资源简介

第02讲 常用逻辑用语
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 充分条件与必要条件 3
知识点2 全称量词命题与存在量词命题 4
知识点3 含有一个量词的命题的否定 5
题型破译 5
题型1 充分必要条件的判断 5
【方法技巧】充分、必要条件的判断方法
题型2 充分必要条件的探求 7
题型3 根据充分必要条件求参数 8
【方法技巧】根据充分必要条件求解参数的步骤
【易错分析】混淆充分条件和充分不必要条件
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 10
【方法技巧】判断全称量词命题、存在量词命题的真假方法
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定 12
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 13
【方法技巧】含量词命题求参数范围的方法
04 真题溯源.考向感知 15
05 课本典例·高考素材 18
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）充分条件、必要条件 （2）全称量词命题与存在量词命题 （3）全称量词命题与存在量词命题的否定 单选题 多选题 填空题 解答题 北京卷T7（5分） 天津卷T2（5分） 全国II卷T2（5分） 全国甲卷（理）T9（5分） 北京卷T5（5分） 天津卷T2（5分） 全国甲卷（理）T7（5分） 全国 I卷T7（5分） 北京卷T8（5分） 天津卷T2（5分）
考情分析： 新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，题型以单选题为主，分值5分。 近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。
复习目标： 1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.能理解全称量词命题与存在量词命题的含义，并能正确对两种命题进行否定.
知识点1 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
若_______，则是的充分条件，q是p的必要条件；
且 是的_______条件
且 是的_______条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，
是的充分条件
_______ 是的必要条件
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的_______条件
且 是的既不充分也不必要条件
自主检测已知、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点2 全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称 符号表示 常见量词
全称量词 _______ 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 _______ 存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
表示 全称量词命题 存在量词命题
语言表示 对中任意一个，有p(x)成立 中存在，使成立
符号表示
自主检测已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
知识点3 含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题 命题的否定
_______
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 _______ 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 _______ 某个 _______ 至少两个 一个也没有
自主检测命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
题型1 充分必要条件的判断
例1-1已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例1-2已知a，b均为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
方法技巧 充分、必要条件的判断方法
（1）命题判断法：
①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件；
②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件．
（2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为，
若，则是的充分条件；若，则是的必要条件．
【变式训练1-1】“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
【变式训练1-2】已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练1-3·变载体】已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
题型2 充分必要条件的探求
例2-1（多选）若，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
例2-2设，则“”的充要条件是（ ）
A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0
C．a，b都为1 D．不都为1
【变式训练2-1】已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ．
【变式训练2-2】不等式成立的一个必要不充分条件是 .（写出一个符合条件的答案即可）
【变式训练2-3】已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
题型3 根据充分必要条件求参数
例3-1已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
例3-2已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
方法技巧 根据充分必要条件求解参数的步骤
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
易错分析 混淆充分条件和充分不必要条件
要注意：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件，故在用集合法判断解决题目时，注意两集合之间的关系
【变式训练3-1】已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【变式训练3-2】已知．
（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ．
【变式训练3-3】已知集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
例4-1（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（ ）
A．和都是真命题
B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题
D．和都是假命题
例4-2下列存在量词命题为假命题的是（ ）
A．存在，使 B．存在，使
C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数
方法技巧 判断全称量词命题和存在量词命题的真假方法
（1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
（2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题
【变式训练4-1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A．
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C．
D．至少存在两个质数的平方是偶数
【变式训练4-2】（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．， B．，
C．，使得 D．，且，使得
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定
例5-1命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
例5-2（2025·云南·三模）已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（ ）
A．p和q都是假命题 B．和q都是假命题
C．p和都是假命题 D．和都是假命题
【变式训练5-1】命题“”的否定是 .
【变式训练5-2· 变考法】定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假 B．，且为假
C．，且为真 D．，且为真
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
例6-1（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
例6-2若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
方法技巧 含量词命题求参数范围的方法
全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，存在量词命题的常见题型是“能成立”问题，故可用参变量分离法，然后转化成函数的最值问题，如下：
①，；②，；
③，；④，.
【变式训练6-1】命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 .
【变式训练6-2】已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
【变式训练6-3】命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-4】已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
9．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
1．写出下列命题的否定:
(1);
(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3);
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
2．判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)是的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.
3．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，有实数根，;
(3);
(4);
(5).
4．设集合满足条件p，满足条件q.
（1）如果，那么p是q的什么条件？
（2）如果，那么p是q的什么条件？
（3）如果，那么p是q的什么条件？
试举例说明.
5．设证明:的充要条件是.
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01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 充分条件与必要条件 3
知识点2 全称量词命题与存在量词命题 4
知识点3 含有一个量词的命题的否定 5
题型破译 5
题型1 充分必要条件的判断 5
【方法技巧】充分、必要条件的判断方法
题型2 充分必要条件的探求 7
题型3 根据充分必要条件求参数 8
【方法技巧】根据充分必要条件求解参数的步骤
【易错分析】混淆充分条件和充分不必要条件
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断 10
【方法技巧】判断全称量词命题、存在量词命题的真假方法
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定 12
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 13
【方法技巧】含量词命题求参数范围的方法
04 真题溯源.考向感知 15
05 课本典例·高考素材 18
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）充分条件、必要条件 （2）全称量词命题与存在量词命题 （3）全称量词命题与存在量词命题的否定 单选题 多选题 填空题 解答题 北京卷T7（5分） 天津卷T2（5分） 全国II卷T2（5分） 全国甲卷（理）T9（5分） 北京卷T5（5分） 天津卷T2（5分） 全国甲卷（理）T7（5分） 全国 I卷T7（5分） 北京卷T8（5分） 天津卷T2（5分）
考情分析： 新高考卷中常用逻辑用语专题为热点内容，主要考查充分必要条件、全称量词与存在量词，题型以单选题为主，分值5分。 近三年考情显示，该专题可直接考察，也可作为知识点载体的形式考察，常与数列，函数等知识点结合，难度随载体的知识点而定。备考需强化反例法和集合思想的运用，注重逻辑链的完整性训练。
复习目标： 1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件的含义. 2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系. 3.能理解全称量词命题与存在量词命题的含义，并能正确对两种命题进行否定.
知识点1 充分条件与必要条件
1．充分条件与必要条件的概念
若，则是的充分条件，q是p的必要条件；
且 是的充分不必要条件
且 是的必要不充分条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
2．集合判断法判断充分条件、必要条件
若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即，
是的充分条件
是的必要条件
是的充分不必要条件
是的必要不充分条件
是的充要条件
且 是的既不充分也不必要条件
自主检测已知、，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由可得且，
因为“”“且”，“”“且”，
因此，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
知识点2 全称量词命题与存在量词命题
1．全称量词和存在量词
量词名称 符号表示 常见量词
全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等
存在量词 存在一个、至少一个、有些、某些等
（2）全称量词命题和存在量词命题
表示 全称量词命题 存在量词命题
语言表示 对中任意一个，有p(x)成立 中存在，使成立
符号表示
自主检测已知命题，，命题，，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【详解】对于命题，不妨取，则，则命题为假命题，
对于命题，由可得或，则命题为真命题，
因此，和都是真命题.
故选：B.
知识点3 含有一个量词的命题的否定
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题，如下所示：
命题 命题的否定
常用的正面叙述词语和它的否定词语
正面词语 等于（） 大于（） 小于（） 是
否定词语 不等于（） 不大于（） 不小于（） 不是
正面词语 都是 任意的 所有的 至多一个 至少一个
否定词语 不都是 某个 某些 至少两个 一个也没有
自主检测命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由存在量词命题的否定是全称量词命题，
则“”的否定为.
故选：D
题型1 充分必要条件的判断
例1-1已知集合，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，则，则，，此时，
当时，也能得到，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
例1-2已知a，b均为正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，可得，所以，即，
所以，所以，所以“”是“”的充分条件；
取，可得，故“”是“”的不必要条件；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
方法技巧 充分、必要条件的判断方法
（1）命题判断法：
①如果命题：“若，则”为真命题，那么是的充分条件，同时是的必要条件；
②如果命题：“若，则”为假命题，那么不是的充分条件，同时也不是的必要条件．
（2）集合法：（小集合可以推出大集合）若对应的集合为，对应的集合为，
若，则是的充分条件；若，则是的必要条件．
【变式训练1-1】“”是“”的 条件（选择用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”填空）
【答案】必要不充分
【详解】解：因为由可得或，
所以即且.
因为由“”不能推出“且”；
由“且”可推出“”，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
【变式训练1-2】已知a，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】由推不出，例如，；由可得，或，，当，时不能推出，例如，，所以“”是 “”的既不充分也不必要条件.
【变式训练1-3·变载体】已知α，β是两个不同的平面，直线l⊥β，则“”是“l⊥α”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若，因为l⊥β，所以l⊥α成立；
若l⊥α，因为l⊥β，根据与同一条直线垂直的两个平面平行，所以成立，
所以“”是“l⊥α”的充分必要条件.
故选：A．
题型2 充分必要条件的探求
例2-1（多选）若，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】解：设对应的集合为，使成立的一个充分不必要条件对应的集合为，
由解得，，故，
因为要求使成立的一个充分不必要条件，
所以且，
满足上述条件的选项有BC.
故选：BC.
例2-2设，则“”的充要条件是（ ）
A．a，b中至少有一个为1 B．a，b都不为0
C．a，b都为1 D．不都为1
【答案】A
【详解】由题意，
则和中至少有一个为0，即，中至少有一个为1，
所以“”的充要条件是“a，b中至少有一个为1”.
故选：A.
【变式训练2-1】已知，若的一个必要不充分条件是，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】或，
则命题对应集合为.
，则命题对应集合为.
因的一个必要不充分条件是，则命题对应集合为命题对应集合的真子集，
则.
故答案为：
【变式训练2-2】不等式成立的一个必要不充分条件是 .（写出一个符合条件的答案即可）
【答案】（满足是其真子集即可，答案不唯一）.
【详解】因为，
设：，的一个必要不充分条件是，成立的集合记为B，
所以，，
所以集合A是集合B的真子集，
故（满足集合A是集合B的真子集即可）.
故答案为：（满足是其真子集即可，答案不唯一）.
【变式训练2-3】已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可知且，解得，
所以使得“且”成立的一个充分不必要条件是集合的一个真子集，
因为只有选项A中的是的真子集，
故选：A
题型3 根据充分必要条件求参数
例3-1已知，若p是q的充分条件，则实数a的取值范围是 ；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由p是q的充分条件，知p可推出q，所以；由p是q的必要条件，知q可推出p，所以．
例3-2已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，或，
则，故；
（2），且“”是“”的充分不必要条件，
故A为的真子集，，
故，结合，解得，
即实数a的取值范围.
方法技巧 根据充分必要条件求解参数的步骤
①把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解；
②要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
易错分析 混淆充分条件和充分不必要条件
要注意：充分条件包含充分必要条件和充分不必要条件，故在用集合法判断解决题目时，注意两集合之间的关系
【变式训练3-1】已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设集合或，或，
若是的必要条件，则，
当时，即时，此时，成立；
当时，即时，若，此时，该不等式组无解.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练3-2】已知．
（1）若p是q的必要且不充分条件，则实数m的取值范围是 ；
（2）若p是q的充要条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设集合，集合．（1）若p是q的必要且不充分条件，则．①当时，，此时；②当时，且和不能同时成立，解得．故．（2）因为p是q的充要条件，所以，所以解得．
【变式训练3-3】已知集合．
(1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围．
(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【详解】解：（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是．
（2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在．
题型4 全称量词命题、存在量词命题的真假判断
例4-1（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（ ）
A．和都是真命题
B．是假命题，是真命题
C．是真命题，是假命题
D．和都是假命题
【答案】B
【详解】对于命题，因为当时，，故命题是假命题；
对于命题，当时，，故命题是真命题.
故选：B.
例4-2下列存在量词命题为假命题的是（ ）
A．存在，使 B．存在，使
C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数
【答案】B
【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立．
方法技巧 判断全称量词命题和存在量词命题的真假方法
（1）要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
（2）判断存在量词命题“”的真假性的关键是探究集合中的存在性．若找到一个元素，使成立，则该命题是真命题；若不存在，使成立，则该命题是假命题
【变式训练4-1】下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（ ）
A．
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C．
D．至少存在两个质数的平方是偶数
【答案】C
【详解】AB是全称量词命题，排除，CD是存在量词命题，
C，存在使得，故C正确；
对于D，质数中，只有2的平方是偶数，故D错误.
故选：C.
【变式训练4-2】（多选）下列命题是真命题的是（ ）
A．， B．，
C．，使得 D．，且，使得
【答案】AC
【详解】，恒成立，故A正确；
当时，，故B显然错误；
当时，，故C正确；
因为在上单调递增，由可得，故D错误．
故选：AC
题型5 全称量词命题、存在量词命题的否定
例5-1命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，故原命题的否定为.
故选：D
例5-2（2025·云南·三模）已知命题p：“是的充分不必要条件”；命题q：“，”．则下列正确的是（ ）
A．p和q都是假命题 B．和q都是假命题
C．p和都是假命题 D．和都是假命题
【答案】D
【详解】由，可得或，则可以推出，充分性成立；
当时，或，故必要性不成立，
所以可得是的充分不必要条件，故p是真命题，则是假命题；
令，得到，化简得，解得或，
则“，”，故q是真命题，则是假命题，即和都是假命题，故D正确，
故选：D．
【变式训练5-1】命题“”的否定是 .
【答案】
【详解】命题“”的否定是“”.
故答案为：.
【变式训练5-2· 变考法】定义新运算：，设，命题，则（ ）
A．，且为假 B．，且为假
C．，且为真 D．，且为真
【答案】D
【详解】因为，且，
则，，
可得，即命题为假命题，
所以，且为真命题.
故选：D.
题型6 根据全称量词命题、存在量词命题的真假求参数
例6-1（2024·四川攀枝花·一模）命题“”为假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由已知可得，命题“”的否定，
即命题“”真命题，
根据二次函数的性质可得，应有，
解得.
故选：C.
例6-2若命题“，”是真命题，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立．
又命题“，”是真命题，所以，
即实数a的取值范围为．
故答案为：
方法技巧 含量词命题求参数范围的方法
全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，存在量词命题的常见题型是“能成立”问题，故可用参变量分离法，然后转化成函数的最值问题，如下：
①，；②，；
③，；④，.
【变式训练6-1】命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】若命题“，使”是真命题，
当时，，解得，舍去；
当时，则，解得，
即当时命题“，使”是真命题；
因为命题“，使”是假命题，
所以，即实数的取值范围是.
故答案为：
【变式训练6-2】已知命题“，”的否定为真命题，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意得“，”为真命题，
所以在区间内有解，
又知在区间内单调递增，所以，
故的取值范围为．
故答案为：
【变式训练6-3】命题“”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】命题的否定为：“”
若该命题为真命题得，所以，
所以为该命题的一个必要不充分条件，
故选：C.
【变式训练6-4】已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，
即a的最大值为.
（2）若q是真命题，，解得或，
若q是假命题，，解得，
由已知p、q一真一假，
若p真q假，则，
若q真p假，则，
综上： 或
1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
4．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2023·北京·高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
6．（2021·全国乙卷·高考真题）已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：A．
7．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.
故选：C.
8．（2023·全国甲卷·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
9．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
1．写出下列命题的否定:
(1);
(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;
(3);
(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.
【答案】(1);
(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;
(3);
(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.
【解析】(1)根据全称量词命题的否定写出即可.
(2)根据全称量词命题的否定写出即可.
(3)根据存在量词命题的否定写出即可.
(4) 根据存在量词命题的否定写出即可.
【详解】(1)“”为全称量词命题,故否定为：“”;
(2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称量词命题,
故否定为：“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0”
(3)“”为存在量词命题,故否定为：“”;
(4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为存在量词命题,
故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”
【点睛】本题主要考查了全称量词命题与存在量词命题的否定,属于基础题型.
2．判断下列命题的真假:
(1)点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件;
(2)两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件;
(3)是的必要不充分条件;
(4)x或y为有理数是xy为有理数的既不充分又不必要条件.
【答案】(1)真命题;(2)假命题;(3)假命题;(4)真命题.
【解析】(1)根据点与圆的位置关系判断.
(2)举例说明即可.
(3)根据集合的关系直接判断
(4)举例说明即可.
【详解】(1)根据点与圆的位置关系知点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在外的充要条件.
故(1)为真命题.
(2)两个三角形面积相等也可能同底等高,全等三角形面积一定相等.故两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件.
故(2)为假命题.
(3)是的充要条件.
故(3)为假命题.
(4)当时,满足“x或y为有理数”但“xy为有理数”不成立.
当时满足“xy为有理数”但“x或y为有理数”不成立.
故(4)为真命题.
【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的辨析,属于基础题型.
3．在下列各题中,判断p是q的什么条件(请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”回答):
(1)p:三角形是等腰三角形,q:三角形是等边三角形;
(2)在一元二次方程中，有实数根，;
(3);
(4);
(5).
【答案】(1)必要不充分条件;(2)充要条件;(3)充分不必要条件;(4)必要不充分条件;(5)既不充分又不必要条件.
【解析】(1)根据等腰三角形与等边三角形的关系分析.
(2)根据二次方程的根分析
(3)根据集合的基本关系分析
(4)根据集合的基本关系分析
(5)举例说明分析
【详解】(1)因为等腰三角形是特殊的等边三角形,
故p是q的必要不充分条件.
(2) 一元二次方程有实数根则判别式.
故p是q的充要条件.
(3)因为,故且；当时不一定成立.
故p是q的充分不必要条件.
(4) 因为,故或,所以不一定成立；
当时一定成立.
故p是q的必要不充分条件.
(5) 当时,满足但不成立.
当时,满足但不成立.
故p是q的既不充分又不必要条件.
【点睛】本题主要考查了充分条件与必要条件的判定,属于基础题型.
4．设集合满足条件p，满足条件q.
（1）如果，那么p是q的什么条件？
（2）如果，那么p是q的什么条件？
（3）如果，那么p是q的什么条件？
试举例说明.
【答案】（1）充分条件；（2）必要条件；（3）充要条件.
【详解】（1）若，则有，即每个使p成立的元素也使q成立，
即，所以p是q的充分条件.如，，
，是的充分条件.
（2）若，则有，即每个使q成立的元素也使p成立，
即，所以p是q的必要条件.如，，则，
是的必要条件.
（3）若，则，，所以p是q的充要条件.如，
是的充要条件.
5．设证明:的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】分别证明充分性与必要性即可.
【详解】证明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要条件是.
【点睛】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性,属于中等题型.
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