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第02讲 等差数列及其前n项和
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 等差数列的概念 4
知识点2 等差数列的有关公式 4
知识点3 等差数列的常用性质 5
知识点4 等差数列与函数的关系 5
题型破译 6
题型1 等差数列基本量计数 6
【方法技巧】等差数列基本量计算方法
题型2 等差数列判断与证明 7
【方法技巧】判断证明等差数列的方法
题型3 等差数列角标和性质 9
【方法技巧】等差中项角标和性质
题型4 等差数列前n项和性质 11
【方法技巧】等差数列前n项和性质
题型5 等差数列前n项和最值 12
【方法技巧】等差数列前n项和最值方法
题型6 等差数列实际应用 15
题型7 等差数列奇偶项问题 17
题型8 含绝对值等差数列前n项和 19
【方法技巧】含绝对值等差数列前n项和求和步骤
题型9 等差数列单调性 22
04真题溯源·考向感知 24
05课本典例·高考素材 27
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等差数列的概念 （2）等差数列的通项公式与求和 （3）等差数列的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T7，（5分） 全国一卷T16（1），（5分） 北京卷T5，（4分） 天津卷T19（1），（5分） 上海卷T3，（4分） 全国甲卷（文）T5，（5分） 全国甲卷（理）T4，（5分） 全国II卷T12，（5分） 全国乙卷（文）T18（1），（5分） 全国甲卷（文）T5，（5分） 全国I卷T7，（5分） 全国I卷T20，（12分） 北京卷T14，（5分） 天津卷T19（1），（5分）
考情分析： （1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算． （2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
复习目标： （1）理解等差数列的概念． （2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． （4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识点1 等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．
(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）
②等差中项法：
自主检测是首项，公差的等差数列，如果，那么序号（ ）
A．1009 B．1012 C．1008 D．1010
【答案】A
【详解】由题意，
由可得.
故选：A
知识点2 等差数列的有关公式
(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
(2)等差数列的前项和公式(其中)．
自主检测设等差数列的前项和为，若，，则 .
【答案】
【详解】利用等差数列中的等差中项性质可知：，
由等差数列的通项公式可得：，
所以，
则，
故答案为：
知识点3 等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
自主检测已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．16 B．18 C．24 D．26
【答案】B
【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列，
即，即，解得.
故选：B.
知识点4 等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．
(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
自主检测等差数列中，若，则通项 .
【答案】
【详解】当时，，
当时，，
所以，
又，满足上式，所以，
故答案为：
题型1 等差数列基本量计数
例1-1设等差数列的前n项和为．若，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，则，解得，
所以．
故选：B
例1-2已知等差数列的前项和为，且，，若，则 .
【答案】9
【详解】设等差数列的公差为，由，得，
故，由，得.
故答案为：9
方法技巧 等差数列基本量计算方法
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练1-1】已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为d，
则由题，即或（舍去），
所以.
故选：B
【变式训练1-2】在等差数列中，，则（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4045
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，
由可得，故，
则，
故选：D
【变式训练1-3】已知等差数列的前n项和为，，则公差 .
【答案】2
【详解】由题意可得，解得.
故答案为：.
题型2 等差数列判断与证明
例2-1在数列中，，点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，点在直线上，
则，即，
可知数列是以首项为1，公差为2的等差数列，
所以.
故选：C.
例2-2已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
【答案】(1)证明见解析
(2)
（2）根据等差数列的通项即可求解.
【详解】（1）为常数，
所以为公差为的等差数列，
（2）由于为公差为的等差数列，且首项为，
所以，所以
方法技巧 判断证明等差数列方法
判断数列是等差数列的常用方法（定义法和等差中项法可用于证明）
（1）定义法：对任意是周一常数．
（2）等差中项法：对任意，湍足．
（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．
（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．
【变式训练2-1】已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【详解】由可知，数列是等差数列，公差，
由，解得．
则
故当取得最小值时，的值是6．
故选：A．
【变式训练2-2】已知数列满足，（），令.
(1)求的值；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
【详解】（1）因为，且，
当时，，
当时，.
（2）因为，
所以，
两边同时取倒数有：，
令，有，，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，所以.
【变式训练2-3】数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）数列满足
所以，
（2）∵
∴为等差数列.
题型3 等差数列角标和性质
例3-1（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】A
【详解】由，得，所以．
由已知，得，则，
当且仅当时等号成立．
故选：A
例3-2（2025·四川眉山·模拟预测）已知等差数列满足，且前项和，则 .
【答案】10
【详解】因为，所以，解得或2，
又前项和，
所以不能等于0，只能等于2，
所以，解得.
故答案为：10.
方法技巧 等差中项角标和性质
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值．
【变式训练3-1】（2025·辽宁·二模）已知等差数列满足，，则（ ）
A．1 B． C．4 D．8
【答案】C
【详解】因为数列为等差数列，且，，
所以，，解得，，所以．
故选：C．
【变式训练3-2】记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题知．
故选：A．
【变式训练3-3】（2025·安徽·三模）已知等差数列的前n项和为，，若，，则 ．
【答案】30
【详解】解析 由等差数列的性质可得，再由，，
可得，所以，则，解得．
故答案为：30.
题型4 等差数列前n项和性质
例4-1已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【详解】由题意设，则，
由是等差数列，所以也成等差数列，
所以，解得；
，解得，
所以，
故选：C.
例4-2等差数列，的前项和分别为与，且，则 ．
【答案】
【详解】数列，均为等差数列，．
，，
根据等差数列前项和，可设，
，
对于数列，当时，，
当时，，
显然当时，也满足，故，
同理可得，
故．
故答案为：．
方法技巧 等差数列前n项和性质
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【变式训练4-1】已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【详解】等差数列的前项和为，则也是等差数列，
即成等差数列，即.
解得
故选：C.
【变式训练4-2】设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 .
【答案】
【详解】因为数列是等差数列，所以仍然是等差数列，
所以也是等差数列，
因为，，
则构成等差数列，
所以，
解得：，
所以，
所以，即
故答案为：
【变式训练4-3】已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 .
【答案】
【详解】因数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，
由，可设，，
则，
.
故答案为：.
题型5 等差数列前n项和最值
例5-1（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】假设等差数列的公差为，由得,
所以，所以，故，
则
则．
故选：C．
例5-2已知数列的前项和为，若.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并求的最大值.
【答案】(1)
(2)，
【详解】（1），故，
由，得，
两式相减并整理得，
所以为等比数列，公比为2，首项，
所以数列的通项公式为.
（2），
所以为等差数列，首项为12，公差为.
所以.
由 .
所以当或时，取得最大值.
且 .
所以当或5时，取得最大值30.
方法技巧 等差数列前n项和最值方法
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
【变式训练5-1】已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，即中最小的项是，
故选：C.
【变式训练5-2】已知是等差数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式.
(2)判断是否为等差数列.
(3)为何值时，取得最大值并求其最大值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)为4时，取得最大值，最大值28．
【详解】（1）由题意可知：，当时，，
当时，，
当时，显然成立，∴数列的通项公式；
（2）因为，所以，
所以是以为公差的等差数列；
（3），
由，则时，取得最大值28，
∴当为4时，取得最大值，最大值28．
【变式训练5-3】设为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值及此时的值．
【答案】(1)
(2)，的最大值，此时
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，．
所以，解得，
所以的通项公式是．
（2）

当且仅当时，的最大值为16．
题型6 等差数列实际应用
例6-1“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
【答案】C
【详解】二二数之剩一、三三数之剩一的数分别为、，，
因此数列的项即为以上两类数的公共项，即，，
而，则数列是等差数列，
于是，，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取得最小值38.
故选：C
例6-2专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）
A．25台 B．24台 C．23台 D．22台
【答案】B
【详解】设至少需要台抽水机，记一台抽水机20min完成的任务为单位1，这台抽水机完成的任务依次为，（）
依题意，，是公差为的等差数列，
，
要完成所有任务，则，
，
记，在上是减函数，
，，
所以时，，
所以最小值需要24台抽水机，
故选：B．
【变式训练6-1】鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为 公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】B
【详解】已知每层与其外一层球面的间距构成首项、公差的等差数列.设该鬼工球的层数为，
由于最外层与最内层的半径之差就是这个等差数列的前项和，即.
根据等差数列前项和公式，
将，，代入可得： ，即
得到，（因为层数为正整数，所以舍去）.
该鬼工球的层数为10.
故选：B.
【变式训练6-2】生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日．
【答案】 25 8或13
【详解】对于空①，连续打卡5天的总积分
连续打卡的积分规律为：第1天得1分，第2天得3分，第3天得5分，依此类推.
这实际上是一个首项为1、公差为2的等差数列.
前5天的总积分为：
对于空②，确定未打卡的日期
若他连续打卡，则从打卡第1天开始，逐日所得积分依次成等差数列，
且首项为1，公差为2，第天所得积分为．
假设他连续打卡天，第天中断了，则他所得积分之和为：
，化简得，
解得或12，所以他未打卡的那天是3月8日或3月13日．
故答案为：25；8或13
题型7 等差数列奇偶项问题
例7-1等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】在等差数列中，设，
依题意，，解得，
而，，
所以.
故选：D
例7-2已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【答案】
【详解】设等差数列的项数为，
则，
，
，解得：，即等差数列的项数为；
项的数列的中间项为第项，即，
由得：，解得：，即中间项为.
故答案为：；.
【变式训练7-1】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】项数为的中奇数项共有项,
其和为
项数为的中偶数项共有项, 其和为
所以解得
故选: A.
【变式训练7-2】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知：
数列的奇数项之和为，①
偶数项之和为，②
由②-①，得，所以，即该数列的公差为.
故选：D.
【变式训练7-3】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设等差数列的公差为，首项为，
则，所以，
因为，即，则，
等差数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，等差数列的前30项中奇数项有15项，所以，得，
所以.
故选：B
题型8 含绝对值等差数列前n项和
例8-1已知是数列的前项和，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）解：由数列满足，当时，可得，
两式相减，可得，即，即，
当时，，即，解得，
所以数列是首项为，公比的等比数列.
（2）解：由（1）可得数列的通项公式为，
则，
令，可得数列的前项和为，
当时，可得；
当时，可得
，
所以数列的前项和.
例8-2已知数列 满足
(1)求数列的通项公式
(2)若数列 满足 ，求数列的前 项和
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，
故当时，，
，
，
…….
，
累加后可得，
所以，
当时，代入成立，
所以数列的通项公式为.
（2），
当时，，
此时
；
当时，，
，
综上
方法技巧 含绝对值等差数列前n项和求解步骤
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
【变式训练8-1】已知数列为等差数列，首项，公差．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值．
(3)若，求数列的前项和；
【答案】(1)证明见详解
(2)13
(3)
【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，
所以.
对于，且，
所以是等比数列.
（2）由（1）可知：，
可得，
令，解得，
所以满足的的最小值为13.
（3）由（1）可知：，
则，可知数列为等差数列，
设数列的前n项和为，则，
令，解得，
当时，，则；
当时，，则
；
综上所述：.
【变式训练8-2】等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)求数列的前16项的和.
【答案】(1)
(2)
(3)160
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
由题可得：，
解得，
（2）由（1）知，，
所以，
（3）由，
所以均为负数，且从开始，后面每一项均为正数，
【变式训练8-3】已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.
(1)求及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
【答案】(1)，；
(2)
【详解】（1），，
故，即，
的各项均不为零，故，
所以为等差数列，且公差大于0，
中，令得，
又，故，
中，令得，
其中，，故，
即，解得或0（舍去），
故；
（2），
故当时，，当时，，
设的前项和为，
当时，，
当时，，
综上，.
题型9 等差数列单调性
例9-1（多选） 设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，最大 D．
【答案】ABD
【详解】在等差数列中，由，可得异号，
若，由，则，不满足题意，则，故A正确；
由于，则数列为递减数列，所以，故B正确；
由于时，；时，，
所以时，最大，故C错误；
又，
，故D正确.
故选：ABD.
例9-2已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项．
【答案】10
【详解】由题意得：，∴，
，∴，，
∴，故等差数列{}为递减数列，即公差为负数，
因此的前9项依次递减，从第10项开始依次递增，
由于，∴{||}最小的项是第10项，
故答案为：10
【变式训练9-1】（多选） 已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
【答案】AC
【详解】设等差数列的公差为d，
由于，，故，
则，B错误；
，则数列为递减数列，A正确，
由以上分析可知，时，，
故的最大值为，C正确；
，D错误，
故选：AC
【变式训练9-2】（多选） 等差数列的前n项和为，若，，，则（ ）
A． B．数列是递减数列 C． D．
【答案】ABD
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，由，得，等差数列的公差，
数列是递减数列，B正确；
对于C，等差数列的前8项都为正，第9项为0，则，C错误；
对于D，，D正确.
故选：ABD
【变式训练9-3】已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：
①数列是递减数列；
②数列是递减数列；
③数列的最大项是；
④数列的最小的正数是．
其中正确的序号是 ．
【答案】①③④
【详解】解：等差数列的前项和能取到最大值，
数列是递减数列，且，故①正确；
，
，数列先增后减，故②错误；
由，，得，，
数列的最大项是，故③正确；
由，，得数列的最小的正数是，故④正确．
正确的序号是①③④．
故答案为：①③④．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【详解】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】方法一：利用等差数列的基本量
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选：D
方法二：利用等差数列的性质
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选：D
方法三：特殊值法
不妨取等差数列公差，则，则.
故选：D
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
【答案】95
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
故答案为：.
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），，解得，
，
又，
，
即，解得或（舍去），
.
（2）为等差数列，
，即，
，即，解得或，
，，
又，由等差数列性质知，，即，
，即，解得或（舍去）
当时，，解得，与矛盾，无解；
当时，，解得.
综上，.
1．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第2题)已知为等差数列，，求；
【答案】①；②．
【详解】①由，得，，
所以，，所以，所以.
2．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第3题)（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）180，98550；（4）14，665.
【详解】（1）通项公式为，所以，
（2）通项公式为，所以，
（3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995，
所以，
故和为，
（4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小于100的正整数中共有14个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7，
所以.
3．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第4题)1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．
【答案】2061年
【详解】根据历史记载，哈雷彗星在1607年及以后的回归时间表为：
次数 1 2 3 4 5 7
年份 1607 1682 1759 1835 1910 1986
预测它在本世纪回归的年份为2061年.
4．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第9题)一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？
【答案】（1）小时； （2） .
【详解】（1）第一辆车出发事件为14时，每辆车的间隔时间为，即为小时，
则第15辆车在小时后，最后一辆车出发的时间为，
所以第15辆车行驶的时间为小时，即1小时40分钟.
（2）设每辆车行驶的时间构成数列，
由题意可得构成首项为，公差为的等差数列，
则15辆车行驶的时间的和为小时，
所以行驶的总里程为.
5．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第11题)虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只鹿甲虫连续爬行时爬行的距离．
时间/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距离/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行能爬多远（精确到）？它连续爬行需要多长时间（精确到）？
【答案】（1）； （2）；.
【详解】（1）设虎甲虫爬行的距离构成数列，
可得
其中，，
， ，
可得每一项与前一项的差都是近似为，所以构成一个首项为，公差的等差数列，
所以虎甲虫爬行的距离与时间之间的关系是为.
（2）由（1）知，
因为，所以 ，
令，可得，
即虎甲虫连续爬行能爬米，连续爬行需要.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 等差数列及其前n项和
目录
01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 等差数列的概念 4
知识点2 等差数列的有关公式 4
知识点3 等差数列的常用性质 4
知识点4 等差数列与函数的关系 5
题型破译 5
题型1 等差数列基本量计数 5
【方法技巧】等差数列基本量计算方法
题型2 等差数列判断与证明 6
【方法技巧】判断证明等差数列的方法
题型3 等差数列角标和性质 7
【方法技巧】等差中项角标和性质
题型4 等差数列前n项和性质 8
【方法技巧】等差数列前n项和性质
题型5 等差数列前n项和最值 8
【方法技巧】等差数列前n项和最值方法
题型6 等差数列实际应用 10
题型7 等差数列奇偶项问题 11
题型8 含绝对值等差数列前n项和 11
【方法技巧】含绝对值等差数列前n项和求和步骤
题型9 等差数列单调性 13
04真题溯源·考向感知 13
05课本典例·高考素材 14
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等差数列的概念 （2）等差数列的通项公式与求和 （3）等差数列的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T7，（5分） 全国一卷T16（1），（5分） 北京卷T5，（4分） 天津卷T19（1），（5分） 上海卷T3，（4分） 全国甲卷（文）T5，（5分） 全国甲卷（理）T4，（5分） 全国II卷T12，（5分） 全国乙卷（文）T18（1），（5分） 全国甲卷（文）T5，（5分） 全国I卷T7，（5分） 全国I卷T20，（12分） 北京卷T14，（5分） 天津卷T19（1），（5分）
考情分析： （1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算． （2）解答题多与等比数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
复习目标： （1）理解等差数列的概念． （2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式． （3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． （4）了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．
知识点1 等差数列的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示．数学语言表示为()(或者），为常数．
(2)等差中项：若，，成等差数列，则叫做和的等差中项，且.
注：证明一个数列是等差数列可以使用①定义法：()(或者）
②等差中项法：
自主检测是首项，公差的等差数列，如果，那么序号（ ）
A．1009 B．1012 C．1008 D．1010
知识点2 等差数列的有关公式
(1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为，可推广为(*)．
(2)等差数列的前项和公式(其中)．
自主检测设等差数列的前项和为，若，，则 .
知识点3 等差数列的常用性质
已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．
(1)等差数列中，当时， ()．
特别地，若，则()．
(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．
(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.
(4)，，…也成等差数列，公差为.
（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则
自主检测已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．16 B．18 C．24 D．26
知识点4 等差数列与函数的关系
(1)等差数列与一次函数的关系
可化为的形式．当时，是关于的一次函数；当时，数列为递增数列；当时，数列为递减数列．
(2)等差数列前项和公式可变形为.当时，它是关于的二次函数，表示为(，为常数)．
自主检测等差数列中，若，则通项 .
题型1 等差数列基本量计数
例1-1设等差数列的前n项和为．若，，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
例1-2已知等差数列的前项和为，且，，若，则 .
方法技巧 等差数列基本量计算方法
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差或项数．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项．和是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前项和．利用等差数列的前项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【变式训练1-1】已知等差数列的首项为2，公差不为0，且成等比数列，则等于（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-2】在等差数列中，，则（ ）
A．2022 B．2023 C．4044 D．4045
【变式训练1-3】已知等差数列的前n项和为，，则公差 .
题型2 等差数列判断与证明
例2-1在数列中，，点在直线上，则（ ）
A． B． C． D．
例2-2已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.
方法技巧 判断证明等差数列方法
判断数列是等差数列的常用方法（定义法和等差中项法可用于证明）
（1）定义法：对任意是周一常数．
（2）等差中项法：对任意，湍足．
（3）通项公式法：对任意，都满足为常数）．
（4）前项和公式法：对任意，都湍足为常数）．
【变式训练2-1】已知数列的前项和为，且，则当取得最小值时，的值是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式训练2-2】已知数列满足，（），令.
(1)求的值；
(2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式.
【变式训练2-3】数列满足.
(1)求的值；
(2)设，证明是等差数列.
题型3 等差数列角标和性质
例3-1（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知各项为正的等差数列的前项和为，且，则的最大值为（ ）
A． B．4 C．5 D．
例3-2（2025·四川眉山·模拟预测）已知等差数列满足，且前项和，则 .
方法技巧 等差中项角标和性质
如果为等差数列，当时，．因此，出现等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与（或其他项）有关的条件；若求项，可由转化为求的值．
【变式训练3-1】（2025·辽宁·二模）已知等差数列满足，，则（ ）
A．1 B． C．4 D．8
【变式训练3-2】记等差数列的前项和为.若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（2025·安徽·三模）已知等差数列的前n项和为，，若，，则 ．
题型4 等差数列前n项和性质
例4-1已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B．3 C． D．
例4-2等差数列，的前项和分别为与，且，则 ．
方法技巧 等差数列前n项和性质
在等差数列中，，…仍成等差数列；也成等差数列．
【变式训练4-1】已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【变式训练4-2】设 是等差数列{}的前n项的和，若 则 .
【变式训练4-3】已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 .
题型5 等差数列前n项和最值
例5-1（2025·广西南宁·三模）设等差数列的前n项和为，若，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知数列的前项和为，若.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和，并求的最大值.
方法技巧 等差数列前n项和最值方法
求等差数列前项和最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前项和的函数表达式，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若，则满足的项数使得取得最大值；
②若，则满足的项数使得取得最小值．
【变式训练5-1】已知数列是等差数列，其前n项和为，若，，则数列中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练5-2】已知是等差数列的前n项和，且
(1)求数列的通项公式.
(2)判断是否为等差数列.
(3)为何值时，取得最大值并求其最大值．
【变式训练5-3】设为等差数列的前项和，已知，．
(1)求的通项公式；
(2)求，并求的最大值及此时的值．
题型6 等差数列实际应用
例6-1“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，七七数之剩二(除以7余2)，问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数满足二二数之剩一，三三数之剩一，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前n项和为，则的最小值为（ ）
A．26 B．36 C．38 D．46
例6-2专家表示，海水倒灌原因是太阳、月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的涨水现象赶上潮汐高潮的时候，这个时候水位就会异常的高.某地发生海水倒灌，未来24h需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算，需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作24h.而目前只有一台抽水车可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场抽调.若抽调的抽水机每隔20min才有一台到达施工现场投入工作，要在24h内完成排水任务，指挥部至少共需要抽调这种型号的抽水机（ ）
A．25台 B．24台 C．23台 D．22台
【变式训练6-1】鬼工球，又称同心球，要求制作者使用一整块完整的材料，将其雕成每层均同球心的数层可自由转动的空心球，空心球的球面厚度不计.为保证鬼工球的每一层均可以自由转动，要求其从最内层起，每层与其外一层球面的间距构成首项为 公差为的等差数列，若一个鬼工球最外层与最内层的半径之差为，则该鬼工球的层数为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【变式训练6-2】生命在于运动，某健身房为吸引会员来健身，推出打卡送积分活动（积分可兑换礼品），第一天打卡得1积分，以后只要连续打卡，每天所得积分都会比前一天多2积分．若某天未打卡，则当天没有积分，且第二天打卡需从1积分重新开始．某会员参与打卡活动，若连续打卡5天，则共获得积分为 ；若该会员从3月1日开始到3月20日，他共得193积分，中途有一天未打卡，则他未打卡的那天可以是3月 日．
题型7 等差数列奇偶项问题
例7-1等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为11：9，则公差的值分别是（ ）
A． B． C． D．
例7-2已知等差数列的项数为奇数，且奇数项和为，偶数项和为，则数列的中间项为 ；项数为 ．
【变式训练7-1】已知等差数列的项数为其中奇数项之和为 偶数项之和为 则( )
A． B． C． D．
【变式训练7-2】一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式训练7-3】已知等差数列的前30项中奇数项的和为，偶数项的和为，且，，则（ ）
A． B． C． D．
题型8 含绝对值等差数列前n项和
例8-1已知是数列的前项和，且.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
例8-2已知数列 满足
(1)求数列的通项公式
(2)若数列 满足 ，求数列的前 项和
方法技巧 含绝对值等差数列前n项和求解步骤
由正项开始的递减等差数列的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
（2）在对进行讨论，当时，，当时，
【变式训练8-1】已知数列为等差数列，首项，公差．
(1)若，证明：是等比数列；
(2)若，设数列的前项和为，求满足的的最小值．
(3)若，求数列的前项和；
【变式训练8-2】等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和
(3)求数列的前16项的和.
【变式训练8-3】已知数列、的各项均不为零，若是单调递增数列，且，，，.
(1)求及数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
题型9 等差数列单调性
例9-1（多选） 设等差数列的前项和，公差为且，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．时，最大 D．
例9-2已知等差数列{}的前n项和是，，，则数列{||}中值最小的项为第 项．
【变式训练9-1】（多选） 已知是等差数列的前n项和，且，，则（ ）
A．数列为递减数列 B．
C．的最大值为 D．
【变式训练9-2】（多选） 等差数列的前n项和为，若，，，则（ ）
A． B．数列是递减数列 C． D．
【变式训练9-3】已知等差数列的前项和能取到最大值，且满足：，对于以下几个结论：
①数列是递减数列；
②数列是递减数列；
③数列的最大项是；
④数列的最小的正数是．
其中正确的序号是 ．
1．（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 .
5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．
(1)若，求的通项公式；
(2)若为等差数列，且，求．
1．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第2题)已知为等差数列，，求；
2．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第3题)（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和．
（2）求从小到大排列的前n个正奇数的和．
（3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和．
（4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？
3．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第4题)1682年，英国天文学家哈雷发现一颗大星的运行曲线和1531年、1607年的彗星惊人地相似，他大胆断定，这是同一天体的三次出现，并预言它将于76年后再度回归这就是著名的哈雷彗星，它的回归周期大约是76年，请你查找资料，列出哈雷星的回归时间表，并预测它在本世纪回归的年份．
4．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第9题)一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息．
（1）截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？
（2）如果每辆车行驶的速度都是，这个车队当天一共行驶了多少千米？
5．(人教A版选择性必修第二册习题4.2第11题)虎甲虫以爬行速度快闻名，下表记录了一只鹿甲虫连续爬行时爬行的距离．
时间/s 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
距离/m 2.50 5.03 7.55 10.05 12.45 15.01 17.28 19.90 22.48 25.07
（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离和时间之间的关系吗？
（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行能爬多远（精确到）？它连续爬行需要多长时间（精确到）？
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