资源简介

第03讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 平面向量数量积的有关概念 4
知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示 4
知识点3 平面向量数量积的运算律 5
知识点4 平面几何中的向量方法 5
题型破译 5
题型1 平面向量数量积的定义 5
题型2 平面向量数量积的运算 6
题型3 数量积的坐标表示 7
题型4 投影向量 8
题型5 向量在几何中的应用 8
题型6 向量在物理中的应用 9
题型7 向量新定义 10
04真题溯源·考向感知 12
05课本典例·高考素材 12
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷，第12题，5分 上海卷，第12题，5分 天津卷，第14题，5分 新课标I卷，第3题，5分 新课标II卷，第3题，5分 全国甲卷，第9题，5分 天津卷，第14题，5分 北京卷，第5题，4分 新课标I卷，第3题，5分 新课标II卷，第13题，5分 全国甲卷，第4题，5分 全国乙卷，第12题，5分 天津卷，14题，5分
考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标： 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． 3.了解平面向量基本定理及其意义 4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点1 平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则 就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若，且，则 D．
知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝ .
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 .
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
自主检测（多选）若，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
知识点3 平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
自主检测（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
知识点4 平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
自主检测已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型1 平面向量数量积的定义
例1-1一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
例1-2已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
【变式训练1-1】已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ．
【变式训练1-2】已知边长为4的菱形的一个内角为，则 ．
题型2 平面向量数量积的运算
例2-1已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
例2-2已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
例2-3已知，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
方法技巧
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【变式训练2-1】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2·变考法】已知，则 .
题型3 数量积的坐标表示
例3-1已知向量，则 .
例3-2已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 .
例3-3已知向量，，若，的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
方法技巧 坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
即若，，则；
（2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
【变式训练3-1】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
题型4 投影向量
例4-1已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
例4-2设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是 .
方法技巧
设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则
【变式训练4-1】如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2·变载体】已知，.
(1)若，求的值；
(2)若且，求在方向上的投影数量.
题型5 向量在几何中的应用
例5-1已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例5-2已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
方法技巧 用向量方法解决实际问题的步骤
【变式训练5-1】已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式训练5-2】已知，则的最大值为 ．
【变式训练5-3】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 .
题型6 向量在物理中的应用
例6-1共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A． B． C． D．
例6-2如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练6-1】如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h.
【变式训练6-2】如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 .
题型7 向量新定义
例7-1已知，，定义新运算，记，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
例7-2）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值．
【变式训练7-1】定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【变式训练7-2】如图，在中，，，，，，设与交于点，且．
(1)求的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）．
（ⅰ）若为的中点，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
【变式训练7-3】已知向量，且，定义向量的新运算：．
(1)若向量，且，求；
(2)证明：是的充要条件，
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
6．（2023·上海·高考真题）已知,，求
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
1.若向量，满足，且，，则（ ）．
A．2 B． C．1 D．
2.若，是单位向量，且，则与的夹角是 .
3.已知点，，，求证：．
4.一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
5.已知，．若存在向量，使得，，试求向量的坐标．
6.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．
7.已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
8.已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第03讲 平面向量的数量积及其应用
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 平面向量数量积的有关概念 4
知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示 4
知识点3 平面向量数量积的运算律 5
知识点4 平面几何中的向量方法 6
题型破译 7
题型1 平面向量数量积的定义 7
题型2 平面向量数量积的运算 9
题型3 数量积的坐标表示 11
题型4 投影向量 12
题型5 向量在几何中的应用 15
题型6 向量在物理中的应用 20
题型7 向量新定义 21
04真题溯源·考向感知 27
05课本典例·高考素材 31
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与投影向量的长度的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 单选题 多选题 填空题 解答题 全国二卷，第12题，5分 上海卷，第12题，5分 天津卷，第14题，5分 新课标I卷，第3题，5分 新课标II卷，第3题，5分 全国甲卷，第9题，5分 天津卷，第14题，5分 北京卷，第5题，4分 新课标I卷，第3题，5分 新课标II卷，第13题，5分 全国甲卷，第4题，5分 全国乙卷，第12题，5分 天津卷，14题，5分
考情分析：平面向量数量积的运算、化简、证明及数量积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考的内容，单独命题时，一般以选择、填空形式出现．交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工具出现．向量的应用是跨学科知识的一个交汇点，务必引起重视． 预测命题时考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标： 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义． 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义． 3.了解平面向量基本定理及其意义 4.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算
知识点1 平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θ e.
自主检测（多选）关于平面向量，，，下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C．若，且，则 D．
【答案】CD
【分析】利用数量积的运算律判断AB；利用数量积推理判断C；由共线向量的意义判断D.
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B正确；
对于C，由，得，当时，满足题设，C错误；
对于D，是与共线的向量，是与共线的向量，而与无任何关系，D错误.
故选：CD
知识点2 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
自主检测（多选）若，，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在方向上的投影向量为
【答案】AC
【分析】选项A：根据向量数量积的坐标表示进行计算即可；选项B：根据向量加减法的坐标表示计算出和，再结合两向量垂直，数量积为0判断即可；选项C：根据向量夹角的公式进行计算即可；选项D：根据向量的投影向量公式计算即可.
【详解】对于选项A，，故选项A正确；
对于选项B，，，，故选项B错误；
对于选项C，，结合与的夹角范围为，故与的夹角为，选项C正确；
对于选项D，在方向上的投影向量为，故选项D错误.
故答案为：AC.
知识点3 平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
自主检测（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得，
所以，所以A正确；
对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确；
对于C中，，，
所以与不一定相等，所以C错误；
对于D中，由，若向量，此时，而与不一定相等，所以D错误.
故选：AB.
知识点4 平面几何中的向量方法
(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
自主检测已知非零平面向量、、，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】明确的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解.
【详解】如图：
令，，.
则，.
又，所以点在以为圆心，2为半径的圆上.
所以的最小值为：.
又，，所以当时，取得最小值为.
所以的最小值为：.
即的最小值为.
故选：A.
题型1 平面向量数量积的定义
例1-1一蜂巢的精密结构由7个边长均为2的正六边形组成，摆放位置如图所示，其中A，B，P为三个固定顶点，则（ ）
A．12 B．16 C． D．
【答案】B
【分析】利用数量积的定义运算即可求解.
【详解】由题可知，，，，
所以.
故选：B.
例1-2已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量数量积的运算律将展开，再结合向量数量积公式求出的值，最后根据夹角的取值范围确定夹角.
【详解】由，可得
又
所以解得：
所以
又所以
所以与的夹角为．
故选：C.
方法技巧
（1）平面向量数量积的定义
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．　　　　　　　　　　　　
（2）平面向量数量积的几何意义
①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．
②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．
【变式训练1-1】已知向量，且向量与向量的夹角为，则 ．
【答案】6
【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】向量，且与的夹角为，
则，
.
故答案为：6
【变式训练1-2】已知边长为4的菱形的一个内角为，则 ．
【答案】或
【分析】由平面向量数量积的定义即可求解．
【详解】由题可知，或，
若，则，
若，则，
故答案为：或．
题型2 平面向量数量积的运算
例2-1已知向量与的夹角为，，，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】先求，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解.
【详解】因为向量与的夹角为，，，则，
可得，所以.
故选：D.
例2-2已知平面向量，，均为单位向量，若与的夹角为60°，则的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】根据，把问题转化为求的最小值，进一步转化为求的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可.
【详解】由题意：，.
因为.
又，
当时取“”.
又，所以.
所以.
故选：C
例2-3已知，若，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据向量的加法、数乘向量垂直的坐标表示即可求解.
【详解】，
因为，
所以，解得.
故选：.
方法技巧
平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
【变式训练2-1】已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案.
【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以.
因为，
所以.
而，.
所以.
故选：D.
【变式训练2-2·变考法】已知，则 .
【答案】
【分析】利用数量积的运算律求得，然后利用数量积的运算律求解模即可.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
题型3 数量积的坐标表示
例3-1已知向量，则 .
【答案】
【分析】利用向量数量积的坐标运算求解即可.
【详解】.
故答案为：
例3-2已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据向量坐标求得数量积以及模长，利用投影向量的计算，可得答案.
【详解】由，则，，
所以向量在向量方向上的投影向量为.
故答案为：.
例3-3已知向量，，若，的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】，的夹角为锐角的充要条件是，的数量积大于0且不共线，由此列不等式求解即可.
【详解】因为，，，的夹角为锐角，
所以且，解得且，
即的取值范围是.
故答案为：.
方法技巧 坐标法求平面向量的数量积
（1）方法依据：当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，
即若，，则；
（2）适用范围：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积。
【变式训练3-1】已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量的模为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用投影向量的定义，结合向量的坐标运算即可求解.
【详解】因为向量，向量，所以
向量在向量上的投影向量的模为，
故选：B.
【变式训练3-2】平面向量，满足，，与的夹角为，则在方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】只需求出，再结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意，，与的夹角为，
所以，
在方向上的投影向量为.
故选：A.
题型4 投影向量
例4-1已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件作图，可得为等边三角形，为等腰三角形，为直角三角形，即，，再根据投影向量的概念求解即可.
【详解】如图，由，可得为的中点，
又因为为的外接圆圆心，所以，
又因为，所以，
所以为等边三角形，即，
为等腰三角形，即，
为直角三角形，，
所以向量在向量上的投影向量为
.
故选：D.

例4-2设向量满足且，则向量在向量方向上的投影是 .
【答案】
【分析】利用向量投影的计算公式，即可求解.
【详解】向量、满足，，且，
向量在向量方向上的投影，
故答案为：.
方法技巧
设向量是向量在向量上的投影向量，则有，则
【变式训练4-1】如图，在中，，于，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知及余弦定理得，再由投影向量的求法求在上的投影向量.
【详解】由题设，，则，，
故，
所以，
所以在上的投影向量为.
故选：A.
【变式训练4-2·变载体】已知，.
(1)若，求的值；
(2)若且，求在方向上的投影数量.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据向量垂直得到方程，求出或；
（2），根据向量模长得到方程，求出，利用投影向量的公式得到答案.
【详解】（1）因为，，
由于，所以，
所以或.
（2）因为，，则，
若且，则，解得，
则，，可得，
所以在方向上的投影数量.
题型5 向量在几何中的应用
例5-1已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，并利用位置关系求得，设,，结合平面向量线性运算以及余弦定理可求得当、、三点共线时取得最小值．
【详解】由已知，
设,，
则，
作关于直线的对称点，连接、、、，
则，，
所以，
在中，由余弦定理可得，
所以，
当且仅当、、三点共线时等号成立，
所以的最小值为．
故选：C．
例5-2已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，可得，则与垂直，设共起点，数形结合画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解.
【详解】设共起点，由，可得，
所以与垂直，如图，
由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，
由题意可知的终点在图中所示的射线上，
所以是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，
故的最小值为．
故选：A．
方法技巧 用向量方法解决实际问题的步骤
【变式训练5-1】已知平面向量、、，，，的面积为，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【分析】通过平方，求得，结合余弦定理求得，再结合面积公式求得点D到的距离，进而可求解.
【详解】已知，，
对平方得.
因为，，
设，，则，
所以，即，解得，有.
在中，由余弦定理有，可得，
设点到的距离为，有.
已知，设点D到的距离为，
由，解得，
则的最小值为.
故选：C
【变式训练5-2】已知，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】由题意首先得出为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
不妨设，
满足，，，
又，即，
由椭圆的定义可知点在以为焦点，长轴长为4的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为，
而，即，即，
这表明了点在圆上面运动，其中点为圆心，为半径，
又，等号成立当且仅当三点共线，
故只需求的最大值即可，
因为点在椭圆上面运动，所以不妨设，
所以，
所以当且三点共线时，
有最大值.
故答案为：
【变式训练5-3】在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD上靠近C的三等分点，，则 ，F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用表示出，即可得参数值，令，，根据已知得并应用向量数量积的运算律求最值.
【详解】由题设，则，
所以，
，
令，，则
，
所以
，
当时，的最小值为.
故答案为：，
题型6 向量在物理中的应用
例6-1共点力，作用在物体上，产生位移，则共点力对物体做的功为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出合力的坐标，结合平面向量数量积的坐标运算可得出共点力对物体做的功.
【详解】根据题意得：共点力的合力是，
对物体做的功为.
故选：D.
例6-2如图所示，支座A受，两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力F的大小，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解.
【详解】依题意，，则，
即，所以.
故选：D
【变式训练6-1】如图，一条河某一段的宽度为8km，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度大小为5km/h，水流速度的大小为3km/h，当航程最短时，预计这艘船行驶到河对岸需要时间为 h.
【答案】2
【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可.
【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短，
设实际速度、船速、水流速度分别为、、，
如图，，已知，
则，河宽，
所以，船的航行时间，
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要.
故答案为：2.
【变式训练6-2】如图所示，支座受两个力的作用，已知，与水平线成角，，沿水平方向，两个力的合力的大小，则 .
【答案】
【分析】根据向量的加法法则、向量数量积的运算律，结合题中条件即可求解.
【详解】依题意，，则，
即，解得.
故答案为：.
题型7 向量新定义
例7-1已知，，定义新运算，记，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题中定义、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出的取值范围.
【详解】因为，，
根据题中定义可得
，故.
故选：A.
例7-2）我们可以把平面向量坐标的概念推广为“复向量”，即可将有序复数对视为一个向量，记作．类比平面向量的线性运算可以定义复向量的线性运算；两个复向量，的数量积记作，定义为；复向量的模定义为．
(1)设，，求复向量与的模；
(2)已知对任意的实向量与，都有，当且仅当与平行时取等号；
①求证：对任意实数，，，，不等式成立，并写出此不等式的取等条件；
②求证：对任意两个复向量与，不等式仍然成立；
(3)当时，称复向量与平行．设，，，若复向量与平行，求复数的值．
【答案】(1)10；；
(2)①证明见解析，当且仅当等号成立；②证明见解析；
(3)
【分析】（1）代入“复向量”和模的新定义，即可求解两个向量的模；
（2）①首先设实向量，，再分别计算和，再结合公式，即可证明；
②首先设复向量，，根据复数的三角不等式，以及实系数向量不等式，即可证明；
（3）根据等号成立的条件，再结合复数的三角不等式，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以的模为10；
因为，所以，
可得的模为；
（2）①设实向量，，
则，，，而，
根据已知，当且仅当与平行时取等号，即，
所以，当且仅当时等号成立；
②因为，，所以，
由复数的三角不等式，
，由，
得，所以，
所以，
综上所知，．
（3）②中考虑①中等号成立的条件知，结合复数的三角不等式，
复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得，
根据题意，若复向量与平行，
则，
根据中等号成立的条件，
应有，则，
又，则，解得，
所以，所以．
【变式训练7-1】定义：若不相等的两个向量，满足条件：且，，，均为整数，则称向量，互为“等模整向量”，则与向量互为“等模整向量”的向量个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】设与互为“等模整向量”的向量，根据定义求解即可.
【详解】设与互为“等模整向量”的向量，
则，所以，令，则，则（舍去），
令，则，则或，
令，则，则，
故与向量互为“等模整向量”的向量个数有3个.
故选：B.
【变式训练7-2】如图，在中，，，，，，设与交于点，且．
(1)求的值；
(2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）．
（ⅰ）若为的中点，求的值；
（ⅱ）若，求的值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）（ⅱ）
【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可；
（2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可；
（ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以
，
又三点共线，
所以，即.
（2）（ⅰ）因为为的中点，所以，
由（1）知，，则，即为的重心．
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
所以，
所以，
所以，
所以.
（ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，
则，
所以，
所以，
所以，
则，
所以
，
即，所以，即或，
因为，所以，又因为，
所以，则．
【变式训练7-3】已知向量，且，定义向量的新运算：．
(1)若向量，且，求；
(2)证明：是的充要条件，
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用向量垂直求得，进而利用定义计算即可；
（2）利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的性质及定义向量的新运算可证明.
【详解】（1）因为，且，所以，
解得，则，
所以．
（2）证明：若，则．
又，所以，即，
所以．
故是的充分条件．
若，则，
整理得，所以．
故是的必要条件．
综上所述，是的充要条件．
1．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由得，结合，得，由此即可得解.
【详解】因为，所以，即，
又因为，
所以，
从而.
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
6．（2023·上海·高考真题）已知,，求
【答案】4
【分析】
由平面向量数量积的坐标运算求解.
【详解】由题意得
故答案为：4
7．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】，因为，则，
则，解得.
则，则.
故答案为：.
8．（2025·天津·高考真题）中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为，所以，所以．
因为D为线段的中点，所以；
又因为，所以，
，所以
所以，
所以
．
故答案为：；.
1.若向量，满足，且，，则（ ）．
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】根据已知化简即可得出，，进而得出答案.
【详解】设，
由已知可得，，
所以.
又，
所以，解得（舍去负值），
所以，.
故选：D.
2.若，是单位向量，且，则与的夹角是 .
【答案】
【分析】根据已知即可求出，结合向量夹角的范围，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又，所以.
故答案为：.
3.已知点，，，求证：．
【答案】证明见详解
【分析】根据向量垂直的坐标表示分析证明.
【详解】由题意可得：，
因为，
所以，即.
4.一个物体在大小为6N的力F的作用下产生大小为100m的位移s，且力F与s的夹角为，则力F所做的功 J．
【答案】300
【分析】利用向量数量积公式进行求解.
【详解】J.
故答案为：300
5.已知，．若存在向量，使得，，试求向量的坐标．
【答案】
【分析】设，根据已知列出方程组，求解即可得出答案.
【详解】设，
则由已知可得，，
解得，，
所以，.
6.一架飞机从A地向北偏西60°的方向飞行1000km到达B地，然后向C地飞行，已知C地恰好在A地的南偏西60°，并且A，C两地相距2000km，求飞机从B地到C地的位移．
【答案】飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km.
【分析】由题设有，应用向量数量积的运算律求即可.
【详解】如下图，，
则，
所以km.
又，即，结合图易知：在南偏西方位，
综上，飞机从B地到C地的位移：南偏西且距离为 km.

7.已知，，与的夹角为，计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的运算律计算可得；
（2）根据数量积的定义求出，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】（1）因为，，
所以.
（2）因为，，与的夹角为，
所以，
所以.
8.已知点O为所在平面内一点，且满足．求证：点O是三条高线的交点．
【答案】证明见解析
【分析】根据题意，把用表示，代入已知向量等式计算，即可证明,
【详解】因为，，，
由可得，
，
所以，
则，
，
。
所以点O是三条高线的交点.
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