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第02讲 导数与函数的单调性
目录
01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 2
03核心突破·靶向攻坚 2
知能解码 4
知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 4
知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间 4
知识点3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 5
知识点4 含参问题讨论单调性 5
题型破译 6
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 6
【方法技巧】求单调区间步骤
题型2 已知函数在区间上单调 6
【方法技巧】已知函数在区间上单调等价条件
题型3 已知函数在区间上存在单调区间 7
【方法技巧】已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
题型4 已知函数在区间上不单调 8
【方法技巧】已知函数在区间上不单调 等价条件
题型5 导函数与原函数图象的单调性 8
【方法技巧】导函数与原函数关系
题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型）） 11
题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ） 12
题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ） 13
04真题溯源·考向感知 25
05课本典例·高考素材 16
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 （3）含参数单调性讨论 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T18（2）（i）（5分） 全国甲卷（理）T20（1）（5分） 北京卷T20（1）（4分） 全国乙卷（文）T20（2）（7分） 全国甲卷（文）T20（1）（5分） 全国 I卷T19（1）（5分） 全国 II卷T6（5分） 北京卷T20（2）（5分）
考情分析：高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．
复习目标： （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． （2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． （3）分类讨论求函数单调区间，讨论时不重复，不遗漏
知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件 恒有 结论
函数在区间上可导 在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
自主检测已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

B．
C． D．
知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
自主检测（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
知识点3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，
解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，
解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
自主检测已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
自主检测（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）
例1-1函数的单调递增区间为 .
例1-2函数的递增区间是 ；递减区间 ．
方法技巧 求单调区间步骤
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
【变式训练1-1】函数的单调递增区间为 ．
【变式训练1-2】函数的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
【变式训练1-3】函数的单调递增区间为 .
题型2 已知函数在区间上单调
例2-1已知关于x的函数在区间上单调递减，则t的取值范围是 ．
例2-2（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ．
方法技巧 已知函数在区间上单调等价条件
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
【变式训练2-1】（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
【变式训练2-2】已知函数在上单调递增，则的取值范围为 .
【变式训练2-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
题型3 已知函数在区间上存在单调区间
例3-1已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
【变式训练3-1】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 .
题型4 已知函数在区间上不单调
例4-1已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例4-2已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 .
方法技巧 已知函数在区间上不单调 等价条件
已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
【变式训练4-1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2】若函数在上不单调，则实数的取值范围是
【变式训练4-3】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 .
题型5 导函数与原函数图象的单调性
例5-1已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是（ ）
A． B．
C． D．
例5-2（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
方法技巧 导函数与原函数关系
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
【变式训练5-1】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【变式训练5-3】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
例6-1
(1)，求曲线在点处的切线方程
(2)讨论的单调性
例6-2已知函数.
(1)讨论的单调性；
【变式训练6-1】已知
(1)若 求在处的切线的斜率;
(2)讨论的单调性;
【变式训练6-2·变载体】设函数.
求的单调区间;
题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
例7-1（已知函数
(1)若，求的最小值
(2)讨论的单调性；
例7-2（2025·新疆·模拟预测）已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
【变式训练7-1】已知函数．
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【变式训练7-2】（2025·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
【变式训练7-3·变载体】（2025·江西·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
例8-1已知函数．
(1)当时，求的解集；
(2)当时，求的单调区间．
例8-2已知函数．讨论的单调性.
【变式训练8-1】（2025·贵州黔东南·三模）设函数．
(1)若，试求函数的极值；
(2)设，讨论的单调性．
【变式训练8-2·变载体】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设的两个极值点为．当且时，求的取值范围.
【变式训练8-3】已知函数，定义域为．
讨论的单调性．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
1.(人教A版选择性必修第二册练习)判断下列函数的单调性，并求出单调区间
（1） （2）
2.(人教A版选择性必修第二册练习)证明函数在区间内单调递减。
3(人教A版选择性必修第二册 例4)设，，两个函数的图象如图所示.判断,的 图 象 与, 之间的对应关系 .
4.(人教A版选择性必修第二册 练习第2题)证明不等式：，。
5.(人教A版选择性必修第二册 练习第1题)利用函数的单调性，证明不等式：，
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 导数与函数的单调性
目录
01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 2
03核心突破·靶向攻坚 2
知能解码 3
知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减） 3
知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间 4
知识点3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 5
知识点4 含参问题讨论单调性 5
题型破译 6
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参） 6
【方法技巧】求单调区间步骤
题型2 已知函数在区间上单调 8
【方法技巧】已知函数在区间上单调等价条件
题型3 已知函数在区间上存在单调区间 9
【方法技巧】已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
题型4 已知函数在区间上不单调 12
【方法技巧】已知函数在区间上不单调 等价条件
题型5 导函数与原函数图象的单调性 13
【方法技巧】导函数与原函数关系
题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型）） 17
题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ） 18
题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ） 21
04真题溯源·考向感知 25
05课本典例·高考素材 28
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关系 （3）含参数单调性讨论 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T18（2）（i）（5分） 全国甲卷（理）T20（1）（5分） 北京卷T20（1）（4分） 全国乙卷（文）T20（2）（7分） 全国甲卷（文）T20（1）（5分） 全国 I卷T19（1）（5分） 全国 II卷T6（5分） 北京卷T20（2）（5分）
考情分析：高考对函数单调性的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．
复习目标： （1）结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系． （2）能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）． （3）分类讨论求函数单调区间，讨论时不重复，不遗漏
知识点1 函数的单调性与导数的关系（导函数看正负，原函数看增减）
条件 恒有 结论
函数在区间上可导 在内单调递增
在内单调递减
在内是常数函数
自主检测已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）

B．
C． D．
【答案】A
【详解】由图可知在上单调递减，在上单调递增，
则的切线斜率在上递减，在上递增，选项A符合题意；
选项B，的切线斜率在上递增，在上递减，不符合题意；
选项C，的切线斜率在上递减，不符合题意；
选项D，的切线斜率在上递增，不符合题意.
故选：A．
知识点2 求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
自主检测（2025·甘肃平凉·模拟预测）函数的单调递减区间是 .
【答案】（写成，，，同样给分）
【详解】因为，，
令，得，解得，
所以的单调递减区间是.
故答案为：
知识点3 由函数的单调性求参数的取值范围的方法
（1）已知函数在区间上单调
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
（2）已知函数在区间上存在单调区间
①已知在区间上存在单调增区间令，
解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，
解不等式，求单调减区间，则
（3）已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
自主检测已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递减，
所以，即，则在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，故.
故选：A.
知识点4 含参问题讨论单调性
第一步：求的定义域
第二步：求（导函数中有分母通分）
第三步：确定导函数有效部分，记为
对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负.
第四步：确定导函数有效部分的类型：
①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型）
第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性
自主检测（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，求导得：，
则，，
则在处的切线方程：，即；
（2）由求导得：，
①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
②当时，由，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
所以在有最小值，为,无最大值.
题型1 利用导数求函数的单调区间（不含参）
例1-1函数的单调递增区间为 .
【答案】
【详解】由题设，令，即的单调递增区间为.
故答案为：
例1-2函数的递增区间是 ；递减区间 ．
【答案】
【详解】函数的定义域为，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增.
所以函数的递增区间是；递减区间．
故答案为：；
方法技巧 求单调区间步骤
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
【变式训练1-1】函数的单调递增区间为 ．
【答案】
【详解】因为，
因为，由可得：，
即 （舍去）或.
所以函数的单调递增区间为：.
故答案为：
【变式训练1-2】函数的单调递增区间是 ；单调递减区间是 ．
【答案】
【详解】函数的定义域为，又，
令，得．当时，；当时，．
的单调递减区间为，单调递增区间为．
故答案为：；
【变式训练1-3】函数的单调递增区间为 .
【答案】和
【详解】，令
解得或从而的单调递增区间为和
故答案为：和
题型2 已知函数在区间上单调
例2-1已知关于x的函数在区间上单调递减，则t的取值范围是 ．
【答案】
【精细解析】因为，所以，
因为函数在区间上单调递减，
所以在上恒成立，
所以，解得或，
所以t的取值范围是．
故答案为：.
例2-2（2025·江苏·一模）若在上单调递减，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【详解】因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，令，
则，
当且仅当，即时等号成立，所以，
即实数的取值范围为.
故答案为：.
方法技巧 已知函数在区间上单调等价条件
①已知在区间上单调递增，恒成立.
②已知在区间上单调递减，恒成立.
注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号.
【变式训练2-1】（2025·山西·模拟预测）若函数在区间单调递增，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】，
令，则当时，，
又因为，
当且仅当时等号成立，且当时，不恒为0，
故的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练2-2】已知函数在上单调递增，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】由函数，可得，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以，解得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
【变式训练2-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题可知，在上恒成立，
即恒成立，
令，则，所以函数在上单调递增
所以，解得，则实数的取值范围是.
故答案为：.
题型3 已知函数在区间上存在单调区间
例3-1已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为函数在上存在单调递增区间，
所以在上有解，且，
所以，，
令，则，
当时，，则函数单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是.
故选：A
例3-2（2025·山东威海·三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】求导可得，
由题意有解，
即有解，
即有解，
令，
因为，易知在单调递增，
此时，所以，
又，，
所以，解得：，
所以的取值范围是.
故选：B.
方法技巧 已知函数在区间上存在单调区间 等价条件
①已知在区间上存在单调增区间令，解不等式，求单调增区间，则
②已知在区间上存在单调减区间令，解不等式，求单调减区间，则
【变式训练3-1】若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由已知可得定义域为，
当时，解可得，不满足定义域；
当时，令，
要使函数在区间内存在单调递减区间，
只需满足或.
由可得，，此时有；
由可得，，此时有.
所以，.
综上所述，.
故选：A.
【变式训练3-2】（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【详解】，
因为函数在区间内存在单调递增区间，
所以在内有解，所以有解，
由于，所以，故，
则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意．
故选：CD.
【变式训练3-3】若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为 .
【答案】
【详解】依题意，在区间上有解，
即在区间上有解，
设，则，故只需求在上的最小值，
而，当时，取得最小值，故得，
则实数的取值范围为.
故答案为：
题型4 已知函数在区间上不单调
例4-1已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数在区间上不单调，
则在区间上有零点，
所以，得（舍），
故，使得函数在上递减，在上递增，
所以实数a的取值范围为.
故选：B.
例4-2已知函数 在上不单调，则t的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意可知：的定义域为，且，
令，解得或；令，解得；
可知在，上单调递增，上单调递减，
若在上不单调，
则或，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：．
方法技巧 已知函数在区间上不单调 等价条件
已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点）
【变式训练4-1】若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】函数，其定义域为，
对求导得，
令，可得.
当时，，单调递减；
当时，，，单调递增.
因为函数在区间上不单调，所以，
所以的取值范围是，
故选：B.
【变式训练4-2】若函数在上不单调，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】已知，其定义域为.
对求导可得：.
令，即，因为，所以，则，解得.
当时，，，，所以，函数在上单调递减；
当时，，，，所以，函数在上单调递增.
因为函数在上不单调，所以.
故实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式训练4-3】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】∵，∴.
当时，，∴函数在上单调递增，不符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
∵函数在上不单调，∴，解得.
故答案为：.
题型5 导函数与原函数图象的单调性
例5-1已知下列四个图象之一是函数在某区间的图象，且的导函数在该区间的图象如图所示，则在该区间的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】不妨设在区间（，可为，也可为）内的图象，
由的图象可知，当或时，当时，
所以在，上单调递增，在上单调递减，故排除C、D；
又在上单调递减，则在上切线的斜率逐渐减小，
且由的图象可知当时趋近于一个常数（正数），
所以的切线斜率不趋近于，故排除A.
故选：B
例5-2（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ）
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增
【答案】BC
【详解】由图知，在区间上，在区间上，
所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增.
故选：BC
方法技巧 导函数与原函数关系
原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数单调递增导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）；原函数单调递减导函数（导函数等于0，只在离散点成立，其余点满足）．
【变式训练5-1】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D；
当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0，
再小于0，最后大于0，排除B.
故选:A.
【变式训练5-2】设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由的图象可知，当时， ，则单调递增；
当时， ，单调递减；当， ，单调递增；
满足该函数单调性的，只有选项D对应的图象.
故选：D.
【变式训练5-3】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由的图象知，当时，，
所以的图象在上单调递增，
且在区间上增长的速度越来越快，
在区间上增长的速度越来越慢.
对于A，函数在区间上增长的速度越来越慢，
在区间上增长的速度越来越快，故A不可能；
对于B，函数在区间上增长的速度越来越快，
在区间上增长的速度越来越慢，故B可能；
对于C，函数在区间上增长的速度越来越快，故C不可能；
对于D，函数在区间上增长的速度越来越慢，故D不可能.
故选：ACD．
题型6含参问题讨论单调性（导函数有效部分是一次型（或可视为一次型））
例6-1
(1)，求曲线在点处的切线方程
(2)讨论的单调性
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，，求导得，则，而，
所以所求切线方程为：，即．
（2）函数的定义域为R，求导得，
当时，恒成立，函数在R上单调递减；
当时，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数在R上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
例6-2已知函数.
(1)讨论的单调性；
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）由题意可知，则，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，由解得，由解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，在上单调递减.
【变式训练6-1】已知
(1)若 求在处的切线的斜率;
(2)讨论的单调性;
【答案】(1)
(2)答案见详解
【详解】（1）当时，，则，
所以所求切线的斜率为.
（2）由，，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，
由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减.
【变式训练6-2·变载体】设函数.
(1)求的单调区间;
【答案】(1)答案见解析；
【详解】（1）由题设，
当时，恒成立，故的增区间为，无减区间；
当时，令，得，故上，上，
所以的减区间为，增区间为.
题型7含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型 ）
例7-1（已知函数
(1)若，求的最小值
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）时， ，，
令得或（舍），
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以的最小值为.
（2） ，
当时，时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
当时，，且不恒为0，在定义域内单调递增；
当时，时，，单调递增；
时，，单调递减；时，，单调递增；
综上，时，时，单调递减，时，单调递增；
时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增；
时，在定义域内单调递增；
时，时，单调递增，时，单调递减，时，单调递增.
例7-2（2025·新疆·模拟预测）已知函数．
(1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；
(2)讨论函数的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1），
因为函数的图象在点处的切线与直线垂直，
所以，解得．
（2）当时，令，得，当时，，在单调递减，时，，在单调递增；
当时，令，得，，
当时，，，
所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
当时，恒成立，所以在单调递减；
当时，，，所以当，或时，，在，单调递减，
当时，，在单调递增；
综上所述，时，在单调递减，在单调递增；
当时，在，单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在，单调递减，在单调递增．
【变式训练7-1】已知函数．
(1)设，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)见解析
【详解】（1）因为，所以函数.
对函数求导得：.
因为点在曲线上，所以曲线在点处的切线斜率为-1，
故曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）因为，所以.
令，则.
当时，或时，;时，.
此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当时，或时，;时，.
此时，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
当时，，此时函数在上单调递增.
综上所述，当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是；
当时，函数在上单调递增.
【变式训练7-2】（2025·河南·二模）已知函数.
(1)讨论的单调性.
【答案】(1)答案见解析
【详解】（1）的定义域为，且，
①当时，由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
②当时，恒成立，故函数在上单调递增；
③当时，由，得，由，得或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增；
④当时，由，得，由，得或，
所以函数在上单调递减，在，上单调递增；
综上：当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增；
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在，上单调递增.
【变式训练7-3·变载体】（2025·江西·二模）已知函数.
(1)当时，求函数的图象在处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，
所以函数的图象在处的切线方程为.
（2），
当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增；
当时，由，得或，
当即时，在上单调递增，
当时，时，在上单调递减，
和时，在单调递增；
当时，时，在上单调递减，
和时，在上单调递增.
综上可得，时，在单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
题型8含参问题讨论单调性（导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型 ）
例8-1已知函数．
(1)当时，求的解集；
(2)当时，求的单调区间．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【详解】（1）当时，，，
所以在上单调递减，又，
则当时，；当时，，
故的解集为．
（2），（）
设，（）的对称轴，，
当，有，则，在单调递减．
当，则有两个不等正根，，
所以、上，上，
在、上单调递减，在上单调递增；
当，则有一个正根，即上，上，
在上单调递增，在上单调递减．
综上：
当，的单调减区间为，无单调递增区间；
当，的单调减区间为、，单调递增区间为；
当，的单调递增区间为，单调减区间为．
例8-2已知函数．讨论的单调性.
【答案】答案见解析
【详解】，则，
令，，则，
因，故，
当，即时，，则在上单调递减；
当时，令，，，，，，
在和单调递减，在单调递增;
当时，，，则在上单调递增，在单调递减;
综上所述，当时，则在上单调递减，
当时，在和单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减.
【变式训练8-1】（2025·贵州黔东南·三模）设函数．
(1)若，试求函数的极值；
(2)设，讨论的单调性．
【答案】(1)的极大值为，无极小值
(2)当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
所以，令有，
由有，有，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，无极小值；
（2）由，
所以的定义域为，
所以，令，
当时，，，所以在单调递减；
当时，令有，，
所以，
所以由有，，有，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
综上有：当时，的单调减区间为，无增区间；
当时，的单调增区间为，单调减区间为.
【变式训练8-2·变载体】（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设的两个极值点为．当且时，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1），则，
令，，则，
因，故，
当，即时，，则在上单调递减;
当时，令，，，，，，
在和单调递减，在单调递增;
当时，，，则在上单调递增，在单调递减;
综上所述，当时，则在上单调递减，
当时，在和单调递减，在单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减.
（2）由（1）可知，， 因为要有两个极值点，则，
由
，
又因为，而，
由，即，
则根据对钩函数在区间上递增，则有，
所以有，解得.
则令，，则，
则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
则，，，
又因为，
所以，即的取值范围是.
【变式训练8-3】已知函数，定义域为．
(1)讨论的单调性．
【答案】(1)当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减
【详解】（1）因为，
所以，
设，，
(i)时，则，
所以在上递增；
(ii)或，，
当时，，，
方程的两根都为正，
令可得：，令可得：，
所以在上递增，在上递减；
当时，，，
方程的两根都为负，
令可得：，所以在上递增，
综上：当时，在上递增；
当时，在上递增，在上递减；
1．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)求的单调区间；
【答案】(1)见解析
【详解】（1）定义域为，
当时，，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
当时，，单调递减.
综上所述，当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程．
(2)若函数在单调递增，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
所以函数在处的切线方程为，即.
（2）由函数的解析式可得，
满足题意时在区间上恒成立.
令，则，
令，原问题等价于在区间上恒成立，
则，
当时，由于，故，在区间上单调递减，
此时，不合题意;
令，则，
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
即在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，满足题意.
当时，由可得，
当时，在区间上单调递减，即单调递减，
注意到，故当时，，单调递减，
由于，故当时，，不合题意.
综上可知：实数得取值范围是.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
【答案】(1)在上单调递减
【详解】（1）因为，所以，
则
，
令，由于，所以，
所以 ，
因为，，，
所以在上恒成立，
所以在上单调递减.
1.(人教A版选择性必修第二册练习)判断下列函数的单调性，并求出单调区间
（1） （2）
【详解】（1）因为，定义域为，所以，令，解得或，则令得，由得或，所以函数单调递减区间为，单调递增区间为
（2）因为定义域为，所以，令，解得或，，则由得或由得，所以函数的单调递减区间为，单调递减区间为
2.(人教A版选择性必修第二册练习)证明函数在区间内单调递减。
证明：，则当时，可得，所以函数在区间内单调递减。
3.(人教A版选择性必修第二册 例4)设，，两个函数的图象如图所示.判断,的 图 象 与, 之间的对应关系 .
【详解】因为，所以
，
当时，
当，
当，
所以，，在上都是增函数，在区间内，的图象要比图象“陡峭”；在区间上，的图象要比图象“平缓”；
所以，对应，。
4.(人教A版选择性必修第二册 练习第2题)证明不等式：，。
【详解】证明，构造，求导.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增。所以在处取得最小值，，所以，即
5.(人教A版选择性必修第二册 练习第1题)利用函数的单调性，证明不等式：，
【详解】证明，构造，则，所以在上单调递增，所以，即。
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