资源简介

第03讲 等比数列及其前n项和
目录
01考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 等比数列的概念 3
知识点2等比数列的有关公式 4
知识点3 等比数列的性质 4
题型破译 5
题型1 等比数列基本量计数 5
【方法技巧】等比数列基本量计算方法
题型2 等比数列的判断与证明 7
【方法技巧】判断与证明等比数列
题型3 等比数列角标和性质 9
【方法技巧】等比数列角标和性质
题型4 等比数列片段和性质 10
【方法技巧】等比数列片段和性质
题型5 奇数项与偶数项求和问题 12
【方法技巧】等比数列奇偶项和问题
题型6 等比数列与等差数列综合 14
题型7 等比数列实际应用 16
04真题溯源·考向感知 19
05课本典例·高考素材 21
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等比数列的有关概念 （2）等比数列的通项公式与求和公式 （3）等比数列的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T7，（5分） 全国一卷T13，（5分） 北京卷T5，（4分） 全国甲卷（文）T17（1），（5分） 全国甲卷（理）T5，（5分） 全国II卷T8，（5分） 2全国乙卷（理）T15，（5分） 天津卷T19（2），（10分） 天津卷T5，（5分）
考情分析：高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
复习目标： （1）理解等比数列的概念． （2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）了解等比数列与指数函数的关系．
知识点1 等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项 ，，成等比数列 .
自主检测已知数列满足，，（），则的前项和为 ．
【答案】
【详解】因为,
所以数列是公比为的等比数列，
因为,
所以,
所以,
.
故答案为：15.
知识点2等比数列的有关公式
1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
自主检测（2025·陕西·模拟预测）已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为 ．
【答案】
【详解】由题意可得，则，即，
则的通项公式为.
故答案为：
知识点3 等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
自主检测等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．4 B． C．或4 D．
【答案】C
【详解】由是方程的两个根，可得，
因为数列为等比数列，可得且，所以，
所以或.
故选：C.
题型1 等比数列基本量计数
例1-1已知等比数列中，，则公比 .
【答案】
【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得.
故答案为：
例1-2已知等比数列的前n项和为，且满足，．求数列的通项公式.
【答案】．
【详解】依题意，，
，则，
解得，，所以.
方法技巧 等比数列基本量计算方法
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论.
【变式训练1-1】已知递增等比数列的前项和为，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】由已知，数列为等比数列，
可求出，（与数列为递增数列矛盾，舍去），故.
故选：A
【变式训练1-2】在等比数列中，已知，，，则 ．
【答案】5
【详解】在等比数列中，，，，所以公比．
由前项和公式及通项公式可得，
，解得，．
故答案为：5.
【变式训练1-3】数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则 ．
【答案】或1
【详解】等比数列的公比为q，由，得，
整理得，解得或，
所以或.
故答案为：或1
题型2 等比数列的判断与证明
例2-1（多选）若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
【答案】ACD
【详解】当时，，
当时，由有，
所以，
所以数列时以为首项，2公比的等比数列，故C正确；
，故A正确；
由，故B错误；
因为，所以是等比数列，故D正确.
故选：ACD.
例2-2已知数列满足．
(1)设，写出；
(2)证明数列为等比数列；
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【详解】（1）已知，因为，所以.
当时，，即.
当时，.
先求，因为为偶数，.
再求，因为为奇数，，即.
当时，.
先求，因为为偶数，.
再求，因为为奇数，，即.
（2）由可得.
所以.
则. 又.
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
方法技巧 判断证明等比数列方法
证明是等比数列 定义法 () (或者）
等差中项法
判断是等比数列 的通项关于的指数函数 （，）
的前项和 （，，）
【变式训练2-1】数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99 B．103 C．137 D．169
【答案】D
【详解】由得，
为等比数列，，
，
，
①为奇数时，;
②为偶数时，，
只能为奇数，为偶数时，无解，
综上所述，.
故选:D.
【变式训练2-2】已知数列的前n项和为，若，则 ．
【答案】
【详解】当时，，所以；
当时，，
两式相减得，，即，
所以，
因为，所以，所以为常数，
故数列是首项为，公比为2的等比数列，
所以.
故答案为：.
【变式训练2-3】已知数列满足：，（n≥2）．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）由题得，，
，，
所以数列是以3为首项，公比为3的等比数列.
（2）由（1）得，，即，
所以前n项和.
题型3 等比数列角标和性质
例3-1已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【详解】由和是方程的两个根，得，
又数列为各项均为正数的等比数列，则，
所以.
故选：B
例3-2已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题得，根据韦达定理可得，，则，
由等比数列的等比中项性质可得：.
因为等比数列的偶数项符号相同，都是负数，设公比为q，则,
所以.
故选：B.
方法技巧 等比数列角标和性质
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
【变式训练3-1】在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由韦达定理得，，
又为等比数列，所以，
所以，
故选：A.
【变式训练3-2】是等比数列，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设等比数列公比为，
因为，是方程的两根，
所以，所以，
由等比数列的性质可知
所以.
故选：C.
【变式训练3-3】已知等比数列中，，，则（ ）
A．9 B． C．81 D．
【答案】A
【详解】在等比数列中，根据等比数列性质，即.
已知，，那么. 由，可得.
因在等比数列中，偶数项的符号相同，，，所以，故.
故选：A.
题型4 等比数列片段和性质
例4-1记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．7 B．49 C． D．43
【答案】C
【详解】设，则，
因为，
所以，解得，
所以.
故选：C
例4-2已知正项等比数列的前项和为，且，则 .
【答案】52
【详解】因为为正项等比数列，所以也成等比数列，
则，
即，
两式相除得，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
解得，
所以.
故答案为：52
方法技巧 等比数列片段和性质
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【变式训练4-1】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【详解】由题意及等比数列前n项和的性质，得，，成等比数列，
则，即，解得或（舍）.
故选：A
【变式训练4-2】已知是等比数列的前项和，，则（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【详解】因为是等比数列的前项和且，
可知也成等比数列，
又因为，则，
可得，，
所以，，
故选：C.
【变式训练4-3】已知等比数列的前 项和 满足 ，则 .
【答案】273
【详解】等比数列的前 项和 满足成等比数列，
所以，即.
故答案为：273
题型5 奇数项与偶数项求和问题
例5-1已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
【答案】D
【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为，
因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以，
所以，，
故满足，解得，
又，
所以.
故选：D
例5-2若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
【答案】300
【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为，
则，
，
由题意可得：，即，解得，
故数列的所有项之和是.
故答案为：300.
方法技巧 等比数列奇偶项和性质
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；
②若共有项，．
【变式训练5-1】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B． C．4 D．2
【答案】D
【详解】由题意可知：，
所以．
故选：D.
【变式训练5-2】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ．
【答案】2
【详解】由题设，可得，
若的公比为，则，
所以，则.
故答案为：2
【变式训练5-3】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
【答案】 2 9
【详解】在等比数列中，由，得，解得，
设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9.
故答案为：2；9
题型6 等比数列与等差数列综合
例6-1已知等比数列的公比.
(1)求；
(2)设，若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
所以.
（2）由（1）得，
所以，
解得或（舍去）.
例6-2已知等差数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对于等差数列，设该数列的公差为，则，
．
（2）由（1）可知，又正项等比数列，设其公比为,
，．
【变式训练6-1】在等差数列中，，．
(1)求通项公式及其前项和的最小值；
(2)若数列为等比数列，且，，求的前项和．
【答案】(1)，最小值为
(2)
【详解】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，解得，
所以.
所以.
因为，所以当或时取得最小值，
且最小值为.
（2）由（1）可得：，，
所以等比数列的公比为，
所以，所以等比数列的前项和.
【变式训练6-2】已知数列中，．
(1)求数列的前5项；
(2)若等差数列满足，求的前n项和．
【答案】(1)；
(2)
【详解】（1）数列中，因为，故，
故，所以数列是等比数列，公比是2，
又因为，所以．
所以；
（2）等差数列满足，
设等差数列公差为，所以，
所以，
所以的前n项和．
【变式训练6-3】已知数列满足：，．
(1)若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；
(2)若数列是等比数列，求的通项公式．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）因为数列是等差数列，
所以．
所以．
所以，
即，
解得．
所以数列的通项公式，
即，
所以数列的前n项和，
即．
（2）因为数列是等比数列，
所以．
由，
得，
即，
解得．
所以．
数列的通项公式为．
题型7 等比数列实际应用
例7-1在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整）
【答案】10
【详解】由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列，且公比为，
第7个月开始收入成等差数列，公差为2，则，
又，，，，
而，，
所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月.
故答案为：10.
例7-2某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
(1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；
(2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题意得是等差数列，，
所以，由题意得，
所以，
所以是首项为250，公比为的等比数列，
所以，所以.
（2）是数列的前项和，所以，
是数列的前项和减去600，
所以 ，
，
又当时，函数单调递增，
所以函数单调递增，且时，时，
所以至少经过4年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润.
【变式训练7-1】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 ……
那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（ ）
A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁
【答案】C
【详解】设1965年7月出生的男职工退休年龄为岁，
则1966年7月出生的男职工退休年龄为岁，
设7月出生的男职工退休年龄为，则是首项为，公差为的等差数列，
1975年7月出生的男职工退休年龄为.
故1975年7月出生的男职工退休年龄为62岁8个月.
故选：C.
【变式训练7-2】王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（ ）
A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元
【答案】C
【详解】根据题意，截止2024年12月，提前还款数额比按约定还款数额少的部分为：
按原计划还款时，从2024年12月起到原计划结束时所还的利息，即剩余60个月的利息，
同时减掉剩余还款额百分之一的违约金.因为每月所还本金为元，
所以2024年12月还完后本金还剩余元，
故违约金为1800元，
2025年1月应还利息为，
2025年2月应还利息为，
2025年3月应还利息为，
最后一次应还利息为，
所以后60个月的利息合计为
元），
故他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少元.
故选：C.
【变式训练7-3】小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，月利率为个月还清．
（1）已知从当年4月开始，后面每月的8日都还款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商品实际付款 元；
（2）若从当年4月开始，后面每月的8日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为 元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：）
【答案】 2330
【详解】（1）设第n个月付款元，则，
所以购买这件商品实际付款，
所以购买这件商品实际付款元；
（2）设每期还款x元，按复利计算2000元贷款经过25期连本带息增值为元.
则，
可得，
整理可得，
所以每月还款金额为元.
故答案为：2330；.
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
【答案】C
【详解】由题知,
即,即,即.
由题知,所以.
所以.
故选:C.
2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
【答案】C
【详解】当时，，所以，即，
当时，，
所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则.
故选：C.
3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 57.5/
【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，.
故答案为：.
4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
【答案】 48 384
【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为，
则，且，可得，
则，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因为为等比数列，则，
且，所以；
又因为，则；
空2：设后7项公比为，则，解得，
可得，所以.
故答案为：48；384.
5．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【详解】（1）因为，即①，
当时，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以为公差的等差数列．
（2）[方法一]：二次函数的性质
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，当或时，．
[方法二]：【最优解】邻项变号法
由（1）可得，，，
又，，成等比数列，所以，
即，解得，
所以，即有.
则当或时，．
1．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第9题)在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要 轮感染？（结果取整数，初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再分别传染给个人为第二轮传染……）
【答案】5
【详解】由题可知，第一轮传染感染的人数为；第二轮传染感染的人能数为：人；
第三轮传染感染的人能数为：人；故感染人数可看作首项为5，公比为4的等比数列，，令，即，得，
，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要5轮
故答案为：5
2．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第1题)已知数列是等比数列．
（1）若，，求q与；
（2）若，，求．
【答案】（1），； （2）或.
【详解】（1）由数列是等比数列，设等比数列的公比为，
因为，，可得，即，解得，
所以.
（2）设等比数列的公比为，因为，，
可得，即，解得或，
当时，可得，则；
当时，可得，则.
3．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第2题)已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
【答案】答案见解析.
【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是；
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为.
4．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第4题)放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．
（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）
（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？
【答案】（1）；（2）4221.
【详解】(1)设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的含量为1，每年的衰变率为，n年后的残留量为，则是一个等比数列．由碳14的半衰期为5730，则
，所以衰变率．
即碳14的年衰变率为；
(2)设动物约在距今n年前死亡，由，得
，
解得，所以动物约在距今4221年前死亡．
5．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第12题)已知数列为等差数列，其中，，前n项和为，数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列中的任意三项均不能构成等比数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为，
因为，，所以，
所以，所以，所以
（2）设数列中任意三项，，
则，假设成等比数列，则
即
因为，所以，所以，即，与矛盾，
所以数列中的任意三项均不能构成等比数列．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 等比数列及其前n项和
目录
01考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 等比数列的概念 3
知识点2等比数列的有关公式 4
知识点3 等比数列的性质 4
题型破译 5
题型1 等比数列基本量计数 5
【方法技巧】等比数列基本量计算方法
题型2 等比数列的判断与证明 5
【方法技巧】判断与证明等比数列
题型3 等比数列角标和性质 6
【方法技巧】等比数列角标和性质
题型4 等比数列片段和性质 7
【方法技巧】等比数列片段和性质
题型5 奇数项与偶数项求和问题 7
【方法技巧】等比数列奇偶项和问题
题型6 等比数列与等差数列综合 8
题型7 等比数列实际应用 9
04真题溯源·考向感知 11
05课本典例·高考素材 12
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）等比数列的有关概念 （2）等比数列的通项公式与求和公式 （3）等比数列的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷T7，（5分） 全国一卷T13，（5分） 北京卷T5，（4分） 全国甲卷（文）T17（1），（5分） 全国甲卷（理）T5，（5分） 全国II卷T8，（5分） 2全国乙卷（理）T15，（5分） 天津卷T19（2），（10分） 天津卷T5，（5分）
考情分析：高考对等比数列的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．重点是（1）选择题、填空题多单独考查基本量的计算；（2）解答题多与等差数列结合考查，或结合实际问题或其他知识考查．
复习目标： （1）理解等比数列的概念． （2）掌握等比数列的通项公式与前n项和公式． （3）了解等比数列与指数函数的关系．
知识点1 等比数列的概念
(1)等比数列的定义
一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母()表示．数学语言表达：，为常数，.
(2)等比中项
如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即：是与的等比中项 ，，成等比数列 .
自主检测已知数列满足，，（），则的前项和为 ．
知识点2等比数列的有关公式
1)若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；可推广为.
(2)等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
自主检测（2025·陕西·模拟预测）已知是公比为2的等比数列，是公差为4的等差数列，若，则的通项公式为 ．
知识点3 等比数列的性质
设数列是等比数列，是其前项和．
(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．
(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．
自主检测等比数列中，是方程的两个根，则（ ）
A．4 B． C．或4 D．
题型1 等比数列基本量计数
例1-1已知等比数列中，，则公比 .
例1-2已知等比数列的前n项和为，且满足，．求数列的通项公式.
方法技巧 等比数列基本量计算方法
方法总结解决等比数列基本量运算的思想方法
(1)方程思想:等比数列的基本量为首项和公比,通常利用已知条件及通项公式或前项和公式列方程(组)求解,等比数列中包含,,,,五个量,可“知三求二”.
(2)整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用,表示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解.
(3)分类讨论思想:若题目中公比未知,则运用等比数列前项和公式时要对分和两种情况进行讨论.
【变式训练1-1】已知递增等比数列的前项和为，，则（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【变式训练1-2】在等比数列中，已知，，，则 ．
【变式训练1-3】数列成等比数列，其公比为q，前n项和为Sn．若，，则 ．
题型2 等比数列的判断与证明
例2-1（多选）若为数列的前项和，且，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．是等比数列 D．是等比数列
例2-2已知数列满足．
(1)设，写出；
(2)证明数列为等比数列；
方法技巧 判断证明等比数列方法
证明是等比数列 定义法 () (或者）
等差中项法
判断是等比数列 的通项关于的指数函数 （，）
的前项和 （，，）
【变式训练2-1】数列满足，且其前项和为.若，则正整数（ ）
A．99 B．103 C．137 D．169
【变式训练2-2】已知数列的前n项和为，若，则 ．
【变式训练2-3】已知数列满足：，（n≥2）．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式及其前n项和的表达式．
题型3 等比数列角标和性质
例3-1已知为各项均为正数的等比数列，和是方程的两个根，则（ ）
A． B．4 C． D．5
例3-2已知数列为等比数列，其中，为方程的两根．则（ ）
A． B． C． D．
方法技巧 等比数列角标和性质
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件、利用性质，特别是性质“若，则．”，可以减少运算量，提高解题速度．
【变式训练3-1】在等比数列中，，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】是等比数列，是方程的两根，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】已知等比数列中，，，则（ ）
A．9 B． C．81 D．
题型4 等比数列片段和性质
例4-1记等比数列的前项和为，若，则（ ）
A．7 B．49 C． D．43
例4-2已知正项等比数列的前项和为，且，则 .
方法技巧 等比数列片段和性质
为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．
【变式训练4-1】已知正项等比数列的前n项和为，若，，则（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【变式训练4-2】已知是等比数列的前项和，，则（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
【变式训练4-3】已知等比数列的前 项和 满足 ，则 .
题型5 奇数项与偶数项求和问题
例5-1已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（ ）
A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2
例5-2若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ．
方法技巧 等比数列奇偶项和性质
（1）等比数列中，所有奇数项之和与所有偶数项之和具有的性质，设公比为．
①若共有项，则；
②若共有项，．
【变式训练5-1】已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1012，偶数项之和为2024，则这个数列的公比为（ ）
A．8 B． C．4 D．2
【变式训练5-2】已知等比数列的前6项和为126，其中偶数项和是奇数项和的2倍，则 ．
【变式训练5-3】若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ．
题型6 等比数列与等差数列综合
例6-1已知等比数列的公比.
(1)求；
(2)设，若，求.
例6-2已知等差数列满足：，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设等比数列的各项均为正数，为其前项和，若，，求．
【变式训练6-1】在等差数列中，，．
(1)求通项公式及其前项和的最小值；
(2)若数列为等比数列，且，，求的前项和．
【变式训练6-2】已知数列中，．
(1)求数列的前5项；
(2)若等差数列满足，求的前n项和．
【变式训练6-3】已知数列满足：，．
(1)若数列是等差数列，求的通项公式以及前n项和；
(2)若数列是等比数列，求的通项公式．
题型7 等比数列实际应用
例7-1在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整）
例7-2某企业2023年的纯利润为500万元，因为企业的设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一年纯利润减少20万元．如果进行技术改造，2024年初该企业需一次性投入资金600万元，在未扣除技术改造资金的情况下，预计2024年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润的一半还多250万元．
(1)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的年纯利润为万元；进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为万元，求和；
(2)设从2024年起的第n年（以2024年为第一年），该企业不进行技术改造的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，依上述预测，从2024年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进行技术改造的累计纯利润？
【变式训练7-1】渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下表所示：
出生时间 1965年1月—4月 1965年5月—8月 1965年9月—12月 1966年1月—4月 ……
改革后法定退休年龄 60岁+1个月 60岁+2个月 60岁+3个月 60岁+4个月 ……
那么1975年7月出生的男职工法定退休年龄为（ ）
A．62岁3个月 B．62岁5个月 C．62岁8个月 D．63岁
【变式训练7-2】王先生为购房于2019年12月初向银行贷款36万元，与银行约定按“等额本金还款法”分10年进行还款，从2020年1月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率为，现因资金充足准备向银行申请提前还款，银行规定：提前还款除偿还剩余本金外，另需收取违约金，贷款不满一年提前还款收取提前还款额的百分之三作为违约金；贷款的时间在一年到两年之间申请提前还款收取提前还款额的百分之二作为违约金；满两年之后提前还款收取提前还款额的百分之一作为违约金.王先生计划于2024年12月初将剩余贷款全部一次性还清，则他按现计划的所有还款数额比按原约定的所有还款数额少（ ）
A．22450元 B．27270元 C．25650元 D．27450元
【变式训练7-3】小琴3月8日用分期付款的方式购买一件商品，商品价格为2200元，购买当天支付200元，当年4月开始算分期付款的第一个月，月利率为个月还清．
（1）已知从当年4月开始，后面每月的8日都还款本金80元，并加付欠款利息，若全部欠款付清后，则购买这件商品实际付款 元；
（2）若从当年4月开始，后面每月的8日还款一次，每次还款数额相同，按复利计息，则每月还款金额为 元．（最后结果保留4位有效数字，参考数据：）
1．（2023·全国甲卷·高考真题）设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（ ）
A． B． C．15 D．40
2．（2023·天津·高考真题）已知数列的前n项和为，若，则（ ）
A．16 B．32 C．54 D．162
3．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ．
5．（2022·全国甲卷·高考真题）记为数列的前n项和．已知．
(1)证明：是等差数列；
(2)若成等比数列，求的最小值．
1．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第9题)在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要 轮感染？（结果取整数，初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再分别传染给个人为第二轮传染……）
2．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第1题)已知数列是等比数列．
（1）若，，求q与；
（2）若，，求．
3．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第2题)已知是一个无穷等比数列，公比为q．
（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
（3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
4．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第4题)放射性元素在t=0时的原子核总数为，经过一年原子核总数衰变为，常数称为年衰变率．考古学中常利用死亡的生物体中碳14元素稳定持续衰变的现象测定遗址的年代．已知碳14的半衰期为5730年．
（1）碳14的年衰变率为多少（精确到）
（2）某动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的60%（即衰变了40%），该动物的死亡时间大约距今多少年？
5．(人教A版选择性必修第二册习题4.3第12题)已知数列为等差数列，其中，，前n项和为，数列满足，
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：数列中的任意三项均不能构成等比数列.
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