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第02讲 三角恒等变换
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3
知识点2 二倍角公式 4
知识点3 降幂公式和升幂公式 4
知识点4 辅助角公式： 5
题型破译 5
题型1 和、差、倍角公式的直接应用 5
题型2 和、差、倍角公式的的逆用及变形 7
题型3 正余弦的对偶式 9
题型4 辅助角公式的基本应用 11
题型5 给角求值 13
题型6 利用拼凑角思想给值求值 14
【方法技巧】拼凑角思想
题型7 利用拼凑角思想给值求角 17
【易错分析】求解时忽略角的范围
题型8 非特殊角的辅助角的应用 20
题型9 积化和差、和差化积公式 23
【方法技巧】公式及口诀
题型10 万能公式 25
【方法技巧】万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用 27
题型12 三角恒等变换的实际应用 31
04 真题溯源·考向感知 36
05 课本典例·高考素材 40
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）两角和差公式及二倍角公式 （2）三角恒等变换求值或求角 （3）辅助角公式的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T11（6分） 全国二卷T8（5分） 全国Ⅰ卷T4（5分） 全国II卷T13（5分） 全国甲卷（理）T8（5分） 全国甲卷（文）T9（5分），T13（5分） 全国I卷T8（5分） 全国II卷T7（5分）
考情分析： 新高考卷中三角恒等变换专题为必考内容，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效简化问题，为后续求解铺平道路. 需要深刻理解和运用三角恒等变换，要求学生自觉运用联系与转化的观点（如化未知为已知、化繁为简），并体会其中蕴含的一般与特殊（如特殊角公式到一般公式）、换元（简化表达式）、方程（通过等式关系求解未知量）等核心数学思想。这些思想是灵活运用公式、提升解题能力的深层支撑.
复习目标： 1.能够熟练记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能够掌握公式的逆用、变形与组合； 3.针对复杂表达式，通过角度统一、函数名统一、辅助角公式进行化简，结合角的变换简化计算； 4.熟练处理角的和差、倍半、互补关系，通过拼凑特殊角或引入中间角简化问题.
知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）________；（2） ________
（3）________；（4）________
（5）________
（6）________
自主检测已知，都是锐角，，，则 .
知识点2 二倍角公式
（1）________
（2）________________
（3）________
自主检测已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A． B． C． D．
知识点3 降幂公式和升幂公式
（1）降幂公式： ________；________；
（2）升幂公式：；；
________；
自主检测已知，则的值是 .
知识点4 辅助角公式：
，其中 ________ ________， ________
自主检测（多选）已知函数，则（ ）
A．的周期是 B．是的对称轴
C．的最大值为2 D．是的对称中心
题型1 和、差、倍角公式的直接应用
例1-1已知，则（ ）
A． B． C． D．
例1-2已知，为第三象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【变式1-1】的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】已知角的终边上有一点，则 ．
题型2 和、差、倍角公式的的逆用及变形
例2-1下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
例2-2（ 2025·湖北·模拟预测）已知，且，则 ．
【变式2-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知满足，则 ．
【变式2-3】已知，则 .
题型3 正余弦的对偶式
例3-1已知，则（ ）
A． B． C． D．
例3-2已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】已知α，β均为锐角，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（多选）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型4 辅助角公式的基本应用
例4-1函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
例4-2（多选）若，则的一个可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知函数的最大值为3，则实数的值为 .
【变式4-2】已知为锐角且，则 .
【变式4-3·变载体】函数的最大值 .
题型5 给角求值
例5-1求值： ．
例5-2式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】求值： ．
【变式5-2】的值为（ ）
A． B． C． D．
题型6 利用拼凑角思想给值求值
例6-1已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
例6-2已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 拼凑角思想
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,一般会用到几个特殊角等，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系.
【变式6-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知，，，均为锐角，则=（　　）
A． B．
C． D．
【变式6-3】若，则 .
【变式6-4】（ 2024·安徽·二模）已知，则 .
题型7 利用拼凑角思想给值求角
例7-1若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
例7-2已知角，，，则（ ）
A． B． C． D．
易错分析 求解时忽略角的范围
根据已知角的范围和三角函数的取值，需要精确确定未知角的范围，并进行定号
【变式7-1】已知，，，，则的值为 .
【变式7-2】已知，为锐角，，且．
(1)求的值；
(2)求角的值．
【变式7-3】若，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型8 非特殊角的辅助角的应用
例8-1已知函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
例8-2设当时，函数取得最大值，则 .
【变式8-1】已知函数在处取得最小值，则 .
【变式8-2】设，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3·变载体】已知，函数的最大值与最小值之差为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型9 积化和差、和差化积公式
例9-1的值为（ ）
A． B． C． D．
例9-2（ 2024·广东·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 公式及口诀
（1）积化和差
，
，
口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号
（2）和差化积
，
，
口诀：正弦加正弦，正弦在前；正弦减正弦，余弦在前；余弦加余弦，余弦并肩；余弦减余弦，余弦不见负号显
【变式9-1】函数在区间的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【变式9-2】若 则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-3】已知，则 .
题型10 万能公式
例10-1已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 万能公式
通过万能公式将三角函数全部转化为，可减少变量的存在，大大简化计算过程
【变式10-1】若，则（ ）
A． B． C． D．1
【变式10-2】已知且，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【变式10-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型11 三角恒等变换的综合应用
例11-1已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
例11-2已知，．
(1)求、的值；
(2)求的值；
(3)若、均为锐角，且，求的值．
【变式11-1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式11-2】已知函数，，则的最大值为 ．
【变式11-3】已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若锐角满足，求.
题型12 三角恒等变换的实际应用
例12-1筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）

A． B． C． D．
例12-2如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.
(1)将十字形的面积表示成的函数；
(2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值.
【变式12-1】某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 .
【变式12-2】某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（ ）
A．10cm B． C． D．
【变式12-3】已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高）
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
7．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
1．以表示的结果为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（多选）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，则 ．
5．若，则 ．
6．已知，且，则 ．
7．已知，求的值．
8．已知锐角满足．
(1)求；
(2)若，求．
9．已知，且．
(1)求的值；
(2)若角为第一象限角，且是方程的两个实根，则是否有可能成为三角形的两个内角（给出证明过程）．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 三角恒等变换
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3
知识点2 二倍角公式 4
知识点3 降幂公式和升幂公式 4
知识点4 辅助角公式： 5
题型破译 5
题型1 和、差、倍角公式的直接应用 5
题型2 和、差、倍角公式的的逆用及变形 7
题型3 正余弦的对偶式 9
题型4 辅助角公式的基本应用 11
题型5 给角求值 13
题型6 利用拼凑角思想给值求值 14
【方法技巧】拼凑角思想
题型7 利用拼凑角思想给值求角 17
【易错分析】求解时忽略角的范围
题型8 非特殊角的辅助角的应用 20
题型9 积化和差、和差化积公式 23
【方法技巧】公式及口诀
题型10 万能公式 25
【方法技巧】万能公式
题型11 三角恒等变换的综合应用 27
题型12 三角恒等变换的实际应用 31
04 真题溯源·考向感知 36
05 课本典例·高考素材 40
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）两角和差公式及二倍角公式 （2）三角恒等变换求值或求角 （3）辅助角公式的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷T11（6分） 全国二卷T8（5分） 全国Ⅰ卷T4（5分） 全国II卷T13（5分） 全国甲卷（理）T8（5分） 全国甲卷（文）T9（5分），T13（5分） 全国I卷T8（5分） 全国II卷T7（5分）
考情分析： 新高考卷中三角恒等变换专题为必考内容，主要考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用。它不仅是独立的考点，更是解决复杂三角函数问题（如求值、化简、证明、图像与性质分析等）不可或缺的基本工具。掌握它，能有效简化问题，为后续求解铺平道路. 需要深刻理解和运用三角恒等变换，要求学生自觉运用联系与转化的观点（如化未知为已知、化繁为简），并体会其中蕴含的一般与特殊（如特殊角公式到一般公式）、换元（简化表达式）、方程（通过等式关系求解未知量）等核心数学思想。这些思想是灵活运用公式、提升解题能力的深层支撑.
复习目标： 1.能够熟练记忆两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.能够掌握公式的逆用、变形与组合； 3.针对复杂表达式，通过角度统一、函数名统一、辅助角公式进行化简，结合角的变换简化计算； 4.熟练处理角的和差、倍半、互补关系，通过拼凑特殊角或引入中间角简化问题.
知识点1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）；（2）
（3）；（4）
（5）
（6）
自主检测已知，都是锐角，，，则 .
【答案】
【详解】根据两角差的正切公式，.
故答案为：.
知识点2 二倍角公式
（1）
（2）
（3）
自主检测已知角的终边不在坐标轴上，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为角的终边不在坐标轴上，则，，
由，化简可得.
故选：A.
知识点3 降幂公式和升幂公式
（1）降幂公式： ；；
（2）升幂公式：；；
；
自主检测已知，则的值是 .
【答案】/0.64
【详解】由题得，则，
两边同时平方可得，故.
故答案为：.
知识点4 辅助角公式：
，其中 ，
自主检测（多选）已知函数，则（ ）
A．的周期是 B．是的对称轴
C．的最大值为2 D．是的对称中心
【答案】ABD
【详解】因为，最小正周期为，一般周期都是指最小正周期，故A正确；
因为，故是的对称轴，故B正确；
，故C错误；
因为，故点是的对称中心，故D正确.
故选：ABD.
题型1 和、差、倍角公式的直接应用
例1-1已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，且，
所以，，
则.
故选：A.
例1-2已知，为第三象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，且为第三象限角，
结合可知，
所以.
（2）.
【变式1-1】的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
.
故选:C.
【变式1-2】已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为角的终边经过点，则，.
所以.
故选：B
【变式1-3】已知角的终边上有一点，则 ．
【答案】/
【详解】由三角函数的定义，知，所以，
．
故答案为：
题型2 和、差、倍角公式的的逆用及变形
例2-1下列选项中，值为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】A、利用二倍角公式，
可得：，A错误.
B、利用余弦和角公式，
得：因此原式为：，B错误.
C、利用正切和角公式，令，
则，C正确.
D、利用递推积化和差公式，结合，得：.
D错误.
故选：C.
例2-2（ 2025·湖北·模拟预测）已知，且，则 ．
【答案】/
【详解】因为，
所以，
所以，即，
又因为，所以，
所以.
故答案为：.
【变式2-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】.
故选：B.
【变式2-2】已知满足，则 ．
【答案】
【详解】由，
可得：，
即，
所以，
故答案为：
【变式2-3】已知，则 .
【答案】/
【详解】，
.
故答案为：.
题型3 正余弦的对偶式
例3-1已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为
所以
所以，
，
所以，
整理得：
所以
故选：B
例3-2已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，，
所以两式平方相加得，
即，
又因为，
所以，即，，
将代入，
得，即，
所以.
故选：D.
【变式3-1】已知α，β均为锐角，且满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
所以，
，
因为，均为锐角，所以，
故
故选：D.
【变式3-2】（多选）已知，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】由已知，得，，
两式分别平方相加，得，，
整理得，∴，∴A正确；
同理由，，两式分别平方相加，易得，∴B正确；
由，，两式分别平方相加，易得．
∵，∴，∴，
∴，∴C正确，D错误.
故选：ABC．
题型4 辅助角公式的基本应用
例4-1函数的单调减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，因在上单调递减，则，
则.
故选：D
例4-2（多选）若，则的一个可能的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】因为，
且，
所以,解得： ,.
所以的一个可能的值是,.
故选：AB
【变式4-1】已知函数的最大值为3，则实数的值为 .
【答案】
【详解】，
因为函数的最大值为3，
所以，（舍去），
所以实数的值为.
故答案为：.
【变式4-2】已知为锐角且，则 .
【答案】/
【详解】由可得，
由于为锐角，所以，故，
进而可得，
故，
故答案为：
【变式4-3·变载体】函数的最大值 .
【答案】
【详解】由于，
所以是一个周期为的函数，
我们只需要研究一个周期，即，
当时，，此时，
由于，所以，即，
当时，，此时，
由于，所以，即，
所以综上的最大值为.
故答案为：
题型5 给角求值
例5-1求值： ．
【答案】1
【详解】
，
故答案为：1
例5-2式子化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】原式
.
故选：B.
【变式5-1】求值： ．
【答案】
【详解】方法一：原式
；
方法二：令原式乘以得，
，
则原式．
故答案为：.
【变式5-2】的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】原式.
故选：A
题型6 利用拼凑角思想给值求值
例6-1已知，均为锐角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，
又因为，均为锐角，则，所以，，
所以，
故选：C
例6-2已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由，得，
又，所以，
所以，
所以.
故选：D
方法技巧 拼凑角思想
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,一般会用到几个特殊角等，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”,或者将“所求角”转化为与“已知角”及特殊角之间的关系.
【变式6-1】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，
，
，
.
故选：A
【变式6-2】已知，，，均为锐角，则=（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为， ，
所以，
又因为，所以，
因为，
所以，
所以，
又因为，
所以.
故选：B.
【变式6-3】若，则 .
【答案】/0.8
【详解】解：因为，
且，
所以.
故答案为：
【变式6-4】（ 2024·安徽·二模）已知，则 .
【答案】/
【详解】因为
，
，
，
因为，
所以，所以，
故
故答案为：.
题型7 利用拼凑角思想给值求角
例7-1若，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，符号相同，
又，，，
由可得，
又，，，
所以，，
，
由，，得，，
故选：A．
例7-2已知角，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】角，由得，
则，又因为在上单调递增，则，
而，
同理有，
所以，
且，得.
故选：A.
易错分析 求解时忽略角的范围
根据已知角的范围和三角函数的取值，需要精确确定未知角的范围，并进行定号
【变式7-1】已知，，，，则的值为 .
【答案】
【详解】因为，，则，
所以，
则，
且，，，
则.
故答案为：
【变式7-2】已知，为锐角，，且．
(1)求的值；
(2)求角的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由，为锐角，则，
又，则，
所以，
即，
所以……① 又……②
由为锐角，由①②解得：．
（2）由（1）知，又，
即．
由，且，则，所以，
又，则，所以．
法二：因为，为锐角，，，解得：，，
由，又，
所以，
则
，
由，且，则，所以，
又，则，所以．
【变式7-3】若，，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，，则，
又因为，则，
由二倍角正切公式可得，
所以，，
因为，，则，即，
因此，.
故选：B.
题型8 非特殊角的辅助角的应用
例8-1已知函数的最大值为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题设
，且，
所以，则，可得，
所以.
故选：C
例8-2设当时，函数取得最大值，则 .
【答案】
【详解】因为，
令，，
则，
当，，即，时，取最大值，
此时，，所以.
故答案为：.
【变式8-1】已知函数在处取得最小值，则 .
【答案】
【详解】因为， 其中
因为函数在处取得最小值，则
则 ，即 ，
所以
故答案为：
【变式8-2】设，若恒成立，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，其中，
因为恒成立，所以，即，
则.
故选：B.
【变式8-3·变载体】已知，函数的最大值与最小值之差为2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若，取，则，，符合题意；
若，由，所以只需考虑即可．
由，，所以，当且仅当时取等，即；
求的最大值只需考虑，则，，当时取等号，
所以，即，即，所以，
同理时可得．
综上，．
故选：C．
题型9 积化和差、和差化积公式
例9-1的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】首先，我们先对合理变形，
得到，
，
由积化和差公式得，
同理可得，
，
则，
得到，故A正确.
故选：A
例9-2（ 2024·广东·一模）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
得到，又，所以，
所以，
故选：B.
方法技巧 公式及口诀
（1）积化和差
，
，
口诀：积化和差得和差，余弦在后要相加；异名函数取正弦，正弦相乘取负号
（2）和差化积
，
，
口诀：正弦加正弦，正弦在前；正弦减正弦，余弦在前；余弦加余弦，余弦并肩；余弦减余弦，余弦不见负号显
【变式9-1】函数在区间的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】由，，
令，则，或，
故或，即或，
由，则或，
即或，
故或，
综上所述，存在个零点,即为.
故选：C.
【变式9-2】若 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】法一：
因为，所以，
即，
即，即，即.
法二：
.
故选：D.
【变式9-3】已知，则 .
【答案】
【详解】由，
可得
，
则.
故答案为：.
题型10 万能公式
例10-1已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由，
得，
则，而．
故选：B
方法技巧 万能公式
通过万能公式将三角函数全部转化为，可减少变量的存在，大大简化计算过程
【变式10-1】若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，
可得，
可得，
解得，因为，所以，
所以，
所以.
故选：C.
【变式10-2】已知且，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】D
【详解】由，，
所以，即，
又，可得.
故选：D
【变式10-3】已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，即；
即，故
令，则（当且仅当时等号成立）
故选：B．
题型11 三角恒等变换的综合应用
例11-1已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】C
【详解】函数
，
令 ，得到对称轴，
图象关于直线对称，
，
易知，
，
当为奇数时，设，
此时，，
，
；
当为偶数时，设，
，，
，
，
综上，知的值为或 .
故选：C.
例11-2已知，．
(1)求、的值；
(2)求的值；
(3)若、均为锐角，且，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）由题意得，得．
（2）．
（3）由，得．
由，得，得，
所以，，
由，得，
，
所以
．
【变式11-1】若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由可知，
在上述等式两边同除可得，可得，
解得，
所以，
当时，，
当时，，
综上所述，，因此，.
故选：B.
【变式11-2】已知函数，，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】因为，则，则，，
所以
，
令，，
则函数在区间上单调递减，
故当时，函数取最大值，即，
故函数在上的最大值为.
故答案为：.
【变式11-3】已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若锐角满足，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）.
，
所以函数的最小正周期.
（2）因为，得，
又因为是锐角，所以，
因为是锐角，所以，且，所以，
则
，
故.
题型12 三角恒等变换的实际应用
例12-1筒车是一种水利灌溉工具（如图所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图所示，盛水桶在处距水面的距离为.后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【详解】如图，

过作直线与水面平行，
过 作，垂足为点，过 作，垂足为点，
设，，则，其中，
则，，
所以，，
所以，
整理可得，
因为，则，所以，，解得.
故选：A.
例12-2如图，在直径为1的圆中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中.
(1)将十字形的面积表示成的函数；
(2)求十字形面积的最大值，并求出此时的值.
【答案】(1)
(2)，此时
【详解】（1）解：如图所示：，为锐角，
因为，所以，解得，
所以，
（2）解：由（1）知，
（其中），
当，，即当时，十字形取得最大面积，．
因为
所以
此时，
所以
综上，，此时
【变式12-1】某工厂制作如图所示的一种标识，在半径为的圆内做一个关于圆心对称的“”型图形，“”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成，两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的倍，设为圆心，，记矩形的面积为，则的最大值为 .
【答案】
【详解】过点作，垂足为，设交于点，
则、分别为、的中点.
设四边形为横向矩形，如图所示，
由题意可知，，
因为，，所以，
所以.
所以矩形的面积
，其中，且为锐角，
因为，则，
故当时，即当时，取得最大值为.
故答案为：.
【变式12-2】某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（ ）
A．10cm B． C． D．
【答案】B
【详解】过O点作，分别交BC，AD于E，F两点，如图所示
设，则，，
由，，得，
则，，
，
当，即时，OB取得最大值，
此时
故选：B.
【变式12-3】已知某标准足球场长105米，宽68米，球门宽7.32米，某球员沿边线带球进攻，他距离底线多远处射门，命中率最高？（注：对球门所张的角最大时命中率最高）
【答案】33.40米.
【详解】如图设，由题可知，，
所以，
所以
，
当且仅当，即取等号，此时最大，
因为是锐角，
所以当时，最大，即球员沿边线带球进攻，他距离底线33.40米处射门对球门所张的角最大，命中率最高.
1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对A，，周期，故A正确；
对B，，周期，故B错误；
对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误；
对于选项D，，周期，故D错误，
故选：A．
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
因为，则，则，
则.
故选：D.
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：直接法
由已知得：,
即：，
即：
所以
故选：C
[方法二]：特殊值排除法
解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B；
再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C.
故选：C.
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
而，所以，
故即，
从而，故，
故选：A.
5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，，
所以，
故选：B.
6．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 .
【答案】
【详解】由题意得，
因为，，
则，，
又因为，
则，，则，
则，联立 ，解得.
故答案为：.
7．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
故选：ABC
8．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ．
【答案】
【详解】利用辅助角公式处理
∵，∴，即，
即，令，，
则，∴，即，
∴ ，
则.
故答案为：；.
1．以表示的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】．
故选：D.
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【详解】依题意，，则，
又，则
所以.
故选：B
3．（多选）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】由题得，
则，则，
又，则，
故，A正确；
，B错误；
由可知，故，C正确；
，D正确．
故选：ACD
4．已知，则 ．
【答案】
【详解】，
解得，
解得，故．
故答案为：.
5．若，则 ．
【答案】
【详解】因为，
所以
．
故答案为：.
6．已知，且，则 ．
【答案】
【详解】因为，
所以，
由得，
则，
又，
且，
所以．
故答案为：.
7．已知，求的值．
【答案】
【详解】解：由题意得①，②，
得，则，
又因为，所以．
由可知，则，
故．
8．已知锐角满足．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1），则，
由为锐角，则，
故．
（2）结合（1）可知，
则，
解得．
9．已知，且．
(1)求的值；
(2)若角为第一象限角，且是方程的两个实根，则是否有可能成为三角形的两个内角（给出证明过程）．
【答案】(1)
(2)可能为三角形的两个内角，证明见解析
【详解】（1）因为
，
即，
所以，即，
因为，所以当时，．
（2）因为是方程的两个实根，所以，
由（1）得，所以，
因为，若为三角形的一个内角，则三角形另外两角之和等于，
因为为锐角，且，所以当时，
可能为三角形的两个内角．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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