资源简介

第01讲 平面向量的概念及线性运算
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 向量的有关概念 4
知识点2 向量的线性运算 5
知识点3 向量共线定理 5
知识点4 平面向量的数量积 6
题型破译 7
题型1 平面向量的概念与表示 7
题型2 向量的几何表示 9
题型3 相等向量与共线向量 12
题型4 向量的加减运算 15
题型5 向量的数乘运算 16
题型6 向量的数量积 18
04真题溯源·考向感知 20
05课本典例·高考素材 25
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）平面向量线性运算的坐标表示 （2）平面向量线性运算的坐标表示 （3）平面向量线性运算的坐标表示 （4）向量加法的法则 （5）向量减法的法则 单选题 多选题 填空题 解答题 上海卷，12题，5分 天津卷，14题，5分 新课标I卷，第3题，5分 天津卷，14题，5分 北京卷，第5题，4分 新课标I卷，第3题，5分 新课标II卷，第13题，5分 甲卷理科，第4题，5分
考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 一般考查平面向量的基本概念、线性运算，易理解，易得分，需重点复习
复习目标： 1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示 2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义 3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义 4理解向量的线性运算性质及其几何意义
知识点1 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
自主检测（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若与是共线向量，则点、、、共线
B．若为非零向量，则与同向
C．若，则
D．若，，则
【答案】BCD
【分析】根据共线向量的概念判断A，根据向量的线性运算判断B，由特殊向量判断C，根据向量相等判断D.
【详解】与是共线向量，则所在直线不一定重合，故点、、、不一定共线，故A错误；
为非零向量，则与方向相同，故B正确；
若，则成立，故C正确；
若，，根据向量相等的定义知成立，故D正确.
故选：BCD
知识点2 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
自主检测下列结果不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以A不符合题意；
对于B中，由，所以B符合题意；
对于C中，由，所以C不符合题意；
对于D中，由，所以D不符合题意.
故选：B.
知识点3 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点 ＝(＋)．
自主检测已知向量，，，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D
【答案】A
【分析】利用向量的共线定理一一判断即可.
【详解】因为，故A，B，D三点共线，A对；
因为，，故，不一定共线，B错；
因为，，所以，不一定共线，C错；
因为，，则，不一定共线，D错.
故选：A.
知识点4 平面向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
自主检测已知，，，则 ．
【答案】
【分析】将平方，再根据向量的数量积进行运算即可.
【详解】根据题意，
.
故答案为：1.
题型1 平面向量的概念与表示
例1-1下列说法中，正确的是（ ）
A．模为的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
【答案】A
【分析】根据零向量的定义可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用向量的定义可判断D选项.
【详解】对A，模为的向量为零向量，零向量与任意向量共线，故A正确；
对B，单位向量的模为，但方向为任意方向，故B错误；
对C，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故C错误；
对D，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故D错误．
故选：A．
例1-2以下命题中正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据向量平行与相等概念判断A，根据特例判断B，利用数量积的运算判断C，取特例判断D.
【详解】对于A，若两个单位向量平行，则这两个单位向量为相等向量或相反向量，故A不符合题意；
对于B，当时，则不一定成立，故B不符合题意；
对于C，，两边平方可得，则与的夹角为0，则，故C正确；
对于D，若，则与不一定相等，例如，故D不符合题意.
故选：C．
方法技巧
解决向量的概念问题要注意两点：
一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；
二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【变式训练1-1·变考法】（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
【答案】BD
【分析】根据相等向量的定义即可判断选项A；若向量，则根据向量的运算法则可得，即可判断选项B；由向量的定义即可判断选项C；根据共线向量的定义即可判断选项D.
【详解】由相等向量定义可得：若两个相等的非零向量的起点相同，其终点一定相同，故选项A错误；
若向量，则，所以，故选项B正确；
由向量的定义可得向量，满足时，向量，可能共线也可能不共线，故选项C错误；
若非零向量与共线，则，，三点共线，故选项D正确.
故选：BD.
【变式训练1-2】（多选）下列四个命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．若，，，，则，可以作为平面向量的一组基
D．若向量，，则向量在向量上的投影数量为
【答案】AC
【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，由相等向量的概念可判断B；不共线的两个向量可作为一组基地，只需判断，是否共线即可；对于D，向量在向量上的投影数量为.
【详解】对于选项A，，则与不能比较大小，故A错误；
对于选项B，四边形中有，由平行四边形判定定理可得，四边形为平行四边形，故B正确；
对于选项C，，，则，即，
则，不能作为平面向量的一组基，故C错误；
对于选项D，向量，，则，，
故向量在向量上的投影数量为，故D正确.
故选：AC.
题型2 向量的几何表示
例2-1（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（ ）
A．从点O出发，朝北偏西方向移动
B．从点O出发，朝北偏西方向移动
C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
【答案】C
【分析】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，标出题中所给信息，再利用向量加法的平行四边形法则求出即可.
【详解】以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，
依题意可得，
设，因为，所以四边形OACB为菱形，
则，则为正三角形，所以，
故向量表示从点O出发，朝北偏西方向移动2km.
故选：C
例2-2如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量）
【答案】4个．
【分析】利用平面向量的定义结合给定条件求解即可.
【详解】如图，我们标注一些点，
由图得与向量同向且长度为的向量有，共4个．
【变式训练2-1·变考法】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移．
【答案】(1)答案见解析
(2)B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”．
【分析】（1）根据题意，直接画出向量图；
（2）先得到四边形ABCD为平行四边形，即可得B地相对于A地的位移.
【详解】（1）向量，，，，如图所示：
（2）由题意知．所以，且，
则四边形ABCD为平行四边形．
所以，
则B地相对于A地的位移为“北偏东，相距6km”．
【变式训练2-2】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．
(1)画出所有满足条件的向量；
(2)求的最大值与最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)最大值为，最小值为．
【分析】根据向量的模的定义和勾股定理来确定点C 的位置，从而画出符合要求的向量，再通过观察图形计算的最大值和最小值.
【详解】（1）画出所有满足条件的向量，即（，2，…，8），如图所示．
（2）由（1）所画的图知，当点C位于点或的位置时，取得最小值；
当点C位于点或的位置时，取得最大值，
故的最大值为，最小值为．
题型3 相等向量与共线向量
例3-1如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量共线的向量．
【答案】(1)，
(2)，，，，，，．
【分析】（1）根据向量相等的概念直接求解；（2）根据共线向量的概念直接求解即可.
【详解】（1）因为四边形是平行四边形，四边形是矩形，
所以，又，所以 ，
与向量相等的向量有，.
（2）与共线的向量有，，，，，，．
例3-2设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据平面向量的坐标运算以及相等向量、共线向量的坐标运算即可得解.
【详解】（1）设点，则,.
因为，
所以，即得.
所以点的坐标为.
（2）由题意得，
所以，.
因为，所以，
解得.
方法技巧
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
【变式训练3-1·变载体】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中

(1)与相等的向量；
(2)与平行的向量；
(3)与模相等的向量；
(4)的负向量．
【答案】(1)
(2)
(3)，，，；
(4)
【分析】（1）根据相等向量的定义即可找出与相等的向量；
（2）根据平行向量的定义即可找出与平行的向量；
（3）根据向量模的定义即可找出与模相等的向量；
（4）根据相反向量的定义即可找出的负向量．
【详解】（1）与相等的向量为：；
（2）与平行的向量为：；
（3）与模相等的向量为：，，
，；
（4）的负向量为：．
【变式训练3-2】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与的相反向量；
(3)写出与模相等的向量.
【答案】(1)，
(2)，
(3)，，，，，，
【分析】（1）根据相等向量的定义直接求解即可；
（2）根据相反向量的定义直接求解即可；
（3）根据模相等向量的定义求解即可.
【详解】（1）由题意，．
（2）由题意，与的相反向量为：，．
（3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，．
题型4 向量的加减运算
例4-1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　)
A. B.2 C.3 D.4
【答案】D
【解析】如图，连接OM，
在△OAC中，M为AC的中点，所以＝2，
在△OBD中，M为BD的中点，所以＝2，所以＝4.
例4-2化简等于(　　)
A. B.0 C. D.
【答案】B
【解析】－()＝＝0.
方法技巧
求差用向量减法的几何意义
【变式训练4-1】已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合图象，由向量的加法法则可得.
【详解】.
故选：C.
【变式训练4-2】在中，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先根据条件确定点的位置然后利用向量的线性运算用表示即可.
【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示，
.
故选：A
题型5 向量的数乘运算
例5-1已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示）
【答案】
【分析】根据向量的加减、数乘法则进行计算即可.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
例5-2如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合向量的线性运算及平面向量基本定理即可求解．
【详解】在平行四边形中，，，
所以
，
若，则，所以．
故选：A．
方法技巧
在△ABC中，D为BC上一点，若，则
【变式训练5-1·变考法】已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的数量积的运算公式，以及数量积的运算律，即可求解.
【详解】因为向量与的夹角为，且，可得，
则，
所以.
故选：B.
【变式训练5-2·变考法】若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用投影公式计算即可得出结果．
【详解】根据题意，
则在方向上的投影向量为.
故选：A
【变式训练5-3】在平行四边形中，，，记，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的加减法和数乘运算法则直接求解即可.
【详解】
，
其中，
故．
故选：B．
题型6 向量的数量积
例6-1在长方形ABCD中，，P，Q分别为BC，CD的中点，则 ．
【答案】38
【分析】以为原点，为轴的正方向，为轴的正方向建立平面直角坐标系，求出的坐标，利用向量数量积的坐标运算求解.
【详解】以为原点，为轴的正方向，为轴的正方向建立平面直角坐标系，
则有，，
故，，
故.
故答案为：38.
例6-2已知向量，满足，，且，则 .
【答案】
【分析】根据模长定义及向量的数量积运算即可求解.
【详解】由，可得，
即，得，
所以.
故答案为：.
方法技巧
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练6-1·变考法】已知向量，满足，，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对进行平方，化简可得，结合即可求解.
【详解】由，可得，
即，
整理得，即
因为，即，
又，所以.
故选：B.
【变式训练6-2】平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为(　　)
A.a B.a C.a D.a
【答案】C
【解析】由|a＋b|＝
＝
＝＝4可得a·b＝，
而b在a上的投影向量为
a＝a＝a＝a.
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
3．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
5．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.
【详解】若，则，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立；
故.
不妨设，则，
不妨设，，
则，则，
则
，
由，，
则，
故.
故答案为：.
6．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】解法一：以为基底向量，根据向量的线性运算求，即可得，设，求，结合数量积的运算律求的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求，即可得，设，求，结合数量积的坐标运算求的最小值.
【详解】解法一：因为，即，则，
可得，所以；
由题意可知：，
因为为线段上的动点，设，
则，
又因为为中点，则，
可得
，
又因为，可知：当时，取到最小值；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则，
可得，
因为，则，所以；
因为点在线段上，设，
且为中点，则，
可得，
则，
且，所以当时，取到最小值为；
故答案为：；.
1．若，，且，则与的夹角为 ；
【答案】//
【分析】根据已知结合数量积的运算律可推得，然后即可求出，进而得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
所以，.
又，所以.
故答案为：.
2．飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
【答案】大小为，方向为南偏西
【分析】作图，根据已知结合几何关系，即可得出答案.
【详解】

如图，飞机从运动到的过程，
由已知可得，，，且，
所以，，.
过点作，
因为，
所以，，
所以，.
由勾股定理可得，，
，所以.
所以，飞机从D地飞回A地的位移大小为，方向为南偏西.
3．已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
【答案】(1)证明见解析
(2).
【分析】（1）根据平面向量基本定理用，分别表示出，，有，且都过点，进而可证，，三点共线；
（2）根据已知条件有，求得，解出即可.
【详解】（1）证明：因为，，
所以，共线，且有公共点，所以，，三点共线.
（2）因为与共线，所以存在实数，使，
则，又由于向量，不共线，只能有，
解得：
4．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】根据数量积的定义计算可得.
【详解】（1）因为，所以与的夹角为或，又，，
当与的夹角为时，
当与的夹角为时.
（2）因为，所以与的夹角为，
所以.
（3）因为与的夹角为，
所以.
5.如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

【答案】
【分析】作图，进行力（向量）的分解，即可得出答案.
【详解】

设细绳作用力为，则，
如图，对力进行分解，可得.
根据力的平衡可知，物重G的大小为.
6.如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
【答案】答案见解析
【分析】首先分析物体的受力，再计算各个力所做的功.
【详解】物体受三个力，重力，斜面对物体的支持力，摩擦力，
且重力可分解为沿斜面向下的分力和垂直斜面的分力，则重力与位移之间的夹角，
则重力对物体做的功，
支持力与位移方向垂直，做功为，
摩擦力与位移方向相反，对物体做功
．

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知识点2 向量的线性运算 4
知识点3 向量共线定理 5
知识点4 平面向量的数量积 5
题型破译 6
题型1 平面向量的概念与表示 6
题型2 向量的几何表示 7
题型3 相等向量与共线向量 8
题型4 向量的加减运算 9
题型5 向量的数乘运算 10
题型6 向量的数量积 11
04真题溯源·考向感知 12
05课本典例·高考素材 12
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）平面向量线性运算的坐标表示 （2）平面向量线性运算的坐标表示 （3）平面向量线性运算的坐标表示 （4）向量加法的法则 （5）向量减法的法则 单选题 多选题 填空题 解答题 上海卷，12题，5分 天津卷，14题，5分 新课标I卷，第3题，5分 天津卷，14题，5分 北京卷，第5题，4分 新课标I卷，第3题，5分 新课标II卷，第13题，5分 甲卷理科，第4题，5分
考情分析：本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分 一般考查平面向量的基本概念、线性运算，易理解，易得分，需重点复习
复习目标： 1了解向量的实际背景,理解平面向量的基本概念,理解向量的几何表示 2掌握向量的加、减运算并理解其几何意义 3掌握向量的数乘运算并理解其几何意义以及两个向量共线的含义 4理解向量的线性运算性质及其几何意义
知识点1 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 ．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是 的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量 ．
(5)相等向量：长度相等且 的向量．
(6)相反向量：长度相等且 的向量．
自主检测（多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A．若与是共线向量，则点、、、共线
B．若为非零向量，则与同向
C．若，则
D．若，，则
知识点2 向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
自主检测下列结果不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点3 向量共线定理
向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得 .
向量共线定理可以解决一些向量共线，点共线问题，也可由共线求参数；对于线段的定比分点问题，用向量共线定理求解则更加简洁．
（1）若＝λ＋μ(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
（2）P为线段AB的中点 ＝(＋)．
自主检测已知向量，，，，，则一定共线的三点是（ ）
A．A，B，D B．A，B，C C．A，C，D D．B，C，D
知识点4 平面向量的数量积
1.向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠ ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
2.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积，记作 .
3.平面向量数量积的几何意义
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为 .
4.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ .
(2)(λa)·b＝ ＝ (λ∈R).
(3)(a＋b)·c＝ .
5.平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 .
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
自主检测已知，，，则 ．
题型1 平面向量的概念与表示
例1-1下列说法中，正确的是（ ）
A．模为的向量与任意向量共线
B．单位向量只有一个
C．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
D．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
例1-2以下命题中正确的是（ ）
A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则
C．若，则 D．若，则
方法技巧
解决向量的概念问题要注意两点：
一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；
二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.
【变式训练1-1·变考法】（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．若两个相等的非零向量的起点相同，侧它们的终点可能不同
B．若向量，则
C．若向量，满足，则或
D．若非零向量与共线，则，，三点共线
【变式训练1-2】（多选）下列四个命题为假命题的是（ ）
A．若，则
B．若四边形中有，则四边形为平行四边形
C．若，，，，则，可以作为平面向量的一组基
D．若向量，，则向量在向量上的投影数量为
题型2 向量的几何表示
例2-1（2025·河南·三模）若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西方向，且，则向量表示（ ）
A．从点O出发，朝北偏西方向移动
B．从点O出发，朝北偏西方向移动
C．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
D．从点O出发，朝北偏西方向移动2km
例2-2如图，四边形是边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，与向量同向且长度为的向量有几个？（在图中标出相应字母，写出这些向量）
【变式训练2-1·变考法】一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东方向行驶2km到D地，然后从D地沿北偏东方向行驶6km到达C地，从C地又向南偏西方向行驶2km才到达B地．
(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；
(2)求B地相对于A地的位移．
【变式训练2-2】如图所示的方格纸是由若干个边长为1的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且．
(1)画出所有满足条件的向量；
(2)求的最大值与最小值．
题型3 相等向量与共线向量
例3-1如图所示，四边形是平行四边形，四边形是矩形，在以各顶点为起点和终点的非零向量中，写出（不含）：
(1)与向量相等的向量；
(2)与向量共线的向量．
例3-2设，，，为平面内的四点，且，，.
(1)若，求点的坐标；
(2)设向量，若与平行，求实数的值.
方法技巧
(1)a∥b a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1.
【变式训练3-1·变载体】如图，点O是正六边形的中心，分别写出图中

(1)与相等的向量；
(2)与平行的向量；
(3)与模相等的向量；
(4)的负向量．
【变式训练3-2】如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与的相反向量；
(3)写出与模相等的向量.
题型4 向量的加减运算
例4-1设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　)
A. B.2 C.3 D.4
例4-2化简等于(　　)
A. B.0 C. D.
方法技巧
求差用向量减法的几何意义
【变式训练4-1】已知ABCD为平行四边形，E为BC的中点，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练4-2】在中，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
题型5 向量的数乘运算
例5-1已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示）
例5-2如图，在平行四边形中，，，若，则（　　）
A． B． C． D．
方法技巧
在△ABC中，D为BC上一点，若，则
【变式训练5-1·变考法】已知向量与的夹角为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2·变考法】若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-3】在平行四边形中，，，记，，则（ ）
A． B． C． D．
题型6 向量的数量积
例6-1在长方形ABCD中，，P，Q分别为BC，CD的中点，则 ．
例6-2已知向量，满足，，且，则 .
方法技巧
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练6-1·变考法】已知向量，满足，，则，的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，则b在a上的投影向量为(　　)
A.a B.a C.a D.a
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
3．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
5．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ．
6．（2024·天津·高考真题）已知正方形的边长为1，若，其中为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则的最小值为 ．
1．若，，且，则与的夹角为 ；
2．飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东60°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
3．已知非零向量，不共线．
(1)如果，，，求证：，，三点共线；
(2)欲使和共线，试确定实数的值．
4．已知，，当，满足下列条件时，分别求的值．
(1)；
(2)；
(3)与的夹角为．
5.如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．

6.如图，在倾角为、高m的斜面上，质量为5kg的物体沿斜面下滑，物体受到的摩擦力是它对斜面压力的倍，N/kg．求物体由斜面顶端滑到底端的过程中，物体所受各力对物体所做的功，（参考数据，）．
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