资源简介

第07讲 函数与方程
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 函数的零点 3
知识点2 二分法 4
题型破译 4
题型1 零点所在区间的判断 4
【方法技巧】连续且区间函数端点值异号
题型2 求零点个数 5
【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数
题型3 根据零点所在区间求参数范围 6
题型4 比较零点的大小 6
题型5 零点个数的应用 7
题型6 函数与方程的综合应用 8
04真题溯源·考向感知 9
05课本典例·高考素材 10
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.求函数零点或方程根的个数 2.根据函数零点的个数求参数范围 3.求函数零点或方程根的个数 4.判断零点所在的区间 5.根据函数零点的个数 求参数范围 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷，第10题，6分 天津卷，第7题，5分 新课标I卷，第7题，5分 新课标Ⅱ卷，第6题，5分 新课标Ⅱ卷，第9题，6分 新课标Ⅱ卷，第11题，6分 新课标I卷，第15题，5分
考情分析： 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分
复习目标： 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理 3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条 的曲线；② 则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
自主检测（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R B．在R上单调递增
C． D．的零点大于
知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 ，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做 ．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
①确定零点的初始区间，验证
②求区间的中点
③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
自主检测设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125 0.4375 0.75 2
0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型1 零点所在区间的判断
例1-1已知函数的零点，则整数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例1-2（多选）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．精确到0.1的近似解为1.4
B．函数的零点在内
C．精确到0.1的近似解为1.5
D．函数的零点在内
方法技巧
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
【变式训练1-1·变考法】函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】已知函数－，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-3】在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
题型2 求零点个数
例2-1函数与的图象共有 个交点．
例2-2函数的零点个数为 ．
方法技巧
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.
【变式训练2-1·变考法】在区间上，函数与图象的公共点个数为 ．
【变式训练2-2】设是定义在上的奇函数．当时，，则的零点个数为 ．
【变式训练2-3】（2025·上海·三模）函数的零点个数为
题型3 根据零点所在区间求参数范围
例3-1已知函数，在区间内存在，使，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例3-2函数在有零点，则实数的取值范围为 .
方法技巧
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。
【变式训练3-1·变载体】若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型4 比较零点的大小
例4-1已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
例4-2（多选）已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
（1）结合函数单调性，通过值域大小关系推导函数零点大小关系
（2）数形结合，通过图形来比较零点大小
【变式训练4-1·变载体】已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-3】已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型5 函数零点个数的应用
例5-1（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
例5-2已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
【变式训练5-1】已知函数有唯一零点，则 ．
【变式训练5-2】已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为 ．
题型6 函数与方程的综合应用
例6-1已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例6-2设函数，若关于的方程有四个实根，，则的最小值是（ ）
A．15 B．15.5 C．16 D．17
方法技巧
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);
(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
【变式训练6-1·变考法】已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练6-2·变考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-3】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ．
【变式训练6-4】已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ）
A．12 B． C．15 D．
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
1.方程的实数根个数是 ．
2.判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
3.判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：
(1)；
(2)．
4.用二分法求方程的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
5.借助计算机作出函数的图象，并讨论方程的根的个数与分布情况．
6.讨论方程的解的个数与分布情况．
7．利用计算器，求方程的近似解（精确到）.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第07讲 函数与方程
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 函数的零点 3
知识点2 二分法 4
题型破译 5
题型1 零点所在区间的判断 5
【方法技巧】连续且区间函数端点值异号
题型2 求零点个数 7
【方法技巧】零点个数转化为图象交点个数
题型3 根据零点所在区间求参数范围 9
题型4 比较零点的大小 11
题型5 零点个数的应用 14
题型6 函数与方程的综合应用 17
04真题溯源·考向感知 23
05课本典例·高考素材 31
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.求函数零点或方程根的个数 2.根据函数零点的个数求参数范围 3.求函数零点或方程根的个数 4.判断零点所在的区间 5.根据函数零点的个数 求参数范围 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷，第10题，6分 天津卷，第7题，5分 新课标I卷，第7题，5分 新课标Ⅱ卷，第6题，5分 新课标Ⅱ卷，第9题，6分 新课标Ⅱ卷，第11题，6分 新课标I卷，第15题，5分
考情分析： 本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定义，难度不定，分值为5-6分
复习目标： 1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点个数 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理 3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
知识点1 函数的零点
（1）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系.
（2）函数零点存在定理：
若①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)<0.则函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
自主检测（多选）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为R B．在R上单调递增
C． D．的零点大于
【答案】ACD
【分析】利用函数和的单调性与值域可判断AB；计算可判断C；计算，结合单调性可判断D.
【详解】函数单调递增，且值域为单调递增，且值域为，
所以单调递增且值域为R，故A正确；
在上单调递增，故B错误；
，故C正确；
，
因为单调递增，所以的零点大于，故D正确．
故选：ACD．
知识点2 二分法
（1）二分法的定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤
①确定零点的初始区间，验证
②求区间的中点
③计算，进一步确定零点所在的区间：
若（此时），则就是函数的零点；
若（此时），则令；
若（此时），则令.
④判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）；否则重复（2）~（4）
自主检测设，某同学用二分法求方程的近似解（精确度为0.5），列出了对应值表如下：
0.125 0.4375 0.75 2
0.49 3.58
依据此表格中的数据，得到的方程近似解可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由表格数据可知，，又因为函数在上连续，且函数在上单调递增，所以函数在区间上存在一个零点.又因为，所以方程的近似解（精确度为0.5）可以是区间上的任意一个数，观察四个选项可知C正确.
题型1 零点所在区间的判断
例1-1已知函数的零点，则整数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理列不等式求解.
【详解】由已知和均为单调递增函数，
故在定义域内也为单调增函数，
因为，
所以函数的零点在区间上，
又函数的零点在区间上，
所以，
故选：C.
例1-2（多选）某同学用二分法求函数的零点时，计算出如下结果：，，下列说法正确的有（ ）
A．精确到0.1的近似解为1.4
B．函数的零点在内
C．精确到0.1的近似解为1.5
D．函数的零点在内
【答案】AB
【详解】因为，所以零点在内，则B正确，D错误；又，且1.40625与1.4375精确到0.1的近似数都是1.4，则A正确，C错误．
方法技巧
(1)解方程法，当对应方程易解时,可直接解方程;
(2)利用函数零点存在定理;
(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与工轴的交点来判断，或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断.
【变式训练1-1·变考法】函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，确定函数单调性，利用零点存在性定理判断得解.
【详解】函数在上都单调递增，则函数在定义域上单调递增，
而，，
所以的零点所在区间为.
故选：C
【变式训练1-2】已知函数－，则用二分法求的零点时，其中一个零点的初始区间可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由函数，得，所以，又因为函数的图象在区间上连续，所以函数的一个零点的初始区间可以为.
【变式训练1-3】在用二分法求方程在上的近似解时，先构造函数，再依次计算得，，，，，则该近似解所在的区间可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用二分法即可判断.
【详解】由题意，，，，，，
则由二分法可得近似解所在的区间为.
故选：C.
题型2 求零点个数
例2-1函数与的图象共有 个交点．
【答案】63
【分析】作出两函数图象，根据图象的对称性和以及正弦曲线的周期性，可求得交点个数.
【详解】作出两函数图象的简图，如图所示：
因为函数与均为奇函数，它们的图象显然有一个交点为原点，
当时，，而，
除在上，两图象有一个交点，上各有两个交点，
共个交点，根据对称性，所以两函数图象的交点个数为个．
故答案为：63
例2-2函数的零点个数为 ．
【答案】2
【分析】当时，利用导数研究其单调性得，即函数只有一个零点1，当时，利用导数法得函数在上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可得解.
【详解】，
当时，，则，
当时，，即函数单调递增，
当时，，即函数单调递减，
又，所以函数只有一个零点1，
当时，，则，
故函数在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点，
所以函数的零点个数为2.
故答案为：2
方法技巧
（1）直接法，令f(x)=0，方程有多少个不同的解则f(x)有多少个不同的零点;
（2）定理法,利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;
（3）图象法，一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数:
（4）若函数f(x)是周期为T的奇函数,则必有f()=0.
【变式训练2-1·变考法】在区间上，函数与图象的公共点个数为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可.
【详解】依题意，，即，解得或，
而，因此，
所以函数与图象的公共点个数为3.
故答案为：3.
【变式训练2-2】设是定义在上的奇函数．当时，，则的零点个数为 ．
【答案】3
【详解】由题意可得，当时，由，得．又是奇函数，所以．因此函数的零点个数为3．
【变式训练2-3】（2025·上海·三模）函数的零点个数为
【答案】3
【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案.
【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，
时，函数取最大值，
时函数的值为，
又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.
所以的零点个数为个.
故答案为：.
题型3 根据零点所在区间求参数范围
例3-1已知函数，在区间内存在，使，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解法1 由题意可知，由可得，所以，解不等式可得．
解法2 因为在上存在，使，所以，即，解得．
例3-2函数在有零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】分离参数得到，由题转化为求的值域即可.
【详解】由题有解，即,
令
得,
当时, 单调递减,
当时, 单调递增,
,
所以,
故.
故答案为：.
方法技巧
(1)函数中不含参数,零点又不易直接求出，考查各零点的和或范围问题:
(2)函数中含有参数,根据零点情况求函数中参数的范围;
(3)函数中含有参数,但不求参数,仍是考查零点的范围问题.这三类问题一般是通过数形结合思想或分离参数的方法求解。
【变式训练3-1·变载体】若函数在上有零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.
【详解】因为在上单调递增，
所以，即，
解得．
故选：D.
【变式训练3-2】已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案.
【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解，
函数在区间上单调递减，在上单调递增，
则，则.
故选：D．
【变式训练3-3】函数在区间内有零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，分析可知函数在上为增函数，且该函数在区间内有零点，可得出，即可解得实数的取值范围.
【详解】当时，由可得，
令，
因为函数、在上均为增函数，
故函数在上为增函数，
因为函数在区间内有零点，则函数在区间内有零点，
所以，，解得，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
题型4 比较零点的大小
例4-1已知是函数的一个零点，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】转化是函数的一个零点为是函数与的交点的横坐标，画出函数图象，利用图象判断即可
【详解】因为是函数的一个零点，则是函数与的交点的横坐标，画出函数图象，如图所示，
则当时，在下方，即；
当时，在上方，即，
故选：B
【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想
例4-2（多选）已知函数，实数、、满足，其中，若实数为方程的一个解，那么下列不等式中，有可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】本题先判断是减函数，再确定，接着根据，分情况讨论，确认ABC都正确.
【详解】∵，在定义域上是减函数，
∴时，，
又∵，
∴一种情况是、、都为负值，
即
所以
另一种情况是，，，
即，
所以；
都大于，或都小于是，大于.
两种情况综合可得不可能成立，
故选：ABC.
方法技巧
（1）结合函数单调性，通过值域大小关系推导函数零点大小关系
（2）数形结合，通过图形来比较零点大小
【变式训练4-1·变载体】已知，则正数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图象交点的横坐标，最后通过比较函数图象交点的位置来确定、、的大小关系.
【详解】设，由此，
分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图象，
分别与函数的图象分别交于，其横坐标分别为，
由图可知.
故选：A.
【变式训练4-2】已知a，b，c分别是函数的零点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解.
【详解】令，
得，
在同一坐标系中作出函数的图象，
如图所示：
由图象知：即
故选：B
【变式训练4-3】已知函数的零点分别是，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】将问题转换成，，与交点的横坐标即可判断；
【详解】令，
得，
则为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
为函数与交点的横坐标，
在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，
如图所示，由图可知，.
故选：C.
题型5 函数零点个数的应用
例5-1（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可.
【详解】当时， ，故是的一个周期，
又时，，则，
作出函数和的函数图象，
因， ，
结合图象可知，和的函数图象交点个数为.
故选：B
例5-2已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解.
【详解】由，得到，
所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图，
当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点，
当直线与曲线相切时，由，解得或（舍），
由图可知，实数的取值范围是，
故选：C.
方法技巧
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围:
(2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决;
(3)数形结合:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解
【变式训练5-1】已知函数有唯一零点，则 ．
【答案】2
【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可.
【详解】定义域为，，
所以函数为偶函数，
又因为函数有唯一零点，
根据零点关于轴对称，得出，所以，
当时，函数有唯一零点，符合题意；
当时，函数有零点，不符合题意舍；
故答案为：2.
【变式训练5-2】已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据函数的导数，求出函数单调性和极值，确定方程有三个解的参数范围，求得结果.
【详解】函数恰有三个零点，即方程有三个解，
设，则，
令，即，因为，所以解得，
令，即，解得，
所以函数与变化关系如下表：
正 0 负 0 正
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由可知，
当时，，，所以且，
可得函数大致图形如下：
所以要满足题意，需.
故答案为：.
题型6 函数与方程的综合应用
例6-1已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】可先求出函数的单调性与极值，再令，将函数的零点问题转化为关于的方程的根的问题，最后结合函数图象求解实数的取值范围．
【详解】已知，其定义域为，
则，
令，即，则，解得．
当或时，，，单调递减；
当时，，，单调递增．
所以在处取得极小值，也是最小值，．
令，则，
函数恰有个不同的零点，
即方程(e不是方程的根)有两个不同的实数根，，
且其中一个根为，另一个根．
则，解得 .
实数的取值范围是．
故选：A．
例6-2设函数，若关于的方程有四个实根，，则的最小值是（ ）
A．15 B．15.5 C．16 D．17
【答案】C
【分析】作出分段函数的图象，由图象分析可得，且，然后表示出，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．
【详解】作出函数的图象如图所示，
由图可知，，
由，
可得或，故，
又因为，
所以，
故，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为16．
故选：C．
方法技巧
求解复合函数y=f[g(x)]零点个数的一般方法是换元法具体步骤是:
(1)令t=g(x),解方程f(t)=0,解得t的值(t的值可能有多个);
(2)根据不同的t的值解方程g(x)=t,这个方程的解即为函数y=f[g(x)]的零点.
如不能解出x的值,可结合函数y=g(x)与y-t的图象的交点个数,确定函数y=f[g(x)的零点个数.
【变式训练6-1·变考法】已知函数，若的零点个数为4，则实数a取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，做出函数图象，分析的实根情况，方程有两个不等实数根，且满足，或，或；然后讨论计算得出结果即可.
【详解】解：根据函数，做出其图象如下：
设，根据函数图象有：
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有3个实数根；
当时，方程有2个实数根；
当时，方程有1个实数根；
当时，方程没有实数根；
当若的零点个数为4个时，
方程有两个不等实数根，
且满足，或，或；
设函数；
则，，，
解得，或，
故选：A.
【变式训练6-2·变考法】（2025·海南·模拟预测）已知函数，若存在不相等的实数，满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合二次函数的对称性可得，利用对数运算可得，再利用函数图象及性质求出的取值范围即可.
【详解】函数的图象对称轴，，
函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为，
在单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，
令，则函数的图象与直线有4个交点，
在同一坐标系内作出函数的图象与直线，
观察图象，得，，由，得，
由，得，则，
函数在上单调递减，，因此，
所以的取值范围为.
故选：C
【变式训练6-3】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数有三个零点，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分离变量，转化成与的交点问题，作出的图象，即可得到答案.
【详解】易知为的零点，当时，令，得，
令，可得到，作出的图象，
如下图，依题意，只需与有两个交点即可.
由图可得.
故答案为：

【变式训练6-4】已知定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ）
A．12 B． C．15 D．
【答案】B
【分析】根据已知有或，数形结合确定零点个数及其数量关系，进而求零点的和，最后求函数值.
【详解】关于的方程，解得或，
由函数图象如下，
当时，原方程有三个实根，其中一个根为，另两个根关于直线对称，则；
当时，原方程有两个实根，设为，，这两个根关于直线对称，则．
所以原方程一共有5个不同的实根，
所以，
故选：B
1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可.
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，
所以在定义域上单调递减，
显然，
所以根据零点存在性定理可知的零点位于.
故选：B
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.
【详解】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值
C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴
【答案】BC
【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.
【详解】A选项，令，解得，即为零点，
令，解得，即为零点，
显然零点不同，A选项错误；
B选项，显然，B选项正确；
C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足，
的对称轴满足，
显然图象的对称轴不同，D选项错误.
故选：BC
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可.
【详解】解法一：令，即，可得，
令，
原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点，
注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上，
可得，即，解得，
若，令，可得
因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点，
所以符合题意；
综上所述：.
解法二：令，
原题意等价于有且仅有一个零点，
因为，
则为偶函数，
根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，
即，解得，
若，则，
又因为当且仅当时，等号成立，
可得，当且仅当时，等号成立，
即有且仅有一个零点0，所以符合题意；
故选：D.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.
【详解】令，即，令
则，令得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，，
因为曲线与在上有两个不同的交点，
所以等价于与有两个交点，所以.
故答案为：
6．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得.
【详解】令，即，
由题可得，
当时，，有，则，不符合要求，舍去；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，或（正值舍去），
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递减，
故有，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题，从而可将其分成两个函数研究.
1.方程的实数根个数是 ．
【答案】无数
【分析】作出函数与的图象，借助数形结合的方法即可得解.
【详解】函数的定义域为，
在每个区间是都单调递增，并且函数值集合为R，
在同一坐标系内作出函数与的图象，如图，

观察图象得，函数与的图象有无数个交点，
方程的实数根个数是无数个.
故答案为：无数
2.判断方程在区间内是否有解；如果有，求出一个近似解．（精确度为0.1）
【答案】1.3
【分析】求函数在区间内的一个零点，利用二分法可得答案.
【详解】设，
利用二分法，列表计算如下：
x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 1.34375
0.875 0.0826
由表中数据可得，
因为题中要求精确度为0.1，而左右端点的近似值都为1.3.
所以近似解为1.3.
3.判定下列方程存在几个实数根，并分别给出每个解的存在区间：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据二次方程的判别式确定解的个数，再由求根公式求出根判定根所在的一个区间；
（2）去掉绝对值号，直接求解，判断根的个数及根所在区间.
【详解】（1）因为中，
所以方程有两个根，
由求根公式可得，.
（2）由，可得，即或,
故方程的根有两个，
且方程的根为，.
4.用二分法求方程的近似解．（精确度为0.1，可以使用计算器）
【答案】5.7
【分析】利用二分法求解方程近似解即可.
【详解】画出和的图象，

由图知：函数和只有一个交点.
方程的近似解等价于函数的零点.
，，
所以取初始区间为，用二分法求解，如下表：
次数 左端点 右端点 区间长度
第一次 5 6 1
第二次 5.5 6 0.5
第三次 5.5 5.75 0.25
第四次 5.625 5.75 0.125
第五次 5.6875 5.75 0.0625
因为，
所以方程的近似解可取为5.7.
5.借助计算机作出函数的图象，并讨论方程的根的个数与分布情况．
【答案】答案见详解
【分析】先借助计算机可作出函数的图象，再结合图象找出函数的零点个数及所在的区间，进而即可得到方程的根的个数与分布情况．
【详解】借助计算机可作出函数的图象如下，

从上图可以看出在区间，和内各有一个零点，
由于在上为负，在上为正，故只有这三个零点，
因此方程有三个解，且分别位于区间，和上．
6.讨论方程的解的个数与分布情况．
【答案】答案见解析
【分析】方程的解是函数的零点，可以通过适当的计算和增减性讨论来解答；也可以将所求方程的解看成是两函数和的图象的公共点的横坐标．
【详解】函数，其零点就是方程的解．
计算得：，，
可见在内有零点．
另一方面，由于单调递增而也单调递增（因为单调递减），
因此单调递增，所以在内恰有一个零点．
由图象可看出，函数与的图象只在区间内有一个交点，

所以原方程有且只有一个解，且此解在区间上．
7．利用计算器，求方程的近似解（精确到）.
【答案】
【分析】利用二分法确定方程的近似解.
【详解】因为方程可化为，
所以原方程的解即函数的零点，
先画出函数与函数的图象，
如图所示

观察图象，可知该方程有且只有个解，
又因为，，
所以函数的零点在区间内，记为，
取和的平均数，因为，
所以.
取和的平均数，
因为，
所以，
取和的平均数，
因为，
所以.
取和的平均数，
因为，
所以.
取和的平均数，
因为，
所以.
因为和精确到的近似数都是，
所以区间内的所有数精确到的近似数都是，
从而，
因此，方程的近似解（精确到）为.
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