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第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 单调性 4
知识点2 奇偶性 6
知识点3 周期性 7
知识点4 对称性 8
题型破译 7
题型1 确定函数的单调性及求单调区间 8
题型2 复合函数的单调性 9
题型3 比较大小 10
题型4 利用单调性解函数不等式 10
题型5 利用单调性求参数的取值范围 11
题型6 求最值（值域） 12
题型7 判断函数的奇偶性 13
题型8 根据奇偶求解析式 14
题型9 利用奇偶求函数值或参数 14
题型10 利用奇偶和单调解不等式 15
题型11 函数的周期性 16
题型12 函数的对称性 17
题型13 对称、周期的综合 18
04真题溯源·考向感知 19
05课本典例·高考素材 20
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）根据分段函数的单调性求参数 （2）求函数值 （3）抽象函数的关系 （4）函数奇偶性的定义与判断 （5）函数奇偶性的应用 （6）函数对称性的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第5题，5分 全国二卷，第10题，6分 北京卷，第15题，5分， 天津卷，第3题，5分 新课标I卷，第6题,5分 新课标I卷，第8题,5分 新课标Ⅱ卷，第6题,5分 新课标Ⅱ卷，第11题,6分 天津卷，第4题，5分 上海卷，第4题，4分 新课标全国I卷，第4题,5分 新课标全国I卷，第11题,5分 新课标全国Ⅱ卷，第4题,5分 全国乙卷理，第4题，5分 全国甲卷理，第13题，5分 北京卷，第4题，4分
考情分析： 本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分.
复习目标： 1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法 2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 3.能够利用函数的单调性解决有关问题 4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题 6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
知识点1 单调性
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[
当时，都有，那么就说函数在区间上是 当时，都有，那么就说函数在区间上是
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
设，，
若有或，则在闭区间上是 ；
若有或，则在闭区间上是
2．单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
3．函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”．
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ；
（4）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
二、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
自主检测（多选）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
自主检测下列函数是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
知识点3 周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为 ，称T为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为
自主检测设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ．
知识点4 对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即；
（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
2．不同函数对称性
（1）函数与的图像关于直线 成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线对称。
自主检测（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型1 确定函数的单调性及求单调区间
例1-1若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
例1-2函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1-1】（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数
方法技巧
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式训练1-2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-3】函数的单调递增区间为 ．
题型2 复合函数的单调性
例2-1函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
例2-2（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”．
【变式训练2-1】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上都单调递增，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【变式训练2-2·变考法】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练2-3·变载体】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
题型3 比较大小
例3-1若，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例3-2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质
3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线
4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【变式训练3-1】已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2025·山西·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型4 利用单调性解函数不等式
例4-1（2025·广西桂林·一模）函数.若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【变式训练4-1】已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【变式训练4-2·变载体】（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
题型5 利用单调性求参数的取值范围
例5-1已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例5-2（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 .
【变式训练5-1】如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【变式训练5-2】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【变式训练5-3】已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 ．（写出满足条件的一个值即可）
题型6 求最值（值域）
例6-1的值域为（ ）
A． B． C． D．
例6-2已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ．
方法技巧 （1）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（2）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和
【变式训练6-1】函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6
【变式训练6-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
题型7 判断函数的奇偶性
例7-1（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
例7-2下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧 常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
【变式训练7-1】（2025·云南曲靖·二模）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练7-2】下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练7-3】（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
题型8 根据奇偶求解析式
例8-1已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
例8-2（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 .
【变式训练8-1】已知函数满足，当时，，当时， （ ）
A． B．
C． D．
【变式训练8-2·变考法】定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值时，方程在上有解．
题型9 利用奇偶求函数值或参数
例9-1已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
例9-2若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式训练9-1】若函数为偶函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式训练9-2】（2025·湖南长沙·二模）若函数为奇函数，则 ．
【变式训练9-3】已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
【变式训练9-4】（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ．
题型10 利用奇偶和单调解不等式
例10-1（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例10-2设函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【变式训练10-1】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ．
【变式训练10-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练10-3·变考法】已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 .
题型11 函数的周期性
例11-1（2025·青海海东·三模）（多选）定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
例11-2已知是定义在上的周期为3的奇函数，且，则 ．
方法技巧
【变式训练11-1】已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则 ．
【变式训练11-2·变考法】定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则 ．
题型12 对称性
例12-1（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
例12-2已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象有对称轴 B．的图象有对称轴
C．的图象有对称中心 D．的图象有对称中心
方法技巧
1.中心对称结论：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足,则的一条对称轴为
（2）若函数满足,则的一条对称轴为
（3）若函数满足,则的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称；
【变式训练12-1】（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
【变式训练12-2】（多选）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
【变式训练12-3·变考法】（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ．
题型13 对称、周期的综合
例13-1已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
例13-2已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ．
方法技巧 ①两中心
②两垂直轴
③一个中心 ，一条轴
【变式训练13-1】已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则 ．
【变式训练13-2】已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练13-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
1.（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
3.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
4.．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
5.．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
1．图中的曲线对应的函数解析式是（ ）

A． B． C． D．
2．已知
(1)求和；
(2)求函数的值域．
3．讨论下列函数的单调性：
(1)；
(2)．
4．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
5．函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值
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01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 单调性 4
知识点2 奇偶性 6
知识点3 周期性 7
知识点4 对称性 8
题型破译 9
题型1 确定函数的单调性及求单调区间 9
题型2 复合函数的单调性 11
题型3 比较大小 13
题型4 利用单调性解函数不等式 15
题型5 利用单调性求参数的取值范围 17
题型6 求最值（值域） 19
题型7 判断函数的奇偶性 21
题型8 根据奇偶求解析式 24
题型9 利用奇偶求函数值或参数 27
题型10 利用奇偶和单调解不等式 29
题型11 函数的周期性 32
题型12 函数的对称性 34
题型13 对称、周期的综合 38
04真题溯源·考向感知 41
05课本典例·高考素材 46
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）根据分段函数的单调性求参数 （2）求函数值 （3）抽象函数的关系 （4）函数奇偶性的定义与判断 （5）函数奇偶性的应用 （6）函数对称性的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第5题，5分 全国二卷，第10题，6分 北京卷，第15题，5分， 天津卷，第3题，5分 新课标I卷，第6题,5分 新课标I卷，第8题,5分 新课标Ⅱ卷，第6题,5分 新课标Ⅱ卷，第11题,6分 天津卷，第4题，5分 上海卷，第4题，4分 新课标全国I卷，第4题,5分 新课标全国I卷，第11题,5分 新课标全国Ⅱ卷，第4题,5分 全国乙卷理，第4题，5分 全国甲卷理，第13题，5分 北京卷，第4题，4分
考情分析： 本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分.
复习目标： 1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法 2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值 3.能够利用函数的单调性解决有关问题 4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性 5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题 6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题.
知识点1 单调性
一、函数的单调性
1．函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，[
当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的
设，，
若有或，则在闭区间上是增函数；
若有或，则在闭区间上是减函数
2．单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．
（2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．
（3）“函数的单调区间是”与“函数在区间上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然.
3．函数单调性的常用结论
（1）若均为区间A上的增(减)函数，则也是区间A上的增(减)函数；
（2）复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”．
（3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（4）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减．
二、函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 对于任意的，都有； 存在，使得 对于任意的，都有； 存在，使得
结论 为最大值 为最小值
注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；
（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.
自主检测（多选）下列函数在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】显然在上单调递减；因为在上单调递减，所以在上单调递增；又的图象关于直线对称，所以在上单调递减；由知，其图象关于直线对称，所以在上单调递增．
知识点2 函数的奇偶性
1．函数奇偶性的定义及图象特点
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称
奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：
对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．
2．函数奇偶性的几个重要结论
（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反；
（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：
偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数
偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数
奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数
（3）若奇函数的定义域包括，则．
（4）若函数是偶函数，则．
（5）掌握一些重要类型的奇偶函数：
①函数为偶函数，函数为奇函数．
②函数（且）为奇函数．
③函数（且）为奇函数．
④函数（且）为奇函数．
自主检测下列函数是偶函数的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接运用常见函数的奇偶性判断即可.
【详解】根据所学知识，知道为奇函数，为偶函数，为非奇非偶函数.
故选：B.
知识点3 周期性
1．周期函数
对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．
2．函数周期性的常用结论
设函数，.
①若，则函数的周期为；②若，则函数的周期为；
③若，则函数的周期为
自主检测设是以为最小正周期的周期函数，且当时，，则 ， ．
【答案】 /
【分析】根据函数解析式和周期函数即可求解.
【详解】解析：，，
故答案为：；
知识点4 对称性
1．函数自身的对称性
（1）函数的图像关于点对称的充要条件是：
，即；
（2）函数的图像关于直线对称的充要条件是：
，即。
2．不同函数对称性
（1）函数与的图像关于直线成轴对称。
（2）互为反函数的两个函数关于直线对称。
自主检测（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可.
【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以，
即， 所以的图象关于点成中心对称，所以.
又因为为偶函数，所以，
即，所以的图象关于直线对称，所以.
故选：D.
题型1 确定函数的单调性及求单调区间
例1-1若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
例1-2函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和．
【变式训练1-1】（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（ ）
A．在上是减函数 B．在上是减函数
C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数
【答案】BCD
【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立．
方法技巧
确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
【变式训练1-2】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】化函数为分段函数，再结合二次函数单调性求出单调递增区间.
【详解】函数，
当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为.
故选：A
【变式训练1-3】函数的单调递增区间为 ．
【答案】,
【分析】利用分段函数思想，来作出图象，即可得单调增区间.
【详解】，
画出函数图象，如图所示，
根据图象知，函数的单调递增区间为和．
故答案为：，．
题型2 复合函数的单调性
例2-1函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】有意义，则，解得．设，其图象开口向下，对称轴为直线，当时，单调递增，当时，单调递减．又在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当单调递增时，单调递增．
例2-2（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可.
【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增，
可得在区间上单调递增，所以.
故选:D.
方法技巧
复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．简记：“同增异减”．
【变式训练2-1】（多选）已知函数是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，且，在上都单调递增，则（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上单调递增 D．在上单调递增
【答案】AB
【分析】根据奇偶性定义可判断AB；根据复合函数单调性可判断CD.
【详解】，所以A正确；
，所以B正确；
取，则在上单调递减，所以C错误；
取，，则在上单调递减，所以D错误．
故选：AB
【变式训练2-2·变考法】函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出函数定义域，由复合函数的单调性法则，外函数是增函数，要求函数的递增区间，则求内函数递增区间即可.
【详解】由题得由，得，
解得，即函数定义域为，
因为函数是增函数，故求函数的单调递增区间即求函数在上的单调递增区间，
令，则，
所以函数的递增区间为.
故选：D.
【变式训练2-3·变载体】（2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．的值域为
C．不存在，使得
D．在区间上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用偶函数定义判断A；换元并利用余弦函数值域判断B；举例说明判断C；利用复合函数单调性判断D.
【详解】对于A，函数的定义域为R，
，因此为偶函数，A正确；
对于B，令，函数是R上增函数，值域为R，函数的值域为，
因此的值域为，B正确；
对于C，由选项B知，存在唯一使得，则，
且，因此存在，使得，C错误；
对于D，函数在上单调递增，，
而函数在上单调递减，因此在区间上单调递减，D正确.
故选：ABD
题型3 比较大小
例3-1若，则以下不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数判断出最小，再依据函数单调性去比较的大小即可解决.
【详解】令，则，
由，得，由，得，
即当时单调递减，当时单调递增，
即当时取得最小值，
则有，，即，，
又，
综上的大小关系为.
故选：A
例3-2（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据幂函数的定义可求得的值，根据可求出的值，然后利用该函数的单调性可得出、、的大小关系.
【详解】因为点在幂函数的图象上，则，解得，
所以，可得，故，
因为，，，
且函数在上为增函数，
又因为，则，故.
故选：C.
方法技巧
1.利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待．
2.指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质
3.指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线
4.进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
【变式训练3-1】已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，再利用单调性比较函数值的大小.
【详解】因为，，，构造函数，
因为，由，得到，
由，得到，所以在区间上单调递减，
因为，，，
因为，所以，故选项A，C，D错误，选项B正确，
故选：B.
【变式训练3-2】（2025·山西·一模）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数在上是减函数，，所以，
又，所以.
故选：.
题型4 利用单调性解函数不等式
例4-1（2025·广西桂林·一模）函数.若，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析函数的对称性和单调性，再利用函数性质比较函数值的大小.
【详解】，
关于对称.
当时：为增函数，也为增函数，所以在上为增函数，
关于对称在为减函数，
，，
.
故选：A.
例4-2已知为R上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据且可得答案.
【详解】构造函数 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
故 ，
即 ，
即 .
同理， ，
即 .
故选 ： A.
【变式训练4-1】已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是．
【变式训练4-2·变载体】（2025·河南·二模）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分类讨论解不等式, 再构造函数求导判断函数的单调性求解．
【详解】当时，，得，解得或（舍去）；
当时，令，则，
所以当时，，在上单调递增；
当时，， 在上单调递减，
所以，即当时，恒成立，
所以当时，不等式无解.
综上，所求不等式的解集为.
故选：A.
题型5 利用单调性求参数的取值范围
例5-1已知，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，得解得，函数的定义域为．又，所以函数是定义在上的偶函数．，所以在上单调递减．又，所以解得．
例5-2（2025·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则 .
【答案】/
【分析】分三类，，，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出最小值.
【详解】若，则，在上单调递增，最小值为，不符合题意；
若，则的定义域为，
且由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，不符合题意；
若，则的定义域为，
由题意可得，则，
此时由复合函数的单调性可知在上单调递增，
则最小值为，解得，符合题意；
综上， .
故答案为：
【变式训练5-1】如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由函数在区间上为单调递增函数，
当时，在上为单调递增函数，符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为.
故选：D.
【变式训练5-2】若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】函数在上单调递增，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
【变式训练5-3】已知函数在上单调递增，则实数的值可以是 ．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】0（答案不唯一，）
【详解】依题意，函数，显然函数在R上单调递增，
而函数在上单调递减，在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
又函数在上单调递增，于是，则，解得，
实数的值可以是0.
故答案为：0（答案不唯一）
题型6 求最值（值域）
例6-1的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为．
例6-2已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是 ．
【答案】
【详解】由已知得，解得，所以在区间上单调递增，则．
方法技巧 （1）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
（2）一些重要函数的单调性：
①的单调性：在和上单调递增，在和上单调递减；
②（，）的单调性：在和上单调递增，在和
【变式训练6-1】函数的最小值和最大值分别是（ ）
A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6
【答案】C
【详解】函数在区间上单调递减，把6，3分别代入得．
【变式训练6-2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【分析】先利用换元法求出的解析式，再利用定义法求证在上的单调性即可求出.
【详解】，令，则，
则，
且，则
因，则，则，
又，则，即，
则在上单调递增，
则的最大值为.
故选：C
题型7 判断函数的奇偶性
例7-1（多选）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】在A中，的定义域关于原点对称，且，则是偶函数；在B中，的定义域关于原点对称，且，则是偶函数；在C中，的定义域关于原点对称，且，则是奇函数；在D中，的定义域关于原点对称，，则，则是奇函数．
例7-2下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用函数奇偶性的定义、复合函数的单调性逐项判断即可.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，
因为，，故，
所以，函数不是奇函数，A不满足；
对于B选项，对于函数，由可得，解得，
所以，函数的定义域为，
因为，故函数为奇函数，
因为内层函数在上单调递减，
外层函数为增函数，故函数在定义域上单调递减，B不满足；
对于C选项，函数的定义域为，，
故函数为偶函数，C不满足；
对于D选项，对任意的，，即函数的定义域为，
，即函数为奇函数，
因为，
内层函数为增函数，外层函数在上为增函数，
所以，在定义域上为增函数，D满足.
故选：D.
方法技巧 常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
【变式训练7-1】（2025·云南曲靖·二模）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】求出各个函数的定义域，代入判断函数奇偶性，进而结合二次函数以及对数函数的性质，即可得出单调性.
【详解】设，，，
对于A项，易知定义域为R，
且，所以为偶函数.
根据二次函数的性质可知，在上单调递增.故A正确；
对于B项，定义域为R，
且，所以不是偶函数.故B错误；
对于C项，定义域为，
且.
当时，在上单调递增.故C正确；
对于D项，定义域为，
且，所以为奇函数.故D错误.
故选：AC.
【变式训练7-2】下列函数为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足．
【变式训练7-3】（2026高三·全国·专题练习）（多选）下列函数中为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，的定义域为，，为奇函数，A不是；
对于B，的定义域为，，为偶函数，B是；
对于C，的定义域为，该函数为非奇非偶函数，C不是；
对于D，的定义域为R，，该函数为偶函数，D是.
故选：BD
题型8 根据奇偶求解析式
例8-1已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，
【答案】
【分析】根据条件得到时，，又，求出答案.
【详解】当时，，故，
又是定义在上的奇函数，故，
所以，故.
故答案为：
例8-2（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 .
【答案】.
【分析】利用奇函数的定义，将求时的解析式转化为时的情况，直接代入已知解析式即可.
【详解】解析：因为是奇函数，当时，，
所以当时，.
故答案为：.
【变式训练8-1】已知函数满足，当时，，当时， （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设时，代入再结合函数是奇函数得出函数的解析式即可.
【详解】当时，，
又．
故选:C．
【变式训练8-2·变考法】定义在上的奇函数有最小正周期为2，且时，．
(1)求在上的解析式；
(2)取何值时，方程在上有解．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，，利用奇函数性质可求在上的解析式，利用周期性和奇偶性可得；
（2）求出单调性，画出的图象，利用图象交点可得的范围.
【详解】（1）时，，则，
因为奇函数，则；
因的最小正周期为，则，
又，则，
则
（2），且，则
，
因，则，，
则，即，则在上单调递减，则；
利用奇函数性质可得， 在上也单调递减，且，
画出图象如图所示，

由图象可知，则或或时，与的图象有交点，
即方程在上有解，故．
题型9 利用奇偶求函数值或参数
例9-1已知函数是奇函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】方法一：根据，得到方程，求出；方法二：根据得到方程，求出，经检验，满足，故.
【详解】方法一：，
令，解得，故定义域为，
则，
因为是奇函数，所以，即，
故，因此；
方法二：，故，
即，故，解得，
故，
令，解得，故定义域为，
所以，故为奇函数.
故选：A.
例9-2若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为为偶函数，为奇函数，所以为奇函数，所以，所以．
【变式训练9-1】若函数为偶函数，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】根据偶函数的性质来求解的值，进而得出的值.
【详解】由题可得的定义域为.
因为为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以，.
所以，则，
因为对任意的，恒成立，
所以，所以.
故选：C.
【变式训练9-2】（2025·湖南长沙·二模）若函数为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据辅助角公式得出，再根据奇函数的性质求出的值，得出答案.
【详解】由辅助角公式，得，其中．
又因为奇函数，则有，即，故（），
于是，故．
故答案为：.
【变式训练9-3】已知定义域为的奇函数，则的值为 ．
【答案】0
【详解】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以．
【变式训练9-4】（2025·浙江·三模）已知函数，为奇函数，则 ．
【答案】-3
【分析】可根据奇函数的性质来求解与的值，进而得到的值．
【详解】因为函数为奇函数，
所以，当时，，，
所以，，
所以．
故答案为：.
题型10 利用奇偶和单调解不等式
例10-1（2025·山西临汾·三模）已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由函数解析式明确定义域，判其奇偶性，整理函数解析式，根据指数函数、对勾函数以及复合函数的单调性，可得函数的单调性，简化不等式，可得答案.
【详解】由，易知其定义域为，
由
，则函数为偶函数，
，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
整理可得，分解因式可得，
解得.
故选：A
例10-2设函数是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】当时解不等式求出，再根据函数为偶函数可得答案.
【详解】当时，由，得，
解得．又因为函数为偶函数，所以函数的图象关于轴对称，
所以当时，不等式的解集为，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
【变式训练10-1】已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】
【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或．
易错警示 解题中易忽视函数的定义域．
【变式训练10-2】已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意，知，所以.又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减，所以，即或，所以或.
【变式训练10-3·变考法】已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解；
【详解】设，
因为，在R上单调递增，所以在R上单调递增，
又，则是奇函数，
由，可得，
即，
，即在上有解，
令，则，，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
，
，即实数的取值范围为.
故答案为：.
题型11 函数的周期性
例11-1（2025·青海海东·三模）（多选）定义在上的函数满足，，则（ ）
A． B．
C． D．2为的一个周期
【答案】ACD
【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断.
【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确；
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确.
故选：ACD
例11-2已知是定义在上的周期为3的奇函数，且，则 ．
【答案】
【分析】利用函数的周期性得，由已知条件可知，即可求值.
【详解】由题意知，又，且，
所以，所以，即．
所以．
故答案为：
方法技巧
【变式训练11-1】已知定义在R上的奇函数满足，且当时，，则 ．
【答案】/0.125
【分析】由可得函数的周期为3，再结合奇函数的性质求解即可.
【详解】由知，函数的周期为3，又函数为奇函数，
所以．
故答案为：.
【变式训练11-2·变考法】定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则 ．
【答案】339
【分析】利用条件可得的周期，再利用函数解析式和周期性计算出至，再利用，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算.
【详解】因为，所以，则，
所以的周期，
当时，，则，，
则，，
当时，，则，，，，
则，，
则，
，
而，
所以．
故答案为：339.
题型12 对称性
例12-1（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（ ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
【答案】A
【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果.
【详解】因为，则为奇函数，
所以的图象关于原点对称，
函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，
所以函数的图象关于点对称．
故选：A
例12-2已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象有对称轴 B．的图象有对称轴
C．的图象有对称中心 D．的图象有对称中心
【答案】D
【分析】只需计算，验证即可求解.
【详解】，，所以，所以的图象有对称中心，故A错误，D正确；
，，
所以，，故B错误，C错误，
故选：D.
方法技巧
1.中心对称结论：
（1）若函数满足，则的一个对称中心为
（2）若函数满足，则的一个对称中心为
（3）若函数满足，则的一个对称中心为.
2.轴对称性的常用结论如下：
（1）若函数满足,则的一条对称轴为
（2）若函数满足,则的一条对称轴为
（3）若函数满足,则的一条对称轴为
（4）f(a－x)= f(b＋x) f(x)的图象关于直线x=对称；
【变式训练12-1】（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（ ）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
【答案】B
【分析】由题意得，求导得，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以，即，
对其求导，则有，所以关于直线对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于，若，则函数周期为；
（2）对于，若，则函数关于直线对称；
（3）对于，若，则函数关于点对称.
【变式训练12-2】（多选）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
【答案】AD
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，通过对不同变量赋值，来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值的和等性质.
【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确.
对于B，令，则原等式变为.
因为前面已求得，所以，即，移项可得.
根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误.
对于C，令，原等式变为.
由于，则，即.
令，则，那么.
根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期.
当，时，可得，
可得，①；
当时，可得 ②.
由①+②可得，由于，
所以，
代入②式得到，由于，进而解得.
令，原等式变为.
因为，所以，移项可得.
又因为，所以.
根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心.
因为是函数的一个周期，，所以也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误.
对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以.
因为，所以，所以D选项正确.
故选：AD.
【变式训练12-3·变考法】（2025·湖北·模拟预测）若函数的图象关于直线对称，则 ．
【答案】4
【分析】由题意可得对任意，恒有成立，进而求解即可.
【详解】由题意知，对任意，恒有成立，
即恒成立，化简得，
故只能，又，则．
故答案为：4.
题型13 对称、周期的综合
例13-1已知定义在上的奇函数满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，结合函数的周期性和奇函数的性质可求得的值.
【详解】因为定义在上的奇函数满足，
所以，所以，即，
所以是周期为的周期函数，且，，
所以．
故选：C．
例13-2已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则 ．
【答案】
【分析】根据奇偶性得到，进而推导出是周期为4的函数，利用周期性求函数值即可.
【详解】由为偶函数，，即，
由为奇函数，，即，
所以，即，即，
所以，即是周期为4的函数，
所以，又，
所以.
故答案为：
方法技巧 ①两中心
②两垂直轴
③一个中心 ，一条轴
【变式训练13-1】已知是定义在上的偶函数且，是奇函数，则 ．
【答案】0
【分析】利用奇偶性和周期性的定义得到的周期为4，再利用赋值法求出前几项的函数值，再求和即可.
【详解】是上的偶函数，且为奇函数，
的图象关于点对称，得到，
，，
故，即的周期为4，
是上的偶函数，的图象关于点对称，
，由已知得，
对于，当时，得到，
当时，得到，当时，，
，
.
故答案为：
【变式训练13-2】已知定义在R上的函数，对任意实数x都有，若函数的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先利用图象变换得出为偶函数，再利用得出的周期，进而利用周期性和对称性即可求解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位即可得到函数的图象，
由函数的图象关于直线对称，
可知函数的图象关于y轴对称，故为偶函数，
又由，得，则，
所以是周期为8的偶函数，则．
故选：B.
【变式训练13-3·变考法】（2025·宁夏银川·三模）（多选）已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．是周期为3的周期函数 D．
【答案】BCD
【分析】由可判断A，由，得到，可判断C，由和可判断B，由周期性，奇偶性可判断D.
【详解】对于A，，所以不是奇函数，错误；
对于B：因为为奇函数，
所以，
由，可得：，
所以，即，
所以，偶函数，正确；
对于C：由，
可得，所以是周期为3的周期函数，正确；
对于D，，
所以，
由周期性可得：
故选：BCD
1.（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D.
【详解】，
又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又，
故可排除D.
故选：B.
2.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】解法一：由题意可知：的定义域为，分类讨论与的大小关系，结合符号分析判断，即可得，代入可得最值；解法二：根据对数函数的性质分析的符号，进而可得的符号，即可得，代入可得最值.
【详解】解法一：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
若，当时，可知，此时；
当时，可知，此时；
可知若，符合题意；
若，当时，可知，
此时，不合题意；
综上所述：，即，
则，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为；
解法二：由题意可知：的定义域为，
令解得；令解得；
则当时，，故，所以；
时，，故，所以；
故， 则，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：分别求、的根，以根和函数定义域为临界，比较大小分类讨论，结合符号性分析判断.
3.（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.
【详解】令，则开口向下，对称轴为，
因为，而，
所以，即
由二次函数性质知，
因为，而，
即，所以，
综上，，
又为增函数，故，即.
故选：A.
4.．（2023·全国乙卷·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
5.．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
6．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.
【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
7．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
8．（2023·全国甲卷·高考真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
1．图中的曲线对应的函数解析式是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断各选项中函数的函数值符号以及奇偶性，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；
对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；
对于C选项，令，该函数的定义域为，，
故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件；
对于D选项，当时，，D选项不满足条件.
故选：C.
2．已知
(1)求和；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)，，.
(2)
【分析】（1）根据函数的解析式，代入即可求解；
（2）解法1：由，得到，函数的值域；
解法2：根据题意，转化为应该有解，结合，即可求得函数的值域．
【详解】（1）解：由函数，
可得，，.
（2）解法1：因为，可得恒成立，可得，所以，
即函数的值域为.
解法2：假设是所求值域中的元素，则关于的方程应该有解，即应该有解，
从而，即，解得，所以函数的值域为．
3．讨论下列函数的单调性：
(1)；
(2)．
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增.
(2)在上单调递减，在上单调递增.
【分析】（1）结合二次函数的图像即可；
（2）利用导数判断单调性.
【详解】（1），定义域为R，开口向上，对称轴，
在上单调递减，在上单调递增.
（2）,定义域为R，，令，
，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
4．已知函数在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】分段函数单调递减，需要满足在每一段上单调递减，且分段处，左端函数值大于等于右端函数值.
【详解】要想满足在R上是减函数，
则二次函数的对称轴，且，
解得，
所以实数a的取值范围是.
5．函数是周期为2的周期函数，且，．
(1)画出函数在区间上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值；
(2)求的值；
(3)求在区间上的解析式，其中．
【答案】(1)答案见解析；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）根据周期性及已知区间解析式画出函数图象，数形结合确定单调区间、零点、最值；
（2）利用周期性求函数值即可；
（3）由，代入已知解析式，根据周期性即可得解析式.
【详解】（1）由的周期性及上解析式，得区间上的图象如下：

由上图知：增区间为，减区间为；
零点为共3个；最大值为1，最小值为0.
（2）由题设.
（3）令且，则，
又，则，即，
综上，在区间上，.
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)．
【答案】(1)非奇非偶函数；
(2)非奇非偶函数；
(3)奇函数
(4)偶函数
(5)奇函数
【分析】首先根据对数函数定义判断出各函数定义域，可得（1）（2）中的两函数定义域不关于原点对称，所以（1）（2）为非奇非偶函数；对（3）（4）（5）中的函数再利用奇偶性的定义可分别判断出（3）（5）为奇函数，（4）为偶函数.
【详解】（1）由对数函数定义可知需满足，解得；
即函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数；
（2）由对数函数定义可知需满足，
解得，所以，
即函数的定义域为，显然定义域不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数；
（3）由对数函数定义可知需满足，解得，
即函数的定义域为，显然关于原点对称，
且易知，满足；
所以函数为奇函数.
（4）对于函数可得对于恒成立，
即函数的定义域为，关于原点对称，
且，满足；
所以函数为偶函数；
（5）对于函数可知对于恒成立，
即函数的定义域为，关于原点对称，
且
，满足；
所以函数为奇函数.
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