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第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 平均变化率 3
知识点2 导数的概念 4
知识点3 导数的几何意义 5
知识点4 基本初等函数的导数公式 5
知识点5 导数的运算法则 6
知识点6 曲线的切线问题 6
题型破译 7
题型1 导数的概念 7
题型2 导数的运算 8
题型3 在点P处的切线 10
【方法技巧】“在”型切线求解步骤
题型4 过点P处的切线 11
【方法技巧】“过”型切线求解步骤
题型5 已知切线或切点求参数 13
题型6 公切线问题 15
【方法技巧】公切线求解关键点
题型7 已知切线条数求参数 17
【方法技巧】已知切线求参数关键求解点
题型8 距离最值转化为相切问题 20
【方法技巧】平移切线法
题型9 奇偶函数切线问题 22
04真题溯源·考向感知 23
05课本典例·高考素材 25
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）导数的定义 （2）导数的运算 （3）导数的几何意义 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T12（5分） 天津卷T20（1）（4分） 全国甲卷（理）T6（5分） 全国 II卷T16（1）（5分） 全国 I卷T13（5分） 天津卷T20（1）（4分） 全国乙卷（文）T20（1）（5分） 全国甲卷（文）T8（5分） 全国乙卷（理）T21（1）（4分） 天津卷T20（1）（4分）
考情分析：高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主，也涉及到公切线问题．
复习目标： （1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． （2）通过函数图象，理解导数的几何意义． （3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识点1 平均变化率
1．变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
2．平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
3．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
自主检测函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4
【答案】D
【详解】在区间上的平均变化率为.
故选：D
知识点2 导数的概念
1．定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2．定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
自主检测设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以
故选：B
知识点3 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
自主检测若曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【详解】定义域为，，则，
则，即在处的切线的斜率为.
故选：B
知识点4 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
自主检测已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，则.
故选：B
知识点5 导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
自主检测若函数，则 ．
【答案】
【详解】由，，则.
故答案为：.
知识点6 曲线的切线问题
1．在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2．过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
自主检测已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】对求导：.
将代入中，可得切线的斜率.
已知切线过点，斜率为，根据点斜式方程，可得切线方程为.
将其化简为一般式： ，
的图象在点处的切线方程是.
故选：D.
题型1 导数的概念
例1-1已知函数，则 .
【答案】
【详解】，则.
故答案为：.
例1-2已知函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【详解】由题意知，，则.
所以.
故选：B
【变式训练1-1】已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
【答案】C
【详解】因为，
则.
故选：C.
【变式训练1-2】设函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【答案】B
【详解】由，得，
所以.
故选：B
【变式训练1-3】已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【详解】因为，
所以，
所以.
故选：D
题型2 导数的运算
例2-1求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）
例2-2求下列函数的导数
(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，
所以；
（3）因为，
所以 .
【变式训练2-1】求下列函数的导数.
(1)
(2)
(3)
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
【变式训练2-2】求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)y = tanx
【详解】（1）；
（2）；
（3）
（4）因为，
所以
. ．
（5）因为，
所以
（6）.
题型3 在点P处的切线
例3-1曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，即.
故选：C.
例3-2曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以.
所以切线的斜率为.又，
所以切线方程为，即.
故选：C.
方法技巧 （在型切线求解步骤）
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 .
【答案】
【详解】求导得，则有，
又因为，
所以在点处的切线方程为：，
整理得：，
故答案为：
【变式训练3-2·变考法】已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可得，
当时，，此时，
所以，
求导可得，
所以，
所以切线方程为，即.
故选：D.
【变式训练3-3·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数，则在点处的切线方程为 .
【答案】
【详解】，故，
故且，
，，
故切线方程为：，化简得.
故答案为：.
题型4 过点P处的切线
例4-1过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设切点为，
对函数求导可得，
则切点处的斜率为，所以切线方程为，
因为切线过点，代入切线方程，可得，
整理得，则所求切线方程为.
故选：D.
例4-2已知，则过点且与相切的直线方程为 .
【答案】或
【详解】方法1：，设切点为，切线的斜率，
得，，两式联立方程解得或5，
时，，
此时切线方程，
时，，
此时切线方程，
即或.
方法2：由题意切线的斜率存在，设为，
切线方程为，
与抛物线方程联立，，整理得
，
由得或，
切线方程为或，
即或.
故答案为：或.
方法技巧 “过”型切线求解步骤
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练4-1】（多选）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】设切点，因为，则，
则切线方程为，又，
所以，又切线过点，
所以，整理得到，
即，所以或，
当时，切线方程为，即，
当时，切线方程为，即，
故选：BD.
【变式训练4-2】已知曲线，过点作切线，则的方程为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，则，显然点在上，
所以过点作切线的方程为，即.
故答案为：
【变式训练4-3·变题型】若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】∵，∴，
设切点为,则,切线斜率,
切线方程为：,
∵切线过原点，∴,
整理得：,
∵存在过原点的切线，∴,解得或,
∴的取值范围是,
故答案为：
题型5 已知切线或切点求参数
例5-1若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】A
【详解】由题意有，所以，
因为在点处的切线与直线垂直，
所以，
故选：A.
例5-2（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】，
设直线与曲线相切于点，则且，
解得，所以，从而得，所以，
设，，
令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【变式训练5-1】函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【详解】函数的导函数为 ，
函数在处的切线的导数即为切线的斜率为，
且切线与直线平行，
则有 ，可得 .
故选：C
【变式训练5-2】设曲线在点处的切线斜率为2，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【详解】由题意可得，又在处的切线斜率为2
根据导数的几何意义得.
故选：C.
【变式训练5-3】（2025·河北张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 .
【答案】/0.5
【详解】对函数求导得，，
因为曲线在处的切线与轴垂直，
所以，解得.
故答案为：.
题型6 公切线问题
例6-1若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 .
【答案】
【详解】求导：导数；导数.
设切点写切线方程：
设与切点，切线方程.
设与切点，切线方程.
列方程组求解：由公切线性质得.
由得，代入另一式解得，.
求直线方程：把代入，得.
故答案为：.
例6-2（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 .
【答案】
【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
易知公切线的斜率存在，对求导得，
可得公切线的斜率，
所以公切线方程为，即①.
对求导得，
所以公切线方程为，
即②.
由①②得所以，
令，，所以，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，所以，
所以公切线方程为，即.
故答案为：
方法技巧 公切线求解关键点
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点
横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式训练6-1·变考法】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】
【详解】由，则，则，又当时，
所以曲线在处的切线为；
对于，可得，设切点为，
则，解得.
故答案为：.
【变式训练6-2·变考法】已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是
【答案】
【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线，
因为，由同一条切线的斜率相等可得，
由同一条切线的截距相等，可得，
即，
将斜率相等的表达式代入可得，
即方程在上有解，
令，则，
令，得，当时，；当时，，
且当时，；当时，，
所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为，
若方程在上有解，则，
又，所以.
故答案为：.
【变式训练6-3·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意知，，
设公切线分别与曲线，相切于点，，则 ，，
所以公切线方程为 ，，
即 ，，所以 ，，
所以，
令，，，
所以，由，得,由，得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以 ，且时，，时，，
所以．
故答案为：.
题型7 已知切线条数求参数
例7-1．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
【答案】A
【详解】设，则，设切点为，则切线斜率，
即，整理得，
设，由题意可知有3个零点，，显然，
由，得或，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以，所以，或.
故选：A.
例7-2若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设切点为，则，所以，即，
又在切线上，所以，化简整理有，
令，即与的图像有两个交点即可，
所以，令有，
由有，有，
所以在单调递减，在单调递增，
所以，当，
作出函数的图像，
所以，
故答案为：.
方法技巧 已知切线求参数关键点
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式训练7-1】过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过点，
所以，所以根据题意可得该关于的方程有3解，
即方程有3解，
所以与有3个交点，
设，则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以的极小值为，的极大值为，
且时，；时，，
所以要使与有3个交点，则需．
故选：A
【变式训练7-2】已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】定义域为，且，
设切点为，则切线斜率为，
则切线方程为，即，
将点代入切线方程有：，
若，则，与定义域矛盾；则，
因过点与曲线相切的直线有两条，
所以在上有两解，
设 ，
则得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，则，
又时，； ；时，，且时，，
所以，则实数的取值范围是.
故答案为：
【变式训练7-3】已知.若，过点可作曲线的两条切线，求的取值范围.
【答案】
【详解】当时，，
，设切点为，
，整理得0，
问题转化为方程有两个实数根，
，
或.
的取值范围为.
题型8 距离最值转化为相切问题
例8-1点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知，把直线平移到与曲线首次相切时，切点到直线的距离最小，
求导得，令，解得或（舍去），
当时，，即，
由点到直线的距离公式可求得点到直线的距离为.
故选：C.
例8-2（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
【答案】
【详解】由得，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，
则作出和图像如图：
则曲线上任意一点M到直线的最小距离，
即为斜率为3的切线的切点到直线的距离；
设与直线平行的直线与曲线相切于点，
因为，所以，即，
解得或（舍去），
所以，即切点为，
所以切点到直线的距离为.
故答案为：.
方法技巧 平移切线法
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式训练8-1】已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为 ．
【答案】
【详解】因为，所以，
设与相切与点Q，
则，令，解得，则切点为，
代入，得，即直线方程为，
所以直线与直线间的距离，
即为到直线的最小距离.
故答案为：.
【变式训练8-2·变考法】1．已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
【答案】D
【详解】解：由题意可知在的图象上，
在的图象上，
由，得，
所以可转化为函数图象的点到直线上的点的距离，
对于，，
当时，，当时，，
当时，；当时，由于增加的速度小于x增加的速度，故；
由此可作出和的图象，如图：
结合图象可知有最小值，无最大值，AB错误；
又因为与直线平行的直线的斜率为，
令，解得，
则的与平行的切线的切点坐标为，
所以到直线的距离为，
所以的最小值为，此时，所以D正确，C错误，
故选：D
题型9 奇偶函数切线问题
例9-1已知偶函数的定义域为，且当时，则曲线在点处的切线斜率为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意得，偶函数的图象关于轴对称
当时， ，则
本题正确选项：
例9-2已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
【答案】2
【详解】因为当时,故.根据奇函数的图像知, 在点处的切线斜率等于在点处的切线斜率为.
故答案为：
【变式训练9-1】已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】函数的定义域为，是偶函数， 则，
两边同时求导可得：，
当时，，
求导可得，则有，
又由， 令可得：，
则曲线在点处的切线斜率为.
故选：A
【变式训练9-2】已知为奇函数，当x＜0时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．－2 B．2 C．－e D．
【答案】B
【详解】当时，因为为奇函数，
所以有，则有，所以有，
故选：B
【变式训练9-3】已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
【答案】
【详解】因为函数为奇函数，所以，
因为当时，，
所以当时，，
所以，，
所以曲线在点处的切线斜率为.
故答案为：.
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
则，
即该切线方程为，即，
令，则，令，则，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故选：A.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
【答案】
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
故答案为：
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
【答案】(1)
【详解】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
1．( 人教A版选择性必修第二册习题 5.2T )求曲线在 点M(π,0)处的切线方程 .
【答案】
【详解】所以，所以切线方程为，化简得
2.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)已知函数，且，求
【答案】
【详解】因为，所以，又因为，所以，解得
3.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)已知函数满足，求在
【答案】
【详解】，得，则
从而：解得
4.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)求下列函数的导数
（1） （2）
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）
（2）化简得
5.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)设函数的图像与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程
【答案】
【详解】令，则，因为，所以，所以切线方程为
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 导数的概念及其意义、导数的运算
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01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 平均变化率 3
知识点2 导数的概念 4
知识点3 导数的几何意义 4
知识点4 基本初等函数的导数公式 5
知识点5 导数的运算法则 5
知识点6 曲线的切线问题 6
题型破译 6
题型1 导数的概念 6
题型2 导数的运算 7
题型3 在点P处的切线 8
【方法技巧】“在”型切线求解步骤
题型4 过点P处的切线 9
【方法技巧】“过”型切线求解步骤
题型5 已知切线或切点求参数 10
题型6 公切线问题 10
【方法技巧】公切线求解关键点
题型7 已知切线条数求参数 11
【方法技巧】已知切线求参数关键求解点
题型8 距离最值转化为相切问题 11
【方法技巧】平移切线法
题型9 奇偶函数切线问题 12
04真题溯源·考向感知 13
05课本典例·高考素材 13
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）导数的定义 （2）导数的运算 （3）导数的几何意义 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T12（5分） 天津卷T20（1）（4分） 全国甲卷（理）T6（5分） 全国 II卷T16（1）（5分） 全国 I卷T13（5分） 天津卷T20（1）（4分） 全国乙卷（文）T20（1）（5分） 全国甲卷（文）T8（5分） 全国乙卷（理）T21（1）（4分） 天津卷T20（1）（4分）
考情分析：高考对本节内容的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点考查导数的计算、四则运算法则的应用和求切线方程为主，也涉及到公切线问题．
复习目标： （1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数． （2）通过函数图象，理解导数的几何意义． （3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．
知识点1 平均变化率
1．变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
2．平均变化率
一般地，函数在区间上的平均变化率为：.
3．如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出和
②作商：对所求得的差作商，即.
自主检测函数在区间上的平均变化率为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．4
知识点2 导数的概念
1．定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作.
2．定义法求导数步骤：
求函数的增量：；
求平均变化率：；
求极限，得导数：.
自主检测设函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
知识点3 导数的几何意义
函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即.
自主检测若曲线在处的切线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
知识点4 基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
(为常数)
()
()
(，)
自主检测已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
知识点5 导数的运算法则
若，存在，则有
（1）
（2）
（3）
自主检测若函数，则 ．
知识点6 曲线的切线问题
1．在型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
2．过型求切线方程
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
自主检测已知函数，则的图象在点处的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
题型1 导数的概念
例1-1已知函数，则 .
例1-2已知函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．4
【变式训练1-1】已知，的值为（ ）
A．4 B．2 C．8 D．16
【变式训练1-2】设函数满足，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【变式训练1-3】已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．0
题型2 导数的运算
例2-1求下列函数的导数：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
例2-2求下列函数的导数
(1)；
(2)
(3)
【变式训练2-1】求下列函数的导数.
(1)
(2)
(3)
【变式训练2-2】求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)y = tanx
题型3 在点P处的切线
例3-1曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例3-2曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 （在型切线求解步骤）
已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点.
第二步：计算切线斜率.
第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。
根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练3-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 .
【变式训练3-2·变考法】已知函数，则在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-3·变考法】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数，则在点处的切线方程为 .
题型4 过点P处的切线
例4-1过点作函数图像的切线，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
例4-2已知，则过点且与相切的直线方程为 .
方法技巧 “过”型切线求解步骤
已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率；计算切线斜率；
第三步：令：，解出，代入求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：.
【变式训练4-1】（多选）过点向曲线作切线，切线方程可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】已知曲线，过点作切线，则的方程为 ．
【变式训练4-3·变题型】若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为 ．
题型5 已知切线或切点求参数
例5-1若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．1
例5-2（2025·河南郑州·三模）若直线为曲线的一条切线，则的最小值为 ．
【变式训练5-1】函数在处的切线与直线平行，则实数（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练5-2】设曲线在点处的切线斜率为2，则a的值是（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练5-3】（2025·河北张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 .
题型6 公切线问题
例6-1若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为 .
例6-2（2025·辽宁·模拟预测）曲线与曲线的公切线方程为 .
方法技巧 公切线求解关键点
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点
横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式训练6-1·变考法】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知曲线在处的切线与曲线相切，则 ．
【变式训练6-2·变考法】已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是
【变式训练6-3·变考法】（2025·辽宁·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的取值范围是 ．
题型7 已知切线条数求参数
例7-1．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（ ）
A．B． C． D．
例7-2若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ．
方法技巧 已知切线求参数关键点
设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：，
又因为切线方程过点，所以然后解出的值，有多少个解对应有多少条切线．
【变式训练7-1】过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-2】已知过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是
【变式训练7-3】已知.若，过点可作曲线的两条切线，求的取值范围.
题型8 距离最值转化为相切问题
例8-1点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
例8-2（2025·陕西西安·二模）若M是曲线上任意一点，则点M到直线的最小距离为 .
方法技巧 平移切线法
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式训练8-1】已知是曲线上的一个动点，则点到直线的最小距离为 ．
【变式训练8-2·变考法】1．已知，则（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
题型9 奇偶函数切线问题
例9-1已知偶函数的定义域为，且当时，则曲线在点处的切线斜率为
A． B． C． D．
例9-2已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
【变式训练9-1】已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【变式训练9-2】已知为奇函数，当x＜0时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．－2 B．2 C．－e D．
【变式训练9-3】已知奇函数的定义域为R，且当时，，则曲线在点处的切线斜率为 .
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
1．( 人教A版选择性必修第二册习题 5.2T )求曲线在 点M(π,0)处的切线方程 .
2.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)已知函数，且，求
3.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)已知函数满足，求在
4.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)求下列函数的导数
（1） （2）
5.( 人教A版选择性必修第二册习题5.2)设函数的图像与轴相交于点，求该曲线在点处的切线方程
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