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第01讲 三角函数的概念与诱导公式
目录
01 考情解码 命题预警 2
03 体系构建·思维可视 3
03 核心突破 靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 任意角 3
知识点2 弧度制 4
知识点3 扇形的弧长公式及面积公式 5
知识点4 三角函数的概念 5
知识点5 同角三角函数的基本关系式 6
知识点6 三角函数的诱导公式 7
题型破译 7
题型1 任意角与弧度制 7
题型2 扇形的弧长与面积 8
题型3 扇形中的最值问题 9
【方法技巧】最值问题的处理
题型4 三角函数的定义 10
【易错分析】终边在直线上时需讨论
题型5 三角函数值的符号判定 11
题型6 同角三角函数的已知条件等式求值 11
【易错分析】求解时忽略角的范围
题型7 求齐次式的值 12
【方法技巧】齐次式的处理
题型8 知一求二 13
题型9 诱导公式的简单运用 13
题型10 互余型、互补型互化求值 14
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合 15
04 真题溯源 考向感知 16
05 课本典例·高考素材 17
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）三角函数的基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 （4）诱导公式 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T8（5分） 北京卷T13（5分） 全国甲卷（理）T8（5分） 全国甲卷（文）T9（5分） 北京卷T12（5分） 全国甲卷（理）T7（5分） 全国乙卷（文）T14（5分）
考情分析： 新高考卷中该专题为高频内容，考察的时候保持“重基础，强综合”的基调，注重公式的变形能力及跨模块融合，一般会考察三角函数化简求值或特殊值求三家函数值，且考察较为灵活，需加强复习备考，熟练运用公式
复习目标： 1.了解任意角的概念和弧度制的概念； 2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 4.理解同角三角函数的基本关系式：； 5.能利用单位圆中的对称性推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识点1 任意角
1.任意角
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置________到另一个位置所成的图形．
（2）角的表示
如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的________和终边．
“角”或“”可以简记成“”．
（3）角的分类
正角：一条射线绕其端点按________旋转形成的角
负角: 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角
（4）相等角与相反角
①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向________且旋转量________，那么就称.
②我们把射线OA绕端点O按________方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为.
③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
④角的减法可以转化为角的加法．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在________上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合________，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏；
（2）与中间用“”连接，如可理解成．
自主检测下列与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
知识点2 弧度制
1．角的单位制
（1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
2．角度与弧度的换算
角度化弧度 弧度化角度
________ 弧度数度数
自主检测（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
知识点3 扇形的弧长公式及面积公式
弧长公式 面积公式
角度制
弧度制 ________
温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制．
（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①
自主检测已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与________交于点
定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即
余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即
正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数
温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角．
（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：________
自主检测若点是角终边上一点，则的值是 .
知识点5 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:.
（2）商数关系: ________
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.
温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立.
自主检测已知，则（ ）
A． B． C． D．
知识点6 三角函数的诱导公式
诱导公式一：，________，，其中
诱导公式二：，，________
诱导公式三：________，，，其中
诱导公式四：，，________，
知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：________；
（3）常见变形：；．
自主检测已知角的终边经过点，则
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
题型1 任意角与弧度制
例1-1（多选）下列结论错误的是（ ）
A．第一象限角是锐角 B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等 D．不相等的角，它们终边必不相同
例1-2已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【变式1-1】下列说法正确的是 .
①两个角的终边相同，则它们的大小相等；
②若角为第二象限角，则是第三象限角；
③第一象限角都是锐角；
④终边在直线上的角的集合是.
【变式1-2】如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 .
【变式1-3】如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从出发，以逆时针方问等速沿单位圆周旋转，已知点P在内转过的角度为，经过到达第三象限，经过后又回到了出发点A处，则 ．
题型2 扇形的弧长与面积
例2-1已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ．
例2-2已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 .
【变式2-1】已知扇形的圆心角为，面积为6，则该扇形的周长为 .
【变式2-2】若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ．
【变式2-3】（多选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
（参考数据：）
A．
B．若，且扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
题型3 扇形中的最值问题
例3-1已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
例3-2如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 .
方法技巧 最值问题的处理
求扇形面积、周长最大值的问题时，常转化为二次函数或基本不等式的最值问题
【变式3-1】在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 .
【变式3-2】小明准备用铝合金材料制成如图所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圆形，要求窗架围成的总面积为3平方米．设窗架的周长为米，矩形下缘为米．
(1)建立关于的函数表达式；
(2)现有10米的铝合金材料是否够用 （不计算损耗）
（参考数据：，精确到0.1）
题型4 三角函数的定义
例4-1若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
例4-2已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B．或 C． D．或
易错分析 终边在直线上时需讨论
若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．
【变式4-1·变考法】如图，单位圆被点分为12等份，其中．角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 （从中选择，写出所有满足要求的点）．
【变式4-2】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
【变式4-3】已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 .
题型5 三角函数值的符号判定
例5-1若，则的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例5-2点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【变式5-1】 0（填“”或“<”）
【变式5-2】“”是“为第二或四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式5-3】若是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是（ ）
A． B． C． D．
题型6 同角三角函数的已知条件等式求值
例6-1已知为第三象限角，且，则的值为 ．
例6-2已知是第二象限角，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
易错分析 求解时忽略角的范围
根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号
【变式6-1】已知集合，且A=B，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．±1
【变式6-2】若实数，满足方程组，则的一个值可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
【变式6-3】已知是三角形的内角，是方程的两根.
(1)求角；
(2)若，求.
【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点.
(1)若，求的周长；
(2)若，求的面积.
题型7 求齐次式的值
例7-1若，则（ ）
A．1 B． C．9 D．
例7-2已知是关于的方程的两个实根，且，则 .
方法技巧 齐次式的处理
（1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的.
（2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值.
【变式7-1】已知角的终边落在射线上，则（ ）
A． B． C． D．
【变式7-2】（ 2025·安徽·模拟预测）计算：（ ）
A． B． C． D．1
【变式7-3】已知关于的二次方程对恒成立.
(1)求的取值范围；
(2)当取得最小值时，求的值.
题型8 知一求二
例8-1（多选）已知在中，，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例8-2已知是方程的两根，则 .
【变式8-1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型9 诱导公式的简单运用
例9-1若，则（ ）
A． B． C． D．
例9-2（ 2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2 B． C． D．2
【变式9-1】（ ）
A． B． C．1 D．
【变式9-2】黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则 ．
【变式9-3】已知.
(1)已知角的终边过点，求的值；
(2)若，且，求的值.
题型10 互余型、互补型互化求值
例10-1已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例10-2若 , 则 ．
【变式10-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】设，则 .（用m表示）.
【变式10-3】已知函数．
(1)化简；
(2)若，求的值．
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合
例11-1已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，则 .
例11-2若，且，则 .
【变式11-1】化简求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的．
(1)求的值；
(2)求的值．
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
5．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ．
1．若角与角的终边相同，则的终边在（ ）
A．轴的非负半轴上 B．轴的非负半轴上
C．轴的非正半轴上 D．轴的非正半轴上
2．已知角是第四象限角，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知是第一象限角，则（ ）
A． B．1 C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．单位圆上一点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径．
7．已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求的值；
(2)求的值．
8．已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第01讲 三角函数的概念与诱导公式
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01 考情解码 命题预警 2
03 体系构建·思维可视 3
03 核心突破 靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 任意角 3
知识点2 弧度制 4
知识点3 扇形的弧长公式及面积公式 5
知识点4 三角函数的概念 6
知识点5 同角三角函数的基本关系式 7
知识点6 三角函数的诱导公式 7
题型破译 8
题型1 任意角与弧度制 8
题型2 扇形的弧长与面积 10
题型3 扇形中的最值问题 13
【方法技巧】最值问题的处理
题型4 三角函数的定义 15
【易错分析】终边在直线上时需讨论
题型5 三角函数值的符号判定 17
题型6 同角三角函数的已知条件等式求值 18
【易错分析】求解时忽略角的范围
题型7 求齐次式的值 21
【方法技巧】齐次式的处理
题型8 知一求二 24
题型9 诱导公式的简单运用 25
题型10 互余型、互补型互化求值 27
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合 30
04 真题溯源 考向感知 32
05 课本典例·高考素材 35
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）三角函数的基本概念 （2）任意角的三角函数 （3）同角三角函数的基本关系 （4）诱导公式 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T8（5分） 北京卷T13（5分） 全国甲卷（理）T8（5分） 全国甲卷（文）T9（5分） 北京卷T12（5分） 全国甲卷（理）T7（5分） 全国乙卷（文）T14（5分）
考情分析： 新高考卷中该专题为高频内容，考察的时候保持“重基础，强综合”的基调，注重公式的变形能力及跨模块融合，一般会考察三角函数化简求值或特殊值求三家函数值，且考察较为灵活，需加强复习备考，熟练运用公式
复习目标： 1.了解任意角的概念和弧度制的概念； 2.能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 4.理解同角三角函数的基本关系式：； 5.能利用单位圆中的对称性推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识点1 任意角
1.任意角
（1）角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
（2）角的表示
如图，射线的端点是圆心，它从起始位置按逆时针方向旋转到终止位置，形成一个角，射线分别是角的始边和终边．
“角”或“”可以简记成“”．
（3）角的分类
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角: 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角：如果一条射线没有作任何旋转，就称它形成了一个零角
（4）相等角与相反角
①设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成．如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
②我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为.
③设是任意两个角．我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
④角的减法可以转化为角的加法．
2．象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
3．终边相同的角
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和．
温馨提示：（1）为任意角，“”这一条件不能漏；
（2）与中间用“”连接，如可理解成．
自主检测下列与角终边相同的角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】与角终边相同的角的集合为，令．
知识点2 弧度制
1．角的单位制
（1）角度制：规定1度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度．
2．角度与弧度的换算
角度化弧度 弧度化角度
度数弧度数 弧度数度数
自主检测（多选）下列转化结果正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】AB
【详解】，故A正确；，故B正确；，故C错误；，故D错误．
知识点3 扇形的弧长公式及面积公式
弧长公式 面积公式
角度制
弧度制
温馨提示：（1）运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是为弧度制．
（2）在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：
①
自主检测已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设扇形的圆心角和弧长分别为，
由得，
所以该扇形的面积为.
故选：B.
知识点4 三角函数的概念
1．任意角的三角函数的定义
前提 如图，设是一个任意角，，它的终边与单位圆交于点
定义 正弦 点的纵坐标叫做的正弦，记作，即
余弦 点的横坐标叫做的正弦，记作，即
正切 把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切，记作，即
三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为 正弦函数；余弦函数 正切函数
温馨提示：（1）在任意角的三角函数的定义中，应该明确是一个任意角．
（2）三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和所在终边上的位置无关，而由角的终边位置决定．
2．三角函数值的符号
如图所示：
正弦：一二象限正，三四象限负；
余弦：一四象限正，二三象限负；
正切：一三象限正，二四象限负．
简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
自主检测若点是角终边上一点，则的值是 .
【答案】
【详解】由已知点到原点的距离，
所以.
故答案为：
知识点5 同角三角函数的基本关系式
（1）平方关系:.
（2）商数关系:
这就是说,同一个角的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角的正切.
温馨提示:(1)注意“同角”,这里“同角”有两层含义,一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)都成立,即与角的表达形式无关,如成立,但是就不一定成立.
自主检测已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由条件可知，解得：.
故选：C
知识点6 三角函数的诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二：，，
诱导公式三：，，，其中
诱导公式四：，，，
知识点诠释：（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：奇变偶不变，符号看象限；
（3）常见变形：；．
自主检测已知角的终边经过点，则
（1）的值为 ；
（2）的值为 ．
【答案】
【详解】（1）设，则，所以．．
（2）．
题型1 任意角与弧度制
例1-1（多选）下列结论错误的是（ ）
A．第一象限角是锐角 B．钝角是第二象限角
C．终边相同的角一定相等 D．不相等的角，它们终边必不相同
【答案】ACD
【详解】由任意角和象限角的定义易知锐角是第一象限角，但第一象限角不都是锐角，故A错误；因为终边相同的角相差，故C，D错误；只有B是正确的．
例1-2已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（ ）
A．或
B．或
C．
D．
【答案】D
【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是．
【变式1-1】下列说法正确的是 .
①两个角的终边相同，则它们的大小相等；
②若角为第二象限角，则是第三象限角；
③第一象限角都是锐角；
④终边在直线上的角的集合是.
【答案】②④
【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确；
对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确；
对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确；
对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是
；
若终边在直线上的角在第四象限，则集合是，
综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确.
故选：②④.
【变式1-2】如图所示，终边落在阴影部分内的角α的取值集合为 .
【答案】
【详解】方法一　由于终边在上的角的集合为
由于终边在轴非正半轴上的角的集合为，
因此由题图可知，终边落在阴影部分内的角的集合为；
方法二　在内，终边落在阴影部分内的角α的集合为，
所以所求角α的集合为.
故答案为：.
【变式1-3】如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从出发，以逆时针方问等速沿单位圆周旋转，已知点P在内转过的角度为，经过到达第三象限，经过后又回到了出发点A处，则 ．
【答案】或
【详解】因为，且，所以一定有，于是．又，所以，从而，所以，所以或5．当时，；当时，．综上，或．
题型2 扇形的弧长与面积
例2-1已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 ．
【答案】
【详解】如图所示，
设圆锥底面圆的半径为，高为2，母线长为，
由题意得，，
故，解得．
故答案为：.
例2-2已知某圆锥的高为2，其侧面展开图为半圆，则该圆锥底面圆的半径为 .
【答案】/
【详解】设圆锥底面的半径为，则母线①.
根据题意，底面圆的周长等于侧面展开图半圆的弧长，
即，所以②.
联立①②方程可求得，解得.
故答案为：.
【变式2-1】已知扇形的圆心角为，面积为6，则该扇形的周长为 .
【答案】10
【详解】设该扇形的半径为，圆心角为，则，解得，
故该扇形的周长为.
故答案为：10
【变式2-2】若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为的扇形，则这个圆锥的侧面积与表面积的比是 ．
【答案】
【详解】设圆锥底面圆的半径为，圆锥的侧面展开图扇形的半径为，
由题意可得，，
圆锥的侧面积为，圆锥的表面积，
故
故答案为：
【变式2-3】（多选）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成．如图，设扇形的面积为，其圆心角为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面为“美观扇面”，下列结论正确的是（ ）
（参考数据：）
A．
B．若，且扇形的半径，则
C．若扇面为“美观扇面”，则
D．若扇面为“美观扇面”，扇形的半径，则此时的扇形面积为
【答案】AC
【详解】对于A，因为与所在扇形的圆心角分别为，，
所以，故A正确：
对于B，因为，所以，
所以，故B错误；
对于C，因为，所以，
所以，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选：AC.
题型3 扇形中的最值问题
例3-1已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】D
【详解】设扇形圆心角为，，扇形半径为，，
由题有，
则，当时取等号.
故选：D
例3-2如图，是半径为2的圆周上的定点，为圆周上的动点，.图中阴影区域的面积的最大值为 .
【答案】
【详解】
，
所以在扇形中，弓形面积为，
在等腰直角中，，到最大距离为半径加上等腰直角底边上的高，即为，
所以
所以阴影面积.
故答案为：.
方法技巧 最值问题的处理
求扇形面积、周长最大值的问题时，常转化为二次函数或基本不等式的最值问题
【变式3-1】在面积为定值S的扇形中，扇形的周长最小时半径是 .
【答案】
【详解】设扇形的半径为，扇形圆心角为，则扇形弧长为，
故，故，
所以扇形的周长为，
由基本不等式得，
当且仅当，即，此时，满足要求.
故答案为：
【变式3-2】小明准备用铝合金材料制成如图所示的窗架，窗架的下部是矩形，上部是半圆形，要求窗架围成的总面积为3平方米．设窗架的周长为米，矩形下缘为米．
(1)建立关于的函数表达式；
(2)现有10米的铝合金材料是否够用 （不计算损耗）
（参考数据：，精确到0.1）
【答案】(1)
(2)够用
【详解】（1）由题意得.
（2），
当且仅当，即时L取得最小值，
因为，
所以10米的铝合金材料够用.
题型4 三角函数的定义
例4-1若角的顶点是坐标原点，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设，，，则，所以，，
故．
故选：B.
例4-2已知角的终边在直线上，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【详解】角的终边在直线上，而直线是第二、四象限的平分线．当角的终边在第二象限时，，从而；当角的终边在第四象限时，，从而．
易错分析 终边在直线上时需讨论
若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意“在终边上任取一点”应分两种情况（点所在象限不同）进行分析．
【变式4-1·变考法】如图，单位圆被点分为12等份，其中．角的始边与x轴的非负半轴重合，若的终边经过点，则 ；若，则角的终边与单位圆交于点 （从中选择，写出所有满足要求的点）．
【答案】
【详解】因为，所以若角的终边经过，则．角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边经过点，则，所以．因为，则或，即或，得或9．所以角经过点．
【变式4-2】已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则
【答案】
【详解】角终边上有两点，，
．
由可知，
因为不在轴上，所以，
．
，
则，即，
故答案为：.
【变式4-3】已知角的终边上的点与关于轴对称，角的终边上的点与A关于直线对称，则的值为 .
【答案】0
【详解】由可知，都存在，
因为角的终边上的点与关于轴对称，
所以，则，
而角的终边上的点与A关于直线对称，
所以，则，，
则
.
故答案为：0.
题型5 三角函数值的符号判定
例5-1若，则的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角.
故选：B.
例5-2点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【详解】因为，，且，所以弧度的角是第二象限角.
根据余弦函数的性质，在第二象限中，余弦值是负数，所以.
根据正切函数的性质，在第二象限中，正切值是负数，所以.
在平面直角坐标系中，横坐标小于且纵坐标小于的点在第三象限，
因为点中，，所以点在第三象限.
即点在平面直角坐标系中位于第三象限.
故选：.
【变式5-1】 0（填“”或“<”）
【答案】<
【详解】的终边在第二象限，的终边在第四象限，
，
，
故答案为：．
【变式5-2】“”是“为第二或四象限角”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】若，而恒成立，
则且，所以为第二或四象限角，充分性成立；
若为第二或四象限角，则且，
所以，必要性成立，
所以“”是“为第二或四象限角”的充要条件.
故选：.
【变式5-3】若是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为是第四象限角，所以，
所以，，
所以为第二或第四象限角，终边在第三象限，或y轴负半轴，或第四象限，
故．
故选：C.
题型6 同角三角函数的已知条件等式求值
例6-1已知为第三象限角，且，则的值为 ．
【答案】
【详解】因为为第三象限角，所以，
所以， 则，
又，所以,解得，
又，所以，
故答案为：.
例6-2已知是第二象限角，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，移项可得.
根据三角函数平方关系，将代入可得：
，可得，得.
因为是第二象限角，，所以.
故选：D.
易错分析 求解时忽略角的范围
根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号
【变式6-1】已知集合，且A=B，则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．±1
【答案】A
【详解】因为，又即，所以，
则，又，所以，
所以.
故选：A.
【变式6-2】若实数，满足方程组，则的一个值可以是 .（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一，满足，即可）
【详解】由，可得，
即，所以，所以，，
所以当k=0时，.
故答案为：（答案不唯一，满足，即可）
【变式6-3】已知是三角形的内角，是方程的两根.
(1)求角；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为是方程的两根，
所以，
又，
则，解得（舍去）或，
所以或，
将或代入中易知当时不成立，
故；
（2），即，
则，则，解得或，
因为，所以，
故.
【变式6-4】如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，过作单位圆的切线，与轴和轴分别交于，两点.
(1)若，求的周长；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为直线与圆相切，所以.
在直角三角形中，，所以.
在直角三角形中，，所以.
因为，且，所以，
又因为为锐角，所以，
所以的周长为.
（2）因为，所以，
所以，所以.
因为，所以，
所以的面积.
题型7 求齐次式的值
例7-1若，则（ ）
A．1 B． C．9 D．
【答案】D
【详解】．
故选：D.
例7-2已知是关于的方程的两个实根，且，则 .
【答案】
【详解】因为是关于的方程的两个实根，
所以，，
又，所以，故，
所以，，
所以，
所以，
因为，所以，故，
所以.
故答案为：.
方法技巧 齐次式的处理
（1）对于或的求值,将分子分母同除以或,化成关于的式子,从而达到求值的目的.
（2）对于的求值,可看成分母是1,利用进行代替后分子分母同时除以,得到关于的式子,从而可以求值.
【变式7-1】已知角的终边落在射线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】方法1：由题角的终边过点，则(为坐标原点)，
从而，．
方法2：由题易知
故选：B．
【变式7-2】（ 2025·安徽·模拟预测）计算：（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】
.
故选：B.
【变式7-3】已知关于的二次方程对恒成立.
(1)求的取值范围；
(2)当取得最小值时，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为关于的二次方程对恒成立，
所以，解得，
即解得，
故的取值范围为.
（2）当取得最小值时，.
.
题型8 知一求二
例8-1（多选）已知在中，，则下列命题中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由题意知，化简得，
解得，因为在中,所以，即，
因为，所以，
联立方程组可得，解得，，，所以AB错误，CD正确.
故选：CD.
例8-2已知是方程的两根，则 .
【答案】0
【详解】由题意，且，，
由，则，即，
所以.
故答案为：0
【变式8-1】若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】已知等式平方后应用二倍角公式得，同时判断出，，可再利用平方关系求得，代入即得结论．
【详解】因为，是关于x的方程的两个根，
所以，
所以，
又因为，
所以，
所以，
由题意，是关于x的方程的两个根，
所以或，
所以，
所以，
故选：D.
【变式8-3】设，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，
设，所以，化简得，
所以，，
则.
故选：A.
题型9 诱导公式的简单运用
例9-1若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，解得，
于是，
故选：A．
例9-2（ 2025·湖北武汉·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，设角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，，则（ ）
A．-2 B． C． D．2
【答案】B
【详解】由题意可得，，
则，解得（舍去）.
故选：B
【变式9-1】（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】.
故选：D.
【变式9-2】黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则 ．
【答案】/
【详解】由数字串的任意性，不妨取数字串，
经过第一步后可得到数字串，经第二步后得到数字串，
再变为，再变为，...
故数字黑洞为，即，
所以．
故答案为：
【变式9-3】已知.
(1)已知角的终边过点，求的值；
(2)若，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因，
又角的终边过点，则，
故.
（2）①，
则，
则，
因，则，又，则，
故，②，
由①②解得，故.
题型10 互余型、互补型互化求值
例10-1已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，.
故选：B
例10-2若 , 则 ．
【答案】/
【详解】由题意.
故答案为：.
【变式10-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，.
故选：A
【变式10-2】设，则 .（用m表示）.
【答案】
【详解】解法1
原式
.
又，所以原式.
解法2 由，得，
原式
.
【变式10-3】已知函数．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
，
，
因为，所以，所以，
故，因此．
题型11 同角三角函数与诱导公式的综合
例11-1已知角的终边经过点，将角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，则 .
【答案】/
【详解】因为角的终边经过点，
所以，则，
又因为角的终边绕原点顺时针旋转得到角的终边，故，
所以，
故.
故答案为：.
例11-2若，且，则 .
【答案】
【详解】，，，
联立得.
故答案为：
【变式11-1】化简求值：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)1
(4)
【详解】（1）原式
；
（2）
；
（3）原式
；
（4）原式
．
【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，以原点为顶点，轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与以为圆心的单位圆相交于点，且点的坐标为，单位圆与轴的非负半轴交于点，的面积是面积的．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1）因为在单位圆上，且位于第一象限，
所以且，解得，所以，
所以，；
（2）因为的面积是的面积的倍，
所以，
又，所以，即，又，
解得或（舍去）；
所以.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2020·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【详解】结合图像易知，，，
则角是第四象限角，
故选：D.
4．（2025·北京·高考真题）已知，且，.写出满足条件的一组的值 ， ．
【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一）
【详解】因为，，
所以的终边关于轴对称，且不与轴重合，
故且，
即，
故取可满足题设要求；
故答案为：；（答案不唯一）
5．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为 ．
【答案】/
【详解】由题意，从而，
因为，所以的取值范围是，的取值范围是，
当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为.
故答案为：.
6．（2023·全国乙卷·高考真题）若，则 ．
【答案】
【详解】因为，则，
又因为，则，
且，解得或（舍去），
所以.
故答案为：.
1．若角与角的终边相同，则的终边在（ ）
A．轴的非负半轴上 B．轴的非负半轴上
C．轴的非正半轴上 D．轴的非正半轴上
【答案】A
【详解】由题意得，故，则的终边在轴的非负半轴上.
故选：A.
2．已知角是第四象限角，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题得.
故选B．
3．已知是第一象限角，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以.
又是第一象限角，故原式.
故选：A
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】易知，
故.
故选：B
5．单位圆上一点从出发，顺时针方向运动弧长到达点，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】可易知点在第二象限角平分线上，所以，
其中，
故点坐标为．
故选：A
6．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径．
【答案】(1)
(2)15
【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则，
故大轮转动的弧度数为．
（2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为，
所以大轮上每1s转过的弧长为，故．
7．已知角的终边经过点，且满足．
(1)若为第二象限角，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）由已知有，解得或.
又为第二象限角，所以，所以．
（2）根据（1）的分析可知：或．
而.
故当时，；当时，；当时，．
综上，的值为或或．
8．已知．
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
，
则；
（2）由（1）得，，则，
又，
故．
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