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第04讲 复数
目录
01 考情解码 命题预警 1
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 复数的概念 4
知识点2 复数的运算 5
知识点3 复数的几何意义 6
知识点4 复数的三角形式 7
题型破译 7
题型1 复数的概念 8
题型2 复数的分类 11
题型3 共轭复数 14
题型4 复数的几何意义 16
题型5 复数的四则运算 17
题型6 复数的高次方计算 19
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题 21
题型8 复数范围内解方程 23
题型9 复数的三角表示* 25
04真题溯源·考向感知 27
05课本典例·高考素材 29
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）数系的扩充与复数的引入 （2）复数代数形式的四则运算 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第1题，5分； 全国二卷，第2题，5分； 北京卷，第2题，4分； 天津卷，第10题，5分； 新课标I卷，第2题，5分； 新课标II卷，第1题，5分； 甲卷理科，第1题，5分； 上海卷，第9题，5分； 天津卷，第10题，5分； 新课标I卷，第2题，5分； 新课标II卷，第1题，5分； 甲卷理科，第2题，5分； 甲卷理科，第1题，5分； 北京卷，第2题，5分； 天津卷，第10题，5分；
考情分析： 1.复数在高考中是每年必考内容，命题较为稳定，难度较低，主要以选择题形式出现，通常位于前2题 2.复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除运算法则的掌握程度。
复习目标： 1.通过方程的解，认识复数； 2.理解复数代数表示及其几何意义； 3.掌握复数的四则运算，了解加减法的几何意义。
知识点1 复数的概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是，虚部是．
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi．
自主检测下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
【答案】D
【分析】根据复数的概念及分类，逐项判定，即可看求解.
【详解】对于A中，由虚数单位，可得A错误；
对于B中，若，那么，所以B错误；
对于C中，虚轴上的点对应复数，所以C错误；
对于D中，若复数满足，虚数不能比较大小，则均为实数，D正确.
故选：D.
知识点2 复数的运算
1、复数的运算法则
设， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）除法：
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
3、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：①当时，；②当时，
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，
将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
自主检测若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数除法运算即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
知识点3 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主检测（多选）已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数对应的点位于复平面第四象限
C．
D．若复数满足，则的最大值是
【答案】CD
【分析】对于AC，利用复数的四则运算和模长公式计算即可判断；对于B，利用复数除法计算后根据复数的几何意义即可判断；对于D，利用复数的模的几何意义数形结合即可计算判断.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，其对应的点位于复平面第三象限，故B错误；
对于C，因，故，故C正确；
对于D，由可知，复数对应的点的轨迹为以点为圆心，半径为5的圆，
而可理解为点到圆上的点的距离，如图所示.
由图知，当且仅当圆上的点在处(三点共线)时，距离最大，为，故D正确.
故选：CD.
知识点4 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辐角主值
（1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．
（2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．
规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作．
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知，，
（1）乘法：，即模数相乘，辐角相加．
（2）除法：，即模数相除，辐角相减．
自主检测复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解.
【详解】∵，，
∴，，故选项A，C错误；
∵，，
∴，，故选项B正确，选项D错误.
故选：B.
题型1 复数的概念
例1-1（多选）已知，是复数，是的共轭复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则
B．若，则或
C．若是纯虚数，则
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据复数知识和性质进行判断即可.
【详解】对于选项A：
假如，，此时，但，所以A错误；
对于选项B：
设，
所以.
所以，
若，即，方程组显然成立；
若，即，方程组显然成立；
若，将代入第二个式子中得.
由得，则，此时；
综上，所以B正确；
对于选项C：
假设是纯虚数，此时，C正确；
对于选项D：
设，所以，D正确.
故选：BCD.
例1-2（多选）下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．当时，复数是纯虚数
C．是关于x的方程的一个根
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
【答案】BCD
【分析】由复数的有关概念即可判断A；由复数是纯虚数可得，解之即可判断B；由根据系数的关系结合一元二次方程的两根互为共轭复数的结论即可得p，q的值，则C可判断；由复数的几何意义，结合数形结合的方法即可求得D.
【详解】因为虚数不能比较大小，所以A错误；
因为，
所以复数，为纯虚数，
所以当时，复数是纯虚数，故B正确；
因为，
所以是关于x的方程的一个根，故C正确
若复数满足，
由复数的几何意义可知不等式表示的范围为圆环，如下图所示：
则复数对应的点所构成的图形面积为，故D正确；
故选：BCD
方法技巧
判断复数的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；
（2）看属性：看，是否都是实数；
（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
【变式训练1-1】（多选）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B．
C．为纯虚数 D．复数z的虚部为i
【答案】BC
【分析】根据复数的运算可得.对于A：根据共轭复数的定义判断；对于B：根据模长公式分析判断；对于C：求得，结合纯虚数的定义判断；对于D：根据虚部的定义判断.
【详解】因为，可得，即.
对于选项A：，故A错误；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：因为，所以为纯虚数，故C正确；
对于选项D：复数的虚部为1，故D错误；
故选：BC．
【变式训练1-2】（多选）已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．若复数z满足，则最小值为
【答案】AD
【分析】由复数的定义判断A；由两个复数不能比较大小，可判断B；由复数的模及四则运算判断C；由复数的几何意义判断D.
【详解】解：对于A，由复数的定义可知复数的虚部为，故A正确；
对于B，因为两个复数不能比较大小，故B错误；
对于C，设，则，而，
故只有当，即复数为实数时，成立，故C错误；
对于D，因为，所以复数所对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
又因为，
所以表示点到单位圆上点的距离，
又因为点到原点的距离，
所以最小值为，故D正确.
故选：AD.
【变式训练1-3】已知复数，．
(1)若z为实数，求x的值；
(2)若z为虚数，求x的取值范围；
(3)若z为纯虚数，求x的值．
【答案】(1)
(2)
(3)．
【分析】（1）（2）（3）利用复数有相关概念列式求解.
【详解】（1）由z为实数，得，所以.
（2）由z为虚数，得，解得，
所以x的取值范围为.
（3）由z为纯虚数，得且，所以.
题型2 复数的分类
例2-1若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用复数的除法及纯虚数的定义列式求解.
【详解】依题意，，
则，解得，
所以实数a的值为.
故选：A
例2-2（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数的共轭复数的虚部为1
B．已知复数为纯虚数，则
C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若，则
【答案】ABD
【分析】根据复数的分类以及复数的几何意义逐一判断即可.
【详解】复数的共轭复数为，其虚部为1，所以A正确；
由且，得，所以B正确；
由且，得，所以C错误；
设，则，所以z在复平面内对应的点到点的距离为3，
所以z在复平面内对应的点到点的距离范围为，D正确．
故选：ABD
方法技巧 复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【变式训练2-1】已知，若复数是纯虚数，则 ．
【答案】3
【分析】利用纯虚数的定义求出，进而求得答案.
【详解】由是纯虚数，得，解得，，
所以.
故答案为：3
【变式训练2-2·变考法】已知i是虚数单位，复数．
(1)当时，求z的共轭复数；
(2)若z是纯虚数，求m的值：
(3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围，
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入，根据共轭复数的概念求解即可；
（2）根据纯虚数的充要条件列方程求解即可；
（3）根据复数对应的点第四象限实部为正，虚部为负可得的不等式，求解即可.
【详解】（1）当时，，
所以共轭复数
（2），
因为复数z是纯虚数，所以，
解得，
所以；
（3）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限
所以，即，
即，所以，
所以，实数m的取值范围是.
【变式训练2-3·变载体】复数z满足
(1)若复数z为实数，求m的值；
(2)若复数z为纯虚数，求m的值；
(3)设复数，若，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由复数z为实数，则虚部为0可解；
（2）由复数z为纯虚数，则实部为0，且虚部不为0；
（3）由复数相等的条件，可得，然后利用二次函数性质求值域即可.
【详解】（1）复数z为实数，所以.
（2）复数z为纯虚数，
所以，解得.
（3），
，
即，
又，所以时，，时，，
所以的取值范围为.
题型3 共轭复数
例3-1复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，化简得到，得到，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数满足，可得，
则，所以复数的虚部为.
故选：A.
例3-2已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的加法运算及共轭运算，再利用复数的几何意义即可得选项.
【详解】由，
则对应的点为位于第一象限，所以A正确，
故选：A.
例3-3设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据共轭复数的概念及复平面内点的位置判断.
【详解】因为，
所以，
所以在复平面内对应的点为在第一象限.
故选：A.
方法技巧 实部相等，虚部互为相反数
【变式训练3-1】（多选）已知为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】BC
【分析】对AD，举反例说明；对B，由共轭复数的定义可判断；对C，根据共轭复数的定义结合复数的乘法运算可判断.
【详解】对于A，，此时，故A错误；
对于B，若，由共轭复数的定义可得，故B正确；
对于C，设，由，则，
所以，故C正确；
对于D，如，，满足，但，故D错误.
故选：BC.
【变式训练3-2】（多选）已知虚数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为纯虚数
C．若，则或 D．若，则
【答案】BCD
【分析】设，根据虚数不能比较大小可判断A；根据可得可判断B；由得可判断C；利用复数相等求出可判断D.
【详解】设，
对于A，若，则，
因为虚数不能比较大小，故A错误；
对于B，若，即，可得，
则为纯虚数，故B正确；
对于C，若，则，可得，或
即，或，故C正确；
对于D，若，则，
即，解得，或，
可得，或，
所以，故D正确.
故选：BCD.
题型4 复数的几何意义
例4-1在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根据复数的乘法运算、除法运算及复数的几何意义即可求解.
【详解】∵，∴对应的点为，∴对应的点位于第二象限.
故选：B.
例4-2已知复数.
(1)当时，求；
(2)设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值.
【答案】(1)1
(2)1或
【分析】（1）根据共轭复数的定义及复数除法运算，复数模公式求解；
（2）由题，利用复数的几何意义求得，，利用两向量垂直的坐标关系求解.
【详解】（1）当时，，则，
，
.
（2）由题，，所以，，
则，
由，则，解得或.
方法技巧
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【变式训练4-1】已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先利用复数的除法运算法则化简，再根据对称性求解即可.
【详解】，
因为z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，
所以．
故选：B.
【变式训练4-2·变载体】已知，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用复数的加法运算和复数的几何意义即可得到判断.
【详解】已知，，则,
所以在复平面内对应的点是，即该点位于第四象限，
故选：D
题型5 复数的四则运算
例5-1已知复数满足，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】设，，根据共轭复数的定义、复数运算法则及复数相等的概念，即可求解复数，根据复数的模长公式即可求解.
【详解】设，，由，
∴，解得，
∴，∴.
故选：D.
例5-2计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)0
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据复数的加减运算法则化简即可；
（2）根据复数的乘法运算法则化简即可；
（3）根据平面向量的加减运算法则化简即可；
（4）根据平面向量的加减运算法则化简即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
方法技巧
1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项；
2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并. 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，.
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
【变式训练5-1】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】，利用共轭复数的定义、复数相等以及复数的概念、充分条件和必要条件的定义判断即可得出结论.
【详解】设，则，故，
故，则，故“”“”；
若，则，则，故“”“”.
综上所述，“”是“”的充要条件.
故选：C.
【变式训练5-2】若，则 .
【答案】
【分析】先化简得出复数，再应用加法运算结合模长公式计算求解.
【详解】因为，则，
则.
故答案为：.
题型6 复数的高次方计算
例6-1若复数，则 .
【答案】
【分析】利用复数的乘方运算求得，进而可求.
【详解】因为，所以.
故答案为：.
例6-2已知复数满足，则的最小值是 .
【答案】
【分析】
利用复数模的三角不等式可求得的最小值.
【详解】因为，则
，
当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.
故答案为：.
方法技巧
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．．
【变式训练6-1】（多选）设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为π
C．
D．若是实系数方程的一个根，则
【答案】BC
【分析】根据特例，可判定A不正确；根据复数的几何意义，得到表示的轨迹，结合圆的面积公式，可判定B正确；根据虚数的运算性质，可判定C正确；根据实系数方程的性质，结合韦达定理，可判定D不正确.
【详解】对于A中，例如：复数，可得，所以A不正确；
对于B中，由复数的几何意义，可得是以半径为和半径为的圆构成的圆环，
其中圆环的面积为，所以B正确；
对于C中，由虚数的运算性质：，
可得，所以C正确；
对于D中，由复数是实系数方程的一个根，
可得复数是实系数方程的另一个根，
则且，即，
所以，所以D不正确.
故选：BC.
【变式训练6-2】若复数，则的虚部为 .
【答案】
【分析】根据复数的乘方化简复数z，即可判断其虚部.
【详解】因为，，
故复数，故的虚部为，
故答案为：
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题
例7-1（多选）已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，则的最小值为1
【答案】ABD
【分析】选项A，根据复数除法运算，求得，再根据模长运算即可求解；选项B，令，分别计算和，即可判断；选项C，设，由得，可解得，但要注意的取值；选项D，根据复数模长的几何意义即可判断.
【详解】对于A，根据复数除法，，
则，所以A正确；
对于B，令，则，
所以，，所以，故B正确；
对于C，设，则，，
所以，，
因为，即，解得，，
所以当，，不是纯虚数，故C错误；
对于D，当，复数对应的点在单位圆上，即，
表示复数对应的点到点的距离，最小值为圆心到点的距离减去半径，即最小值为，故D正确.
故选：ABD.
例7-2若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】根据可得z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义可得结果.
【详解】设，因为即，
所以z的轨迹为以为圆心，以3为半径的圆，
所以，其表示上述圆上的点到点的距离，
所以其最大值为到的距离加半径，为.
故答案为：.
方法技巧
1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点．
【变式训练7-1】（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点可能是
B．
C．的实部与虚部之积小于等于3
D．复数，则的最大值为
【答案】ACD
【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D.
【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，
复平面的点，其模为正确；
错误；
令，则有，所以实部与虚部之积，C正确；
，则，D正确.
故选：ACD.
【变式训练7-2】（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．复数，
D．若复数满足，则的最大值为6
【答案】AD
【分析】对于A，利用虚数单位的计算即得；对于B，利用复数的四则运算与复数的几何意义即可判断；对于C，利用复数的四则运算化简复数，求其模长即可；对于D，利用复数的几何意义数形结合即可得到.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，由，则，
则复平面内对应的点位于第三象限，故B错误；
对于C，因，则，故C错误；
对于D，由可知复数对应的点表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，
而则可以理解为点到该圆上的点的距离，
故该距离最大值为.故D正确.
故选：AD.
题型8 复数范围内解方程
例8-1已知复数是关于的方程的根，则 .
【答案】26
【分析】依据题意可知也是方程的根，然后利用韦达定理可知.
【详解】由题可知：复数是关于的方程的根，
则也是方程的根，
所以.
故答案为：26
例8-2已知是关于的方程的一个根，其中，.
(1)求、的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，化简得到，列出方程组，即可求解；
（2）由（1）得，原方程为，化简得到，进而求得原方程的另一根.
【详解】（1）解：因为为方程的一个根，可得，
整理得，所以，
解得.
（2）解：由（1）得，原方程为，
配方得，于是，
解得或，所以原方程的另一根为.
方法技巧
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
①当时，；②当时，
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，
将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练8-1】若为的复数根，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据复数的三次方结合已知条件计算求解.
【详解】因为为的复数根，则，即得，
则.
故选：A.
【变式训练8-2·变考法】方程的复数根为，则 ，使得为纯虚数的实数的值为 .
【答案】
【分析】在复数范围内求解二次方程的根，结合复数的运算法则进行运算.
【详解】由，得，则.
若，则，所以，解得.
若，则，所以，解得.
故答案为：①；②.
题型9 复数的三角表示
例9-1已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解.
【详解】因为复数，
根据复数的运算法则，可得.
故选：C.
例9-2（多选）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案.
【分析】设，其中，则，
所以，而，则，
故即，故，
故B，D正确，A，C错误.
故选：BD.
【变式训练9-1】欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）.
A．0 B．
C．1 D．2
【答案】D
【分析】由题设新定义得，再应用乘方运算得，且，即可得.
【详解】由题设，则，
所以，
由，则，故时的最大值为2.
故选：D
【变式训练9-2】殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式 ．
【答案】
【分析】根据欧拉公式可得，结合复数的加法可得.
【详解】，，所以．
故答案为：.
1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
3．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得，所以.
故答案为：
5．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
【答案】2
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
6．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
故答案为：
1.在复数范围内解下列方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】根据题意，由一元二次方程的解法结合复数的运算，即可得到结果.
【详解】（1）将方程的二次项系数化为1，
得
得，即
所以原方程的根为
（2）方程的二次项系数为1，
配方，得由，
知可得
所以原方程的根为.
2.计算的5次方根．
【答案】
【分析】把复数化成三角形式，利用复数的开方运算法则直接求5次方根.
【详解】设的5次方根为，
所以，
即，
所以，得，
所以的5次方根是5个复数，记为.
3.在复平面内，将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，写出你的思考过程．
【答案】
【分析】将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，可得所求复数为，代入三角函数值，再由复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【详解】根据复数乘法的几何意义，所求的复数是，
即.
故与所得的向量对应的复数是.
4.如图，向量与复数对应，把绕原点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数（用代数形式表示），写出你的思考过程．

【答案】
【分析】由复数代数表示法及其几何意义可知，把绕原点O按逆时针方向旋转120°得到后所对应的复数为，再由复数乘法即可求解.
【详解】因为向量与复数对应，若把绕原点O按逆时针方向旋转得到，
则由复数代数表示法及其几何意义可知，
所对应的复数为，
而，
因此所对应的复数为.
5.判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.
(1)；
(2)．
【答案】(1)不是，理由见解析；
(2)不是，理由见解析；
【分析】根据复数的三角形式即可判断.
【详解】（1）括号内两项中间不是加号，故不是复数的三角形式，
其三角形式为.
（2）不满足复数的模大于等于0，故不是复数的三角形式，
其三角形式为.
6.设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数．
【答案】.
【分析】先化简复数，再化简复数，再由的虚部减去其实部，即可求得，再将代入求解即可.
【详解】由已知，，
∴
∴复数的实部为，虚部为，
由已知，
∵，∴解得.
∴复数的实部为，虚部为，
∴复数.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)第04讲 复数
目录
01 考情解码 命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 4
知能解码 4
知识点1 复数的概念 4
知识点2 复数的运算 4
知识点3 复数的几何意义 5
知识点4 复数的三角形式 6
题型破译 6
题型1 复数的概念 7
题型2 复数的分类 8
题型3 共轭复数 9
题型4 复数的几何意义 9
题型5 复数的四则运算 10
题型6 复数的高次方计算 11
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题 11
题型8 复数范围内解方程 12
题型9 复数的三角表示* 13
04真题溯源·考向感知 13
05课本典例·高考素材 14
考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年
（1）数系的扩充与复数的引入 （2）复数代数形式的四则运算 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第1题，5分； 全国二卷，第2题，5分； 北京卷，第2题，4分； 天津卷，第10题，5分； 新课标I卷，第2题，5分； 新课标II卷，第1题，5分； 甲卷理科，第1题，5分； 上海卷，第9题，5分； 天津卷，第10题，5分； 新课标I卷，第2题，5分； 新课标II卷，第1题，5分； 甲卷理科，第2题，5分； 甲卷理科，第1题，5分； 北京卷，第2题，5分； 天津卷，第10题，5分；
考情分析： 1.复数在高考中是每年必考内容，命题较为稳定，难度较低，主要以选择题形式出现，通常位于前2题 2.复数的四则运算作为复数部分的核心内容，是考查的重点之一。主要考查学生对复数加、减、乘、除运算法则的掌握程度。
复习目标： 1.通过方程的解，认识复数； 2.理解复数代数表示及其几何意义； 3.掌握复数的四则运算，了解加减法的几何意义。
知识点1 复数的概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，实部是 ，虚部是 ．
2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝ ，我们把i叫作虚数单位．
3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．
4、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0的复数实际上是一个实数．
（1）
（2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
5、复数相等：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d．
6、共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数．
复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝ ．
自主检测下列关于复数的说法，正确的是（ ）
A．复数的任何偶数次幂都不小于零
B．若实数，则是纯虚数
C．在复平面内，虚轴上的点对应的复数均为纯虚数
D．若复数满足，则均为实数
知识点2 复数的运算
1、复数的运算法则
设， (a，b，c，d∈R)，则：
（1）加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝ ；
（2）减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝ ；
（3）乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ ；
（4）除法：
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)； （2）·z＝|z|2＝||2.
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2. （4）(1±i)2＝±2i.
（4）＝i；＝－i.
3、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．
4、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：①当时，；②当时，
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，
将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
自主检测若复数满足（i是虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
知识点3 复数的几何意义
1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．
2、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z 是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3、复数的模
（1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|．
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．
自主检测（多选）已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．复数对应的点位于复平面第四象限
C．
D．若复数满足，则的最大值是
知识点4 复数的三角形式
1、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辐角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
2、辐角主值
（1）辐角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．
（2）辐角的主值：根据辐角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．
规定：其中在范围内的辐角的值为辐角的主值，通常记作．
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角是任意的．
3、复数乘、除法的三角表示：已知，，
（1）乘法：，即模数相乘，辐角相加．
（2）除法：，即模数相除，辐角相减．
自主检测复数的三角形式为（ ）
A． B．
C． D．
题型1 复数的概念
例1-1（多选）已知，是复数，是的共轭复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则
B．若，则或
C．若是纯虚数，则
D．若，则
例1-2（多选）下列有关复数的结论正确的是（ ）
A．
B．当时，复数是纯虚数
C．是关于x的方程的一个根
D．若复数z满足，则复数z对应的点所构成的图形面积为
方法技巧
判断复数的实部、虚部的关键
（1）看形式：看复数的表示是否是的形式；
（2）看属性：看，是否都是实数；
（3）看符号：复数的实部和虚部的符号是易错点.
【变式训练1-1】（多选）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则（ ）
A． B．
C．为纯虚数 D．复数z的虚部为i
【变式训练1-2】（多选）已知i为虚数单位，则下列说法中正确的是（ ）
A．复数的虚部为 B．
C． D．若复数z满足，则最小值为
【变式训练1-3】已知复数，．
(1)若z为实数，求x的值；
(2)若z为虚数，求x的取值范围；
(3)若z为纯虚数，求x的值．
题型2 复数的分类
例2-1若复数 ，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．3
例2-2（多选）下列说法正确的是（ ）
A．复数的共轭复数的虚部为1
B．已知复数为纯虚数，则
C．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则
D．若，则
方法技巧 复数的分类：对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【变式训练2-1】已知，若复数是纯虚数，则 ．
【变式训练2-2·变考法】已知i是虚数单位，复数．
(1)当时，求z的共轭复数；
(2)若z是纯虚数，求m的值：
(3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围，
【变式训练2-3·变载体】复数z满足
(1)若复数z为实数，求m的值；
(2)若复数z为纯虚数，求m的值；
(3)设复数，若，求的取值范围．
题型3 共轭复数
例3-1复数z满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A． B．1 C． D．
例3-2已知复数，，复数，则的共轭复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例3-3设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
方法技巧 实部相等，虚部互为相反数
【变式训练3-1】（多选）已知为复数，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式训练3-2】（多选）已知虚数，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则为纯虚数
C．若，则或 D．若，则
题型4 复数的几何意义
例4-1在复平面内，对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例4-2已知复数.
(1)当时，求；
(2)设，在复平面内对应的点分别为，，若，求的值.
方法技巧
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的．
【变式训练4-1】已知复数z与在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（ ）
A． B． C． D．
【变式训练4-2·变载体】已知，，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
题型5 复数的四则运算
例5-1已知复数满足，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
例5-2计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
方法技巧
1、复数的加减法：实部与虚部相加减，虚部与虚部相加减分别作为结果的实部与虚部。把i看作字母，类比多项式加减法中的合并同类项；
2、复数的乘法可以按照多项式的乘法计算，只是在结果中要将换成，并将实部、虚部分别合并. 多项式展开中的一些重要公式仍适用于复数，常用公式有，，.
2、复数的除法法则在实际操作中不方便适用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算．
【变式训练5-1】“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式训练5-2】若，则 .
题型6 复数的高次方计算
例6-1若复数，则 .
例6-2已知复数满足，则的最小值是 .
方法技巧
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i．．
【变式训练6-1】（多选）设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为π
C．
D．若是实系数方程的一个根，则
【变式训练6-2】若复数，则的虚部为 .
题型7 与复数模相关的轨迹（图形)问题
例7-1（多选）已知为复数，为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则为纯虚数
D．若，则的最小值为1
例7-2若复数z满足（为虚数单位），则的最大值为 ．
方法技巧 1、求复数在复平面内对应点的集合表示的图形时，常用的方法是通过化简得到关于复数模的最简等式或不等式，然后根据复数的模的几何意义直接判断图形的形状．
2、复数的几何意义是复平面内两点之间的距离公式，若，则表示复平面内点与点之间的距离，则表示以为圆心，以r为半径的圆上的点．
【变式训练7-1】（多选）已知复数满足，则下列结论正确的是（ ）
A．在复平面内对应的点可能是
B．
C．的实部与虚部之积小于等于3
D．复数，则的最大值为
【变式训练7-2】（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．复数，
D．若复数满足，则的最大值为6
题型8 复数范围内解方程
例8-1已知复数是关于的方程的根，则 .
例8-2已知是关于的方程的一个根，其中，.
(1)求、的值；
(2)在复数范围内，求该方程的另一根.
方法技巧
在复数范围内，实系数一元二次方程的求解方法：
（1）求根公式法：
①当时，；②当时，
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为，
将此代入方程，化简后利用复数相等的定义求解．
【变式训练8-1】若为的复数根，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练8-2·变考法】方程的复数根为，则 ，使得为纯虚数的实数的值为 .
题型9 复数的三角表示
例9-1已知复数（为虚数单位），则等于（ ）
A．1 B． C． D．
例9-2（多选）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练9-1】欧拉公式：是虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数，复数满足，则的最大值为（ ）.
A．0 B．
C．1 D．2
【变式训练9-2】殴拉（1707-1783）是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数之间的关系，请你根据欧拉公式将复数表示成（，i为虚数单位）的形式 ．
1．（2025·全国一卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
3．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
4．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ．
5．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为 ．
6．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是 ．
1.在复数范围内解下列方程
(1)
(2)
2.计算的5次方根．
3.在复平面内，将与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转60°，求与所得的向量对应的复数，写出你的思考过程．
4.如图，向量与复数对应，把绕原点O按逆时针方向旋转得到，求对应的复数（用代数形式表示），写出你的思考过程．

5.判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由.
(1)；
(2)．
6.设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数．
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