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第02讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 平面向量的基本定理 4
知识点2 平面向量的正交分解 4
知识点3 平面向量的坐标运算 4
知识点4 平面向量共线的坐标表示 5
题型破译 5
题型1 对基向量概念的理解 5
题型2 用基底表示向量 6
题型3 利用平面向量基本定理求参数 7
【方法技巧】对应系数相等求参数
【易错分析】向量的分解易错
题型4 平面向量的坐标运算 8
题型5 向量共线的坐标表示 9
04真题溯源·考向感知 10
05课本典例·高考素材 11
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量； （2）借助平面坐标系，掌握平面向量的坐标表示； （3）理解向量坐标的运算及中点坐标公式； （4）掌握平面向量平行的坐标表示． 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷，12题，5分 新课标I卷，第3题，5分 全国甲卷，第9题，5分 上海卷，第5题，4分 新课标I卷，第3题，5分
考情分析： 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
复习目标： （1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； （2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
知识点1 平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个 .
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝ .
基底 若e1，e2 .，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
自主检测在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
知识点2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及标准正交基
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为 .．
（4）把一个向量分解为两个 .的向量，叫做把向量作正交分解.
自主检测已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．
(1)用坐标表示；
(2)求的模长；
(3)求顶点A的坐标．
知识点3 平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a（通常称为位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)．
2、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标．
3、平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝ . 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝ . 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘 λa＝ . 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积
自主检测若向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 向量坐标的坐标表示
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量，
即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
自主检测已知向量，，若，则y的值为（ ）
A． B． C．2 D．
题型1 对基向量概念的理解
例1-1若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
例1-2（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
方法技巧 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【变式训练1-1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则
【变式训练1-3】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
题型2 用基底表示向量
例2-1已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（ ）
A． B． C． D．
例2-2在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
方法技巧
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练2-1】若点O是平行四边形两条对角线的交点，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2·变考法】（多选）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．
【变式训练2-3·变载体】在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则 .（用，表示）
题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1
在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
例3-2（2026高三·全国·专题练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
例3-3如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
方法技巧
若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
【变式训练3-1】在平行四边形中，，交于点，若，则 .
【变式训练3-2】如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ．
题型4 平面向量的坐标运算
例4-1与向量平行的单位向量是（ ）
A． B．
C．或 D．或
例4-2在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ．
方法技巧
求向量的坐标的一般方法
1、数形结合法：根据正交分解，求向量在轴、轴上的坐标分量；
2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；
3、若已知、，则．
【变式训练4-1】已知向量，，则与（ ）
A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．相互垂直 D．均为零向量
【变式训练4-2·变载体】已知点，则（ ）
A． B． C． D．
题型5 向量共线的坐标表示
例5-1已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．无解
例5-2已知平面向量，，且，则 .
例5-3已知点，点，且，则点的坐标为 ．
方法技巧
1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则．
2、由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式训练5-2】设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为 .
【变式训练5-3已知向量，，，若与平行，则实数 .
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．
(1)若的焦点，求离心率e；
(2)若，且上存在一点P，满足，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
1.已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则 .
2.已知，，，当时，求实数x，y应满足的关系式．
3.已知，，，求的顶点的坐标．
4.已知，，求的坐标．
5.已知向量，，，求，并用标准正交基表示.
6.已知，，求，，的坐标．
7.如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 平面向量基本定理及坐标表示
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 平面向量的基本定理 4
知识点2 平面向量的正交分解 4
知识点3 平面向量的坐标运算 5
知识点4 平面向量共线的坐标表示 6
题型破译 7
题型1 对基向量概念的理解 7
题型2 用基底表示向量 10
题型3 利用平面向量基本定理求参数 13
【方法技巧】对应系数相等求参数
【易错分析】向量的分解易错
题型4 平面向量的坐标运算 16
题型5 向量共线的坐标表示 17
04真题溯源·考向感知 19
05课本典例·高考素材 24
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解平面向量基本定理及其意义，在平面内，当一组基选定后，会用这组基来表示其他向量； （2）借助平面坐标系，掌握平面向量的坐标表示； （3）理解向量坐标的运算及中点坐标公式； （4）掌握平面向量平行的坐标表示． 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷，12题，5分 新课标I卷，第3题，5分 全国甲卷，第9题，5分 上海卷，第5题，4分 新课标I卷，第3题，5分
考情分析： 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算； 理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
复习目标： （1）会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题； （2）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算；能将向量的几何运算和代数运算灵活地结合起来，解决一些平面向量的计算问题； （3）理解用坐标表示的平面向量共线的条件，并能正确地进行有关应用．
知识点1 平面向量的基本定理
条件 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论 对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底
自主检测在中，点满足，点满足，，分别是，的中点，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用向量的线性运算法则即可求解.
【详解】
∵，，∴，.
∵，分别是，的中点，∴，.
又，，∴，即.
故选：A.
知识点2 平面向量的正交分解
1、正交基、正交分解及标准正交基
（1）若基中的两个向量互相垂直，则称这组基为正交基；
（2）在正交基下向量的线性表示称为正交分解；
（3）若基中的两个向量是互相垂直的单位向量，则称这组基为标准正交基．
（4）把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
自主检测已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．
(1)用坐标表示；
(2)求的模长；
(3)求顶点A的坐标．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）利用终点坐标和始点坐标即可得解；
（2）求出的坐标，由模长公式可得；
（3）利用相等向量列方程组求解即可.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为，
所以，
所以，所以.
（3）设点坐标为，则，
因为四边形为平行四边形，所以，
则，解得，即点坐标为
知识点3 平面向量的坐标运算
1、平面向量的坐标表示
如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为标准正交基．对于坐标平面内的任意向量a，以坐标原点O为起点作＝a（通常称为位置向量）．由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x，y，使＝xi＋yj．
因此，a＝xi＋yj．
我们把(x，y)称为向量a在标准正交基{i，j}下的坐标，向量a可以表示为a＝(x，y)．
2、点的坐标与向量坐标间的关系
在平面直角坐标系中，点的位置被它的位置向量所唯一确定，设点的坐标为，容易看出，即点的位置向量的坐标也就是点的坐标；反之，点在平面直角坐标系中的坐标也是点所决定的位置向量的坐标．
3、平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
数学公式 文字语言表述
向量加法 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2) 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和
向量减法 a－b＝(x1－x2，y1－y2) 两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差
向量数乘 λa＝(λx1，λy1) 实数与向量数乘的坐标等于这个实数与向量的相应坐标的乘积
自主检测若向量，，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标运算求得结果.
【详解】由，，
则.
故选：A.
知识点4 向量坐标的坐标表示
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量，
即任意一个向量的坐标等于其终点的坐标减去起点的坐标．
自主检测已知向量，，若，则y的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的坐标表示求解即可.
【详解】由，则，解得.
故选：D.
题型1 对基向量概念的理解
例1-1若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】由基的定义可判断选项正误.
【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基，
D选项，与共线，则不可以作为一组基.
故选：D
例1-2（多选）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】ABD
【分析】根据向量基底的定义逐一分析即可判断.
【详解】对于：由可得和不共线，
所以和能作为基底，故正确；
对于：由可得和不共线，
所以和能作为基底，故正确；
对于：由，可得，
所以和共线，故不能作为基底，故错误；
对于：由可得和不共线，
所以和能作为基底，故正确.
故选：.
方法技巧 向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．
(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．
(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
【变式训练1-1】若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作平面向量的基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据基底满足的条件逐一分析判断即可.
【详解】对于A，设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故A不符合题意；
对于B，设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故B不符合题意；
对于C，由，所以与共线，
故不能作为平面向量的基底，故C符合题意；
对于B，设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底，故D不符合题意.
故选：C.
【变式训练1-2】（多选）下列说法正确的是（ ）
A．与向量方向相同的单位向量的坐标为
B．为非零向量，则向量在向量上的投影向量为
C．为非零向量，且相互不共线，则
D．若与共线，则
【答案】AD
【分析】对于A，根据向量的单位化，可得其正误；对于B，根据投影向量的计算，可得其正误；对于C，根据数量积的概念，由向量的减法，可得其正误；对于D，根据共线向量的坐标表示，可得其正误.
【详解】对于A，与向量方向相同的单位向量为，故A正确；
对于B，向量在向量上的投影向量为，故B错误；
对于C，由与为数字，且不共线，则，故C错误；
对于D，由与共线，则，解得，故D正确.
故选：AD.
【变式训练1-3】若是平面内一组不共线的非零向量，则下列也可以作为一组基底向量的为（ ）
①和 ②和
③和 ④和
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【分析】根据题意，利用向量的共线定理，以及基底向量的定义，逐个判定，即可求解.
【详解】对于①中，由和，可得，
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量；
对于②中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于③中，设，可得，方程组无解，
所以和不共线，可以作为一组基底向量；
对于④中，设，可得，解得
所以和是共线向量，不能作为一组基底向量.
故选：B.
题型2 用基底表示向量
例2-1已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量的中线公式、重心的性质及向量的线性运算，即可求解.
【详解】取的中点为，连接，如下图所示：
因为是的重心，所以.
故选：B.
例2-2在中，为边上的中线，为上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依据平面向量共线基本定理和向量的加减运算法则求解.
【详解】如下图所示，
.
故选：D
方法技巧
判断所给的两个向量能否作为一组基的方法
由基的定义可知，要判断两个向量a，b能否作为一组基，只需判断两向量是否共线，而判断向量是否共线就要看是否存在λ∈R，使a＝λb成立．另外，作为基的向量必为非零向量
【变式训练2-1】若点O是平行四边形两条对角线的交点，，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由向量的线性运算即可求解.
【详解】
．
故选：B．
【变式训练2-2·变考法】（多选）在中，已知是的中点，若P是上的一点，且满足与交于点E，则（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A，根据向量的线性运算可得；对于B，由，结合可直接得到投影向量；对于C，根据向量的数量积可直接计算判断；对于D，设，再结合三点共线，列出方程组可求.
【详解】

对于A，，
，故A正确；
对于B，，且，在上的投影向量为，故B错误；
对于C，是的中点，，
则，
又，所以，
即，故C正确；
对于D，设，
三点共线，，
则，所以，故D正确.
故选：ACD.
【变式训练2-3·变载体】在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则 .（用，表示）
【答案】
【分析】由得到，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果.
【详解】由为线段上靠近的三等分点，则，
由题意，易得，所以，
故有，
所以.
故答案为：.

题型3 利用平面向量基本定理求参数
例3-1
在中，点是边的中点，点是的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量基本定理求出、的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
因为为的中点，所以，
因为为的中点，所以，
所以，
因为、不共线，且，所以，，
故.
故选：B.
例3-2（2026高三·全国·专题练习）已知点M为中边上的中点，点N满足，过点N的直线与分别交于P，Q两点，且设，则的值为（ ）
A．5 B．6 C．9 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量基本定理可把用表示出来，再由平面向量共线定理的推论即可得出答案.
【详解】根据题意，得
，
三点共线，，即.
故选：D.
例3-3如图所示，中，点是线段的中点，是线段上的动点，若，则的值为（ ）
A．1 B．3 C．5 D．8
【答案】A
【分析】由题意可得，从而可得，再由三点共线，即可得答案.
【详解】因为点是线段的中点，则，
则，
因为三点共线，
所以.
故选：A.
方法技巧
若直接利用基表示向量比较困难，可设出目标向量，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量（一般需建立两个不同的向量表达式），再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．
【变式训练3-1】在平行四边形中，，交于点，若，则 .
【答案】/
【分析】由三角形相似推出，利用平面向量基本定理将用线性表示，对照系数即得.
【详解】如图，中，，则与相似，
因，则，
故，
即，故.
故答案为：.
【变式训练3-2】如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答.
【详解】在中，，即，
又，即，
因此，而点B，P，N共线，于是，解得.
故答案为：
题型4 平面向量的坐标运算
例4-1与向量平行的单位向量是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】与向量平行的单位向量是，即可求解．
【详解】因为与向量平行的单位向量是，，
所以所求单位向量为，即或
故选：D
例4-2在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为，若向量，则点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点A的坐标为，根据向量坐标等于向量终点坐标减去向量起点坐标列出式子，再利用向量相等列出方程，计算即可求出点A的坐标.
【详解】设点A的坐标为，因为点B的坐标为，
所以向量，
向量，所以，解得，
所以点A的坐标为.
故答案为：
方法技巧
求向量的坐标的一般方法
1、数形结合法：根据正交分解，求向量在轴、轴上的坐标分量；
2、平移法：把向量的始点移至坐标原点，终点坐标即向量的坐标；
3、若已知、，则．
【变式训练4-1】已知向量，，则与（ ）
A．互为相等向量 B．互为相反向量 C．相互垂直 D．均为零向量
【答案】B
【分析】由坐标表示可得答案.
【详解】因为，所以，即互为相反向量．
故选：B．
【变式训练4-2·变载体】已知点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的坐标运算即可求解.
【详解】为，所以，
则．
故选：A
题型5 向量共线的坐标表示
例5-1已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．无解
【答案】A
【分析】利用非零向量定义以及向量共线的坐标表示解方程即可.
【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足，
可知且，
解得，此时，满足题意.
故选：A
例5-2已知平面向量，，且，则 .
【答案】/
【分析】根据向量平行的坐标表示的结论求参数的值.
【详解】由，得.
故答案为：.
例5-3已知点，点，且，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点，根据平面向量的坐标运算及，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出点的坐标.
【详解】设点，因为点，点，且，
所以，即，解得，
故点的坐标为.
故答案为：.
方法技巧
1、判断两个向量共线的方法：一般是利用向量的坐标运算求出需要判断的向量的坐标，并根据两个向量平行的坐标来判断，即先求出，，若，则．
2、由向量共线求参数的值
已知两个向量共线求参数时，参数一般设置在两个位置：一是向量坐标本身含参，二是将相关向量用已知两个向量的含参关系表示，解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示的两种形式，建立有关参数的方程或方程组求解．
【变式训练5-1】已知，，若线段的一个三等分点为，则的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】由题意或，结合向量线性运算的坐标表示即可求解.
【详解】由线段的一个三等分点为，得或，
若，则，所以；
若，则，所以．
故选：B.
【变式训练5-2】设向量其中为坐标原点， ，若三点共线， 则的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量共线的坐标表示可得，再应用基本不等式及“1”的代换求目标式的最小值.
【详解】由，
由三点共线，且，
所以，
则，
当且仅当时取等.
故答案为：6
【变式训练5-3已知向量，，，若与平行，则实数 .
【答案】
【分析】由题意，结合向量平行的充要条件列方程即可求解.
【详解】由题意，若与平行，则，解得.
故答案为：1.
1．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出．
【详解】因为，，
由平方可得，，所以．
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
2．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
4．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
5．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为为的中点，则，可得，
两式相加，可得到，
即，则；
空2：因为，则，可得，
得到，
即，即.
于是.
记，
则，
在中，根据余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，当且仅当取得等号，
则时，有最大值.
故答案为：；.

6．（2025·上海·高考真题）已知椭圆，，A是的右顶点．
(1)若的焦点，求离心率e；
(2)若，且上存在一点P，满足，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与交于C、D两点，为钝角，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率；
（2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不等式，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得范围.
【详解】（1）由题意知，，则，
由右焦点，可知，则，
故离心率.
（2）由题意，
由得，，
解得，代入，
得，又，解得.
（3）由线段的中垂线的斜率为，所以直线的斜率为，
则，解得，
由得中点坐标为，
故直线，显然直线过椭圆内点，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设，
由消得，
由韦达定理得，
因为为钝角，则，且，
则有，
所以，
即，解得，
又，
故，即的取值范围是.
1.已知的两条对角线相交于点O，以，为基向量，则 .
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质，结合图形即可得出答案.
【详解】

根据平行四边形的性质可知，.
故答案为：.
2.已知，，，当时，求实数x，y应满足的关系式．
【答案】
【分析】根据已知求出，进而根据向量共线的充要条件列出关系式，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
因为，所以，
所以有，
整理可得，.
3.已知，，，求的顶点的坐标．
【答案】
【分析】设，根据得到方程组，解得即可.
【详解】设，因为，，，
所以，，
在中，，则，解得，即.
4.已知，，求的坐标．
【答案】
【分析】根据平面向量的坐标与线性运算求解即可.
【详解】
5.已知向量，，，求，并用标准正交基表示.
【答案】，
【分析】根据向量的线性坐标运算即可求解向量坐标，根据坐标定义即可用标准正交基表示.
【详解】因为向量，，，
所以，
所以根据向量坐标概念易知.
6.已知，，求，，的坐标．
【答案】，，
【分析】根据平面向量的坐标运算求解即可.
【详解】由题意，，
，
.
7.如图，点B与点C关于点A对称，点D在线段OB上，，DC和OA交于点E.设，，用和表示向量，.

【答案】，
【分析】根据向量数乘运算及平面向量基本定理求解.
【详解】∵点与点关于点对称，
∴是的中点，，
，
，
，
且，
.
综上：， .
14．（9-10高一下·吉林松原·期末）如图，在中，点M为AB的中点，点N在BD上，.

求证：M，N，C三点共线.
【答案】证明见解析
【分析】利用向量证明三点共线.
【详解】设，
则
所以，
又因为有公共起点C，所以M，N，C三点共线.
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