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第03讲 等式与不等式的性质
目录
01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 两个实数大小的比较 3
知识点2 不等式的性质 4
题型破译 5
题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 5
题型2 利用不等式的性质判断命题真假 6
【方法技巧】利用不等式判断正误的方法
题型3 利用不等式的性质证明不等式 8
题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10
【易错分析】利用同向相加求范围出错
题型5 不等式的综合 12
04 真题溯源·考向感知 14
05 课本典例·高考素材 15
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据 （2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 / / /
考情分析： 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。
复习目标： 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
知识点1 两个实数大小的比较
作差法：
如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对.
这个基本事实可以表示为: _______.
作商法：
任意两个值为_______的代数式、，可以作商后比较与_______的关系，进一步比较与的大小．
则有；；．
自主检测已知，，设，，则与的大小关系为 ．
知识点2 不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性
传递性
_______
可乘性 的符号
_______
同向可加性 _______
同向同正可乘性
可乘方性 同正
自主检测（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小
例1-1设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
例1-2如果，比较与的大小并证明．
【变式1-1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【变式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-3·变载体】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接）
题型2 利用不等式的性质判断命题真假
例2-1（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
例2-2已知x，y是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
方法技巧 利用不等式判断正误的方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【变式2-1】设，若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（多选）设，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式2-3】下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的必要条件
题型3 利用不等式的性质证明不等式
例3-1若，，证明：．
例3-2已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【变式3-1】已知，，求证．
【变式3-2】设，求证.
【变式3-3】（1）设，求证：，
（2）设，求证：，
题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
例4-1已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
例4-2已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
易错分析 利用同向相加求范围出错
在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式
【变式4-1】如果，，则的取值范围是 .
【变式4-2】已知，，，则的取值范围是 .
【变式4-3】已知，．
(1)求，的取值范围；
(2)求，的取值范围．
题型5 不等式的综合
例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】设为实数，满足，则的最大值是 ．
【变式5-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ．
【变式5-3】（1）已知，且，请证明：.
（2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于.
1．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为 .
2．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么 ;
(2)如果,,那么 ;
(3)如果,那么 ;
(4)如果,那么 .
3．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
4．已知，，，求证：
5．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
6．已知，，求的范围.
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01 考情解码 命题预警 2
02 体系构建·思维可视 3
03 核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1 两个实数大小的比较 3
知识点2 不等式的性质 4
题型破译 5
题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 5
题型2 利用不等式的性质判断命题真假 6
【方法技巧】利用不等式判断正误的方法
题型3 利用不等式的性质证明不等式 8
题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10
【易错分析】利用同向相加求范围出错
题型5 不等式的综合 12
04 真题溯源·考向感知 14
05 课本典例·高考素材 15
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据 （2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 / / /
考情分析： 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。
复习目标： 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
知识点1 两个实数大小的比较
作差法：
如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对.
这个基本事实可以表示为: .
作商法：
任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小．
则有；；．
自主检测已知，，设，，则与的大小关系为 ．
【答案】
【详解】．因为，，所以，，，所以，所以．
知识点2 不等式的性质
性质 性质内容 注意
对称性
传递性
可加性
可乘性 的符号
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性 同正
自主检测（多选）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若且，则
D．若，则
【答案】BC
【详解】对于A选项，若，，则，A错误；
对于B选项，若，，则，，B正确；
对于C选项，若且，则，
即，C正确；
对于D选项，若，取，，，
则，，此时，D错误.
故选：BC.
题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小
例1-1设，则P，Q，R的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以．
因为，
又，所以，所以．
例1-2如果，比较与的大小并证明．
【详解】，理由如下：
，
当时等号成立，所以.
【变式1-1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）．
【答案】
【详解】∵，即.
又，
.
故答案为：>.
【变式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】这一事实表示为一个不等式为．
证明：，
又，，
，即，
即.
故选：
【变式1-3·变载体】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接）
【答案】
【详解】方法一（作商法）：因为，
所以，
所以．
方法二（作差法）：，即．
故答案为：
题型2 利用不等式的性质判断命题真假
例2-1（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BCD
【详解】对于A选项，因为，则，故，A错；
对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对；
对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，若，则，
所以，D对.
故选：BCD.
例2-2已知x，y是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件，
反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
方法技巧 利用不等式判断正误的方法
①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．
②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．
【变式2-1】设，若，则下列不等式中不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，则，则，A选项正确；
因为，则，则，B选项正确；
因为，则，则，C选项正确；
取，所以，D选项错误；
故选：D.
【变式2-2】（多选）设，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，A正确；
对于B，取满足，而不成立，B错误；
对于C，由，得，则，C正确；
对于D，由，得，则，D正确.
故选：ACD
【变式2-3】下列说法中正确的是（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的必要条件
【答案】B
【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误；
B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确；
C项，若，，此时，但不满足，故C项错误；
D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误．
故选：B
题型3 利用不等式的性质证明不等式
例3-1若，，证明：．
【详解】∵，∴，
又∵，∴，
∴，则有：，
又∵，
∴．
例3-2已知，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【详解】（1）由，则，故，
由，则，故，
所以，得证.
（2）由，而，
所以，即，得证.
【变式3-1】已知，，求证．
【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明．
因为，所以，
又因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以．
【变式3-2】设，求证.
【详解】由，
因为，可得，
所以，即，所以.
【变式3-3】（1）设，求证：，
（2）设，求证：，
【详解】（1）方法一：，，
，
．
方法二：，
．
（2）方法一：，
，
，
．
，
.
题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围
例4-1已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即．
易错警示：题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）.
例4-2已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以，即，
所以，则，
所以.故选：D.
易错分析 利用同向相加求范围出错
在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式
【变式4-1】如果，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】,
,
又,
,
两式相加得,
故答案为:.
【变式4-2】已知，，，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】令，则，即，
由，即，可得，则.
故答案为：.
【变式4-3】已知，．
(1)求，的取值范围；
(2)求，的取值范围．
【详解】（1）因为，
所以，，所以．
又因为，所以.
（2）由题意得，则， 得，
又因为，则，得.
题型5 不等式的综合
例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由，且可得，即，
则，
又，即，化简可得，
即，其中，
所以，即，所以，
所以，所以，
又，所以，
综上所述，.
故选：A
例5-2已知，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为
，
若，且，则，，
可得，即；
若，且，则，，
可得，即；
若，则，即；
综上可知，对于，，，都有.
故选：C.
【变式5-1】设为实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】32
【详解】由题设，则，
所以的最大值是32.
故答案为：32
【变式5-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ．
【答案】
【详解】若，由，可得，
所以，即，
若，则有，所以，即，
故的最小值为．
故答案为：
【变式5-3】（1）已知，且，请证明：.
（2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于.
【详解】（1）证明：若，则，，不合题意，.
要证，只需证，
又，只需证，
即，只需证，只需证，
成立，原式成立.
（2）证明：假设，，，
，与矛盾，
假设不成立，与至少有一个大于.
1．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为 .
【答案】
【详解】试题分析：，矛盾，所以 1， 2， 3可验证该命题是假命题.
2．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则
A．ln(a b)>0 B．3a<3b
C．a3 b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
1．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误；
对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确；
对于C，当时，取，则，故C错误；
对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误.
故选：B.
2．用不等号“>”或“<”填空:
(1)如果,,那么 ;
(2)如果,,那么 ;
(3)如果,那么 ;
(4)如果,那么 .
【答案】 > < < <
【解析】根据不等式的性质依次填写即可
【详解】解析:(1),.,.
(2),.,,.
(3),,,,,
,即.
(4),所以,.于是,即,即.
,.
故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)<
【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键
3．比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）与；
（2）与；
（3）当时，与；
（4）与.
【详解】解：（1）因为，所以.
（2）因为，所以.
（3）因为，所以当时，.
（4）因为，所以.
【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题.
4．已知，，，求证：
【详解】∵，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
又∵，
∴.
5．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
【解析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可.
【详解】解：时，.
证明如下：
，
.
【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题.
6．已知，，求的范围.
【详解】解：，
，又，
.
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