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第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
01 考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 函数的极值 3
知识点2 函数的最大（小）值 4
知识点3 函数的最值与极值的关系 5
题型破译 6
题型1 函数图象与极值（点），最值的关系 6
题型2 求已知函数的极值（点） 8
题型3 根据函数的极值（点）求参数 10
【方法技巧】根据极值点求参数要回代检验
题型4 求函数的最值（不含参） 13
【方法技巧】求区间上函数最值步骤
题型5 求函数的最值（含参） 16
题型6 根据函数的最值求参数 19
题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用 23
04真题溯源·考向感知 28
05课本典例·高考素材 32
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函数的极值 （2）函数的最值 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T18（1）（4分） 全国二卷T13（5分） 上海卷T19（2）（8分） 北京卷T20（1）（4分） 全国一卷T19（1）（4分） 全国甲卷（理）T21（1）（5分） 全国 II卷T16（2）（9分） 全国乙卷（理）T21（3）（6分） 全国 II卷T22（2）（9分） 全国 II卷T5（5分） 北京卷T20（3）（7分）
考情分析： 高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
复习目标： （1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． （2）会用导数求函数的极大值（点）、极小值（点）． （3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．
知识点1 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
自主检测（2025·四川·三模）函数的极小值是 .
【答案】
【详解】由题意可得，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减，
故.
故答案为：.
知识点2 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
自主检测已知函数在时取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为；
(3)-8
【详解】（1），由题意得，
即，解得，
故，
令得或，令得，
故为极小值点，满足要求；
（2）由（1）可知，，
或时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由（1）知为极小值点，，
又，，
显然，故在区间上的最小值为-8
知识点3 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
自主检测已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
【答案】(1)极小值为，极大值为0
(2)，.
【详解】（1）定义域，令，，
0 2
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减
当时，有极小值，极小值为；
当时，有极大值，极大值为．
（2）
0 2 3
0 0
16 单调递减 极小值 单调递增 极大值0 单调递减
所以，.．
题型1 函数图象与极值（点），最值的关系
例1-1已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
【答案】C
【详解】由题图知，在上，则在上单调递减，
在上，则在上单调递增，
所以在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值.
故选：C
例1-2（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取最大值 B．是的极大值点
C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点
【答案】ACD
【详解】当时，，
函数单调递增，
同理可得：当时，，函数单调递减，
所以为函数的极大值，
当时，，函数单调递减，
当时，函数单调递减，
所以函数在上单调递减，
从而在处取最大值，且没有极小值点，故A,C正确，B错误；
又和时，，
，而在时等于0，所以不一定等于0，
当时，是导函数的极大值点，
当时，不是导函数的极大值点，所以D正确.
故选：ACD.
【变式训练1-1】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值
【答案】ABC
【详解】
根据的图象可知：函数在上单调递增，故A正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数有2个极值点，故B正确；
根据的图象可知：在时，，所以函数在上单调递减，故C正确；
根据的图象可知：有三个解，其中和是导函数的变号零点，
而是不是导函数的变号零点，故函数在处无极值，故D错误；
故选：ABC．
【变式训练1-2】（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点
【答案】BCD
【详解】对AB，设的根为，且，则由图可知，
函数在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，
在内单调递减，所以函数在区间内有极小值，
当时，是函数在区间内的最小值，
所以A错误，B正确；
对C，函数在区间内有极大值，所以C正确；
对D，当时，函数在内没有零点，所以D正确．
故选：BCD．
【变式训练1-3】（多选）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A． B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值
【答案】ABC
【详解】对A：由图可知，，故A正确；
对B：由图可知，当时，恒成立，
故函数在上单调递减，故B正确；
对C：由图可知，当时，，当，，
故函数在处取得极大值，故C正确；
对D：由图可知，当时，恒成立，
故在上单调递增，无最大值，故D错误.
故选：ABC.
题型2 求已知函数的极值（点）
例2-1（2025·广东·模拟预测）已知函数，则的极小值为 .
【答案】
【详解】因为，所以，
当 时，，故 ，
所以，
当 时，，故 ，
所以，
综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增，
又因为，，
即，所以的图象关于直线对称，
故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 .
故答案为：
例2-2函数的极值是 .
【答案】
【详解】由的定义域为，，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
故在取得极小值为，无极大值；
故答案为：.
【变式训练2-1】已知函数，则的极大值为 ．
【答案】/
【详解】函数的定义域为，且，令，可得，列表如下，
x e
+ 0 -
单调递增 极大值 单调递减
所以函数的极大值为．
故答案为：
【变式训练2-2】已知函数，则的极小值为
【答案】
【详解】易知函数的定义域为，由题知，
令，得到，当时，，当时，，
所以在处取得极小值，极小值为，
故答案为：.
【变式训练2-3】若函数在处取得极大值，则的极小值为
【答案】
【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极大值，可得，
即，解得，
将，代入可得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，函数取得极小值，极小值为.
故答案为：.
题型3 根据函数的极值（点）求参数
例3-1（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
【答案】A
【详解】函数，求导得，
依题意，，即，解得或，
当时，，
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减，
此时在时取得极大值，满足题意，因此；
当时，，则在上单调递增，不符合题意，
所以.
故选：A
例3-2已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
因为函数有两个极值点，
所以有两个不同的正实数解，
所以有有两个不同的正实数解，
即二次函数有两个不同的正零点，
所以有，解得.
故选：D.
方法技巧 根据极值点求参数要回代检验
在函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
【变式训练3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由，求导可得，
由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解，
即方程存在唯一解，
令，求导可得，由，解得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，则，
当时，，则，当时，，
易知当，即时，方程存在唯一解，
当时，，易知方程的解为，
由当时，，，则，同理可得当时，，
所以此时函数无极值点，不符合题意；
当时，，易知函数在上单调递增，符合题意.
故选：B.
【变式训练3-2】已知函数 在 时有极值 ，则 ．
【答案】
【详解】，有极值前提 ．
或 ．
当时，函数，函数在R上单调递增，函数无极值，舍去.
同理，当时，经验证，满足条件.
则.
故答案为：11.
【变式训练3-3】已知函数在处取得极大值，则 .
【答案】/
【详解】由，
得，
则，
解得或，
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极小值，不成立；
当时，，，
此时函数在，上单调递增，在上单调递减，
即函数在处取极大值，成立；
综上所述，
故答案为：.
题型4 求函数的最值（不含参）
例4-1已知函数．
(1)若在R上单调递增．求实数m的取值范围；
(2)若，求在上的值域．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，所以．
因为在上单调递增，所以恒成立，
则，解得，即实数的取值范围是．
（2）因为，则，
则，
由，得或；由，得．
可知在上单调递增，在上单调递减．
因为，
所以在上的值域为．
例4-2已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
【答案】(1)
(2)最大值为4，最小值为
【详解】（1）由题可知，，解得．
此时，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值．所以．
（2）由（1）可知，在单调递增，在单调递减，在单调递增．
又因为，
所以函数在区间上的最大值为4，最小值为．
方法技巧 求区间上函数最值步骤
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【变式训练4-1】已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值．
【答案】(1)，
(2)
(3)最大值为，最小值为
【详解】（1），在处取得极值，
，解得：；
当，时，，
当时，；当时，；
在，上单调递减，在上单调递增，
是的极小值点，满足题意；
综上所述：，.
（2）由（1）得：，，，，
在点处的切线方程为：，即.
（3）由（1）知：在，上单调递减，在上单调递增；
，
又，，，
在上的最大值为，最小值为.
【变式训练4-2】已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在上的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，，单调递减区间为
(3)最大值为，最小值为
【详解】（1）因为，则，，
所以，所以函数在处的切线方程为；
（2）函数的定义域为R，且.
由，解得或，所以的单调递增区间为，；
由，解得，所以的单调递减区间为.
（3）由（2）可知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极大值，在处取得极小值，
又，，，，
所以函数在上的最大值为，最小值为.
【变式训练4-3】设函数.
(1)求在处的切线方程与坐标轴围成的三角形面积；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【答案】(1)，
(2)，
【详解】（1）由题意可知，，则，
又，
则在处的切线方程为：，即，
所以在处的切线方程；
令，则，令，则，；
（2）令，解得：或，
则，，变化如表，
0 0
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，；
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减；
又，，
，，
所以，.
题型5 求函数的最值（含参）
例5-1（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）当时，，求导得：，
则，，
则在处的切线方程：，即；
（2）由求导得：，
①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值；
②当时，由，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，在单调递增，
所以在有最小值，为,无最大值.
例5-2已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
【详解】（1），
由，得；由，得．
在上单调递增，在上单调递减．
的极小值为，无极大值．
（2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减．
，．
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
②当时，在上单调递增，．
.
【变式训练5-1．已知函数.
(1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值；
(2)求函数在上的最大值.
【答案】(1)，.
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
又，所以，
综上所述，.
（2）因为，
（ⅰ）当时，恒成立，
所以函数在上单调递增，
所以；
（ⅱ）当时，由，解得或，
当或时，，则在和上单调递增，
当时，，则在上单调递减；
①当时，即，所以函数在上单调递减，
所以；
②当时，即，函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，则，
所以当时，，当时，，
当时，，
所以，
综上所述，当时，；当时，.
【变式训练5-2】已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）由题意知：的定义域为，；
当时，，恒成立，在上单调递增，
无极值；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增；
的极小值为，无极大值；
综上所述：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.
（2）当时，在上恒成立，在上单调递增，
；
当时，若，；若，；
在上单调递减，在上单调递增，
；
当时，在上单调递减，；
综上所述：在上的最小值.
【变式训练5-3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
【答案】(1)在上为增函数；在上为减函数；
(2)
【详解】（1）的定义域为，
当时，，，
当，解得：，
当，解得：．
在上为增函数；在上为减函数；
（2）的定义域为，
，
当时，令，得，令时，得，
的递增区间为，递减区间为．
.
题型6 根据函数的最值求参数
例6-1已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【详解】（1）易知的定义域为，
可得；
若，可得，此时在上单调递增；
若，令，解得；
当时，，即可得在上单调递减；
当时，，即可得在上单调递增；
综上可得，时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，
此时无最小值，不合题意；
当时，可知在上单调递减，在上单调递增；
此时在处取得极小值，也是最小值；
因此，解得，符合题意；
当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意；
综上可知，
例6-2（2025·河北·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）函数的定义域为，求导得，
当时，，函数在上单调递减，
，解得，不符题意舍去；
当时，由得，；由得，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，满足，则；
②当，即时，在上单调递减，
则，解得，不满足，不符题意舍去.
所以.
【变式训练6-1】已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数定义域为，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值，
又函数在内有最小值，则，解得，
所以实数的取值可以是.
故选：D
【变式训练6-2】已知函数（其中为常数）在处取得极值.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上的最大值为2，求的值.
【答案】(1)极大值为：，极小值
(2)或.
【详解】（1）因为，所以，
因为函数在处取得极值，，
当时，，，
，随的变化情况如下表：
1
+ 0 - 0 +
增 极大值 减 极小值 增
所以的单调递增区间为，；单调递减区间为，
极大值为：，极小值，
（2）当时，由，可知，
，，
易知当时，，当时，，
所以，在单调递增，在单调递减，
此时最大值为，不符合题意，
当时，由，得到，
所以，
令，，，
因为在处取得极值，所以，
当时，易得在上恒成立，
在上单调递减；
所以在区间上的最大值为，
令，解得，
当，；
当时，易得在恒成立，
在上单调递增，
所以，解得，符合；
当时，
由得，由得
所以在上单调递减，上单调递增，
所以最大值2可能在或处取得，而，
所以，
解得，与矛盾
当时，可以在恒成立，
所以在单调递减，
所以最大值2可能在处取得，而，矛盾
综上所述，或.
【变式训练6-3】已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在上的最大值是，求的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）依题意得函数的定义域为，
则，．
当时，在上恒成立，
即函数在上单调递增；
当时，令，则；
令，则；
故函数在上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增；在上单调递减．
（2）若，由（1）可知，函数在上单调递增，
此时不存在最大值，与题意不符，
若，则函数在上单调递增，在上单调递减，
若要使得函数在上存在最大值，则，即，
且此时最大值为．
令，解得，故a的值为．
题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用
例7-1（2025·北京·二模）已知函数，其中．
(1)若曲线在点处的切线经过点，求的值；
(2)证明：函数存在极小值；
(3)记函数的最小值为，求的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)0
【详解】（1）求导，得，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为，
将点代入切线方程，得．
（2）函数的定义域为．
设函数，则，
由，得，
所以函数在上单调递增，
因为，
所以存在唯一的，使得，即．
当变化时，与的变化情况如下：
- 0 +
极小值
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
故函数存在极小值．
（3）由（2）知，函数有最小值．
由，得．
所以．
设函数，则．
今，得（舍）或．
当变化时，与的变化情况如下：
1
+ 0 -
极大值
所以函数在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，，即当时，．
结合，知当时，．
由函数的导数，知其在区间上单调递减，
故当且仅当时．
所以当时，取得最大值0．
例7-2（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的极大值；
(2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，，
，
令，解得或，
当或，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
所以当时，的极大值为.
（2），，
当时，，，单调递增，无最小值，不符题意；
当时，令，则或，
当时，，，所以单调递增，无最小值，
当时，当，，当，，
所以在单调递减，在上单调递减，所以当时，有最小值，
最小值为，
所以，即，
化简得，即，
解得，即.
【变式训练7-1】已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若，求在区间的最小值．
【答案】(1)极大值，极小值；
(2)时，最小值为；时，最小值为.
【详解】（1）当时，的定义域为，且，
所以，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，在处取得极大值，在处取得极小值.
（2）由题意，，
令，解得或.
因为，所以当或时，；当时，，单调递减.
所以，当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则在区间的最小值为.
当即时，在上单调递减，则在区间的最小值为.
综上所述，时，在区间的最小值为；
时，则在区间的最小值为.
【变式训练7-2】（2024·四川成都·模拟预测）设.
(1)当时，求的极小值；
(2)若的极大值为4，求的值.
【答案】(1)0
(2)
【详解】（1）.
当时，，，
在上单调递减，上单调递减，
在上单调递增，
因此的极小值为.
（2）当时，，无极值；
当时，，，
在上单调递减，上单调递减，
在上单调递增，有极小值，极大值.
当时，由，解得.
当时，，，
在上单调递减，上单调递减，
在上单调递增，有极小值，极大值；
当时，，即.
设，则，
因此在上单调递减，，所以无解.
综上可知，当且仅当时，的极大值为4.
【变式训练7-3】设函数
(1)当时，求的极值；
(2)已知，若单调递增，求的最大值；
(3)已知，设为的极值点，求的最大值.
【答案】(1)极小值为，无极大值
(2)
(3)
【详解】（1）当时，，则
令，解得
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以的极小值为，无极大值；
（2）解法一：由，
若单调递增，必有恒成立；
令，有，
当时，由已知单调递增，但，不合题意
当时，令，可得，
故函数的减区间为，增区间为，有
又由函数单调递减，且.
又由，故a的最大值为.
解法二：，依题意恒成立，
所以，故
因为，所以，
当时，，
设，则
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以
所以满足题意，即的最大值为；
（3）当时，易知单调递增.
易知，
所以存在使得，即，为的极小值点，
所以，其中，
设，则
整理得
因为，，
所以当时，，在上单调递增
当时，，在上单调递减，
所以，即的最大值为.
1．（多选）（2024·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】ACD
【详解】对A，因为函数的定义域为R，而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，，
所以，正确；
故选：ACD.
2．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值点，故D错误.
故选：.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
【答案】(1)极小值为，无极大值.
【详解】（1）当时，，
故，
因为在上为增函数，
故在上为增函数，而，
故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【详解】（1）构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
构建，
则，
构建，则对恒成立，
则在上单调递增，可得，
即对恒成立，
则在上单调递增，可得，
所以；
综上所述：.
（2）令，解得，即函数的定义域为，
若，则，
因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递减，在上单调递增，
故是的极小值点，不合题意，所以.
当时，令
因为，
且，
所以函数在定义域内为偶函数，
由题意可得：，
（i）当时，取，，则，
由（1）可得，
且，
所以，
即当时，，则在上单调递增，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，
所以是的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当时，取，则，
由（1）可得，
构建，
则，
且，则对恒成立，
可知在上单调递增，且，
所以在内存在唯一的零点，
当时，则，且，
则，
即当时，，则在上单调递减，
结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，
所以是的极大值点，符合题意；
综上所述：，即，解得或，
故a的取值范围为.
5．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
1.(人教A版选择性必修第二册练习)求下列函数的极值
（1） （2）
【答案】（1）函数有极小值，即（2）当时，函数有极大值，，当时，函数有极小值，
【详解】（1），，令。则，当时，，当时，，当时，函数有极小值，即
，，令，则，当时，，当时，，当时，，所以，当时，函数有极大值，，当时，函数有极小值，
2．(人教A版选择性必修第二册例题8)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
【答案】(1)当时，每瓶饮料的利润最大
(2)当时，每瓶饮料的利润最小
(3)
【详解】（1）解：由题知：每瓶饮料的利润为：
，，
所以，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
又，
所以，当时，每瓶饮料的利润最大；
（2）由（1）知：当时，每瓶饮料的利润最小；
3．(人教A版选择性必修第二册练习)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）最大值为，最小值为；（3）最大值为，最小值为；（4）最大值为，最小值为.
【详解】（1），则，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极小值为，而，，
∴在上最大值为，最小值为.
（2），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增；
∴在上的极大值为，极小值为，而， ，
综上，在上最大值为，最小值为.
（3），则时有，
∴时，，单调递减；
∴在上最大值为，最小值为.
（4），则时有，
∴时，，单调递增；时，，单调递减；
∴在上的极大值为，而， ，
∴在上最大值为，最小值为.
4．(人教A版选择性必修第二册练习)已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
【答案】当q=84时，利润最大
【详解】先求出利润L关于q的函数关系式.,显然当q=84时，利润最大
5．(人教A版选择性必修第二册练习)已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
【答案】
【详解】设销售价为x，可获得的利润为y，
则，
求导得，令，
解得，由知，，
当时，，函数单增；
当时，，函数单减；
因此是函数的极大值点，也是最大值点；
故当销售价为元/件时，可获得最大利润.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 导数与函数的极值、最值
目录
01 考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 函数的极值 3
知识点2 函数的最大（小）值 4
知识点3 函数的最值与极值的关系 4
题型破译 5
题型1 函数图象与极值（点），最值的关系 5
题型2 求已知函数的极值（点） 6
题型3 根据函数的极值（点）求参数 6
【方法技巧】根据极值点求参数要回代检验
题型4 求函数的最值（不含参） 7
【方法技巧】求区间上函数最值步骤
题型5 求函数的最值（含参） 9
题型6 根据函数的最值求参数 10
题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用 12
04真题溯源·考向感知 13
05课本典例·高考素材 14
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）函数的极值 （2）函数的最值 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T18（1）（4分） 全国二卷T13（5分） 上海卷T19（2）（8分） 北京卷T20（1）（4分） 全国一卷T19（1）（4分） 全国甲卷（理）T21（1）（5分） 全国 II卷T16（2）（9分） 全国乙卷（理）T21（3）（6分） 全国 II卷T22（2）（9分） 全国 II卷T5（5分） 北京卷T20（3）（7分）
考情分析： 高考对最值、极值的考查相对稳定，属于重点考查的内容．高考在本节内容上无论试题怎样变化，我们只要把握好导数作为研究函数的有力工具这一点，将函数的单调性、极值、最值等本质问题利用图像直观明了地展示出来，其余的就是具体问题的转化了．最终的落脚点一定是函数的单调性与最值，因为它们是导数永恒的主题．
复习目标： （1）借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件． （2）会用导数求函数的极大值（点）、极小值（点）． （3）会求闭区间上函数的最大值、最小值．
知识点1 函数的极值
一般地，对于函数，
（1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值.
（2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值．
（3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值.
注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数.
自主检测（2025·四川·三模）函数的极小值是 .
知识点2 函数的最大（小）值
一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值.
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
自主检测已知函数在时取得极值．
(1)求a的值；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在区间上的最小值．
知识点3 函数的最值与极值的关系
（1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言；
（2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）；
（3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点；
（4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.
自主检测已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在上的最大值和最小值．
题型1 函数图象与极值（点），最值的关系
例1-1已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（ ）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
例1-2（多选）已知函数，的图象是一条连续不断的曲线，设其导数为，函数的图象如下，则下列说法正确的是（ ）
A．在处取最大值 B．是的极大值点
C．没有极小值点 D．可能不是导函数的极大值点
【变式训练1-1】（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增 B．函数至少有2个极值点
C．函数在上单调递减 D．函数在处取得极大值
【变式训练1-2】（多选）函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．函数在内一定不存在最小值 B．函数在内只有一个极小值点
C．函数在内有两个极大值点 D．函数在内可能没有零点
【变式训练1-3】（多选）已知定义在上的函数的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）

A． B．函数在上单调递减
C．函数在处取得极大值 D．函数有最大值
题型2 求已知函数的极值（点）
例2-1（2025·广东·模拟预测）已知函数，则的极小值为 .
例2-2函数的极值是 .
【变式训练2-1】已知函数，则的极大值为 ．
【变式训练2-2】已知函数，则的极小值为
【变式训练2-3】若函数在处取得极大值，则的极小值为
题型3 根据函数的极值（点）求参数
例3-1（湖南省天壹T8联盟2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题）已知函数，当时，有极大值，则（ ）
A． B． C．0 D．或1
例3-2已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 根据极值点求参数要回代检验
在函数极值问题中，一定要检验方程根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．
【变式训练3-1】（2025·黑龙江哈尔滨·三模）若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练3-2】已知函数 在 时有极值 ，则 ．
【变式训练3-3】已知函数在处取得极大值，则 .
题型4 求函数的最值（不含参）
例4-1已知函数．
(1)若在R上单调递增．求实数m的取值范围；
(2)若，求在上的值域．
例4-2已知函数在时取得极大值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数在区间上的最值.
方法技巧 求区间上函数最值步骤
设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为：
（1）求在内的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
【变式训练4-1】已知函数在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求曲线在点处的切线方程；
(3)求函数在上的最值．
【变式训练4-2】已知函数
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间；
(3)求函数在上的最大值和最小值.
【变式训练4-3】设函数.
(1)求在处的切线方程与坐标轴围成的三角形面积；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
题型5 求函数的最值（含参）
例5-1（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求在处的切线方程；
(2)讨论的单调性，并求最值.
例5-2已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)求函数在区间上的最小值．
【变式训练5-1．已知函数.
(1)已知在点处的切线方程为，求实数，的值；
(2)求函数在上的最大值.
【变式训练5-2】已知函数．
(1)讨论的极值；
(2)求在上的最小值．
【变式训练5-3】已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，求函数的最大值．
题型6 根据函数的最值求参数
例6-1已知函数，.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在上的最小值是，求a的值.
例6-2（2025·河北·三模）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值.
【变式训练6-1】已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-2】已知函数（其中为常数）在处取得极值.
(1)当时，求的极值；
(2)若在上的最大值为2，求的值.
【变式训练6-3】已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)若在上的最大值是，求的值．
题型7函数的单调性、极值、最值的综合应用
例7-1（2025·北京·二模）已知函数，其中．
(1)若曲线在点处的切线经过点，求的值；
(2)证明：函数存在极小值；
(3)记函数的最小值为，求的最大值．
例7-2（2025·四川泸州·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的极大值；
(2)若在有最小值，且最小值大于，求的取值范围.
【变式训练7-1】已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若，求在区间的最小值．
【变式训练7-2】设.
(1)当时，求的极小值；
(2)若的极大值为4，求的值.
【变式训练7-3】设函数
(1)当时，求的极值；
(2)已知，若单调递增，求的最大值；
(3)已知，设为的极值点，求的最大值.
1．（多选）（2024·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
2．（多选）（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数．
(1)当时，求的极值；
4．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（1）证明：当时，；
（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．
5．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
1.(人教A版选择性必修第二册练习)求下列函数的极值
（1） （2）
2．(人教A版选择性必修第二册例题8)某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制作商能制作的瓶子的最大半径为6cm．
(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？
(2)瓶子的半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
3．(人教A版选择性必修第二册练习)求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
（1），
（2），
（3），
（4），
4．(人教A版选择性必修第二册练习)已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？
5．(人教A版选择性必修第二册练习)已知某商品进价为a元/件，根据以往经验，当售价是b元/件时，可卖出c件.市场调查表明，当售价下降10%时，销量可增加40%．现决定一次性降价，销售价为多少时，可获得最大利润？
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