴为的抛物线
C．开口向下，对称轴为的抛物线 D．开口向下，对称轴为的抛物线
【变式5-1】若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】若关于x的不等式的解集为空集，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】已知函数的定义域是关于x的不等式的解集的子集，则实数a的取值范围是 .
题型6 由一元二次不等式解集中的整数个数求参数
例6-1关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例6-2若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ．
【变式6-1】若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则正数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是 .
【变式6-3】已知，关于的不等式的解集中有且仅有个整数，，，则 ，的取值范围为 ．
题型7 一元二次不等式的实际问题
例7-1常熟“叫花鸡”，又称“富贵鸡”，既是常熟的特产，也是闻名四海的佳肴，以其鲜美、香喷、酥嫩著称.双十一购物节来临，某店铺制作了300只“叫花鸡”，若每只“叫花鸡”的定价是40元，则均可被卖出；若每只“叫花鸡”在定价40元的基础上提高（）元，则被卖出的“叫花鸡”会减少只.要使该店铺的“叫花鸡”销售收入超过12495元，则该店铺的“叫花鸡”每只定价应为（ ）
A．48元 B．49元 C．51元 D．50元
例7-2如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东方向处的热带风暴中心正在以的速度向正北方向移动，距风暴中心以内的地区都将受到影响．以上预报估计，该码头将受到热带风暴的影响时长大约为 h．
【变式7-1】在一个限速的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过，又知甲、乙两种车型的刹车距离与车速之间分别有如下关系：.则可判断甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速 B．甲车不超速 C．乙车超速 D．乙车不超速
【变式7-2】将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加（只考虑涨价的情况），售价的取值范围应是 .
【变式7-3】数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数.
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本.
题型8 一元二次不等式的恒（能）成立问题
例8-1若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例8-2已知为实数，集合.
(1)若命题“”是假命题，求实数的取值范围；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.
方法技巧 恒（能）成立的处理方法
（1）一元二次不等式在上恒（能）成立：一般用画出图象，结合根的个数和开口方向进行列不等式即可；
（2）分离参数法：一元二次不等式在区间上恒（能）成立，若能够分离参数成或形式，则可以转化为函数值域求解．
举例：若的最大值为，最小值为.
①恒成立 ，恒成立
②恒成立 ，恒成立 .
③能成立 ，能成立
④能成立 ，能成立 .
【变式8-1】（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为 ．
【变式8-2】已知命题，为真命题，求实数的取值范围.
【变式8-3·变题型】已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式8-4·变载体】已知关于的方程在上有解，则实数的取值范围为 ．
题型9 一元二次方程根的分布问题
例9-1若关于x的方程的两个根都在区间上，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．
例9-2已知函数在区间内有零点，求实数的取值范围是 .
【变式9-1】已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，求实数的取值范围．
【变式9-2】若关于x的一元二次方程两根都小于1，求实数m的取值范围．
【变式9-3】已知集合，集合，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·天津·高考真题）若，对，均有恒成立，则的最小值为
4．（2025·上海·高考真题）不等式的解集为 ．
1．求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2．已知，，求，.
3．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立.
4．一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点2m以上的位置最多停留多长时间（精确到0.01s）？若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度h与时间t满足关系满足关系，其中5.100．
5．如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域，计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为S（单位：元），AD长为x（单位：m）.当x 为何值时，S最小？并求出这个最小值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑