资源简介

(共24张PPT)
14.2 三角形全等的判定
（第5课时 HL）
第十四章 全等三角形
人教版(新教材)数学八年级上册
探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理.
经历HL的探究过程，体会从一般到特殊的研究方法；应用HL判定直角三角形全等，体会转化思想，提高有条理地思考和表达的能力.
在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力.在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识.
核
心
素
养
目
标
目录
CONTENT
情景引入
1
合作探究
2
典例分析
3
巩固练习
4
归纳总结
5
感受中考
6
小结梳理
7
布置作业
8
复习引入
全等三角形
定义
性质
判定
对应边相等
对应角相等
两边一夹角（SAS）
两角一夹边（ASA）
两角一对边（AAS）
三边 （SSS）
复习引入
两边一夹角（SAS）
两角一夹边（ASA）
两角一对边（AAS）
三边 （SSS）
两直角边分别相等
问题 SAS、ASA、AAS、SSS适用于任意三角形全等的判定.直角三角形作为一种特殊的三角形，“直角”这个特征会不会给它带来独特的全等判定方法呢？
一直角边和它相邻的锐角分别相等
一直角边和它相对的锐角分别相等
斜边和一锐角分别相等
如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
合作探究
探究5 如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗
（B'）
（C'）
点A'与点A是否重合？
A'
信息技术验证
（A'）
合作探究
判定直角三角形全等的方法
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B′C′(HL).
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．
分析 如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.
典例分析
例6 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证 BC=AD.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
巩固练习
1. 如图，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F，且有BF=AC，FD=CD，要证明△ADC≌△BDF需要的判定方法是( )
A.HL B.SSS C.AAS D. ASA
A
巩固练习
2. 如图，用三角尺可以画角平分线:如图所示，在已知∠AOB的两边上分别取点 M，N，使OM=ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线.小明发现说明此画法的合理性时需要证明△POM与△PON全等，其依据是( )
A.SAS B.SSS C.AAS D.HL
D
巩固练习
3. 下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（ ）
①两个锐角对应相等
②两条直角边对应相等
③斜边和一直角边对应相等
④一锐角和斜边对应相等
⑤一锐角和一直角边对应相等
A．5 B．4 C．3 D．2
B
巩固练习
4. 在Rt△ABC中，∠A=90°，点D在AC上，DE⊥BC于点E，且DE=DA，连接DB.若∠C=20°，则∠DBE的度数为 .
35°
巩固练习
5.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距离相等吗 为什么
解：D，E到路段AB的距离相等，理由如下：
由题意得：CD=CE.
∵C是路段AB的中点，
∴AC=BC.
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴AD=BE，即D，E到路段AB的距离相等.
巩固练习
证明：∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠CFD=∠BEA=90°.
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA(HL).
∴AE=DF.
巩固练习
6.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.
求证 AE=DF.
归纳总结
全等三角形的判定（HL） 斜边 直角边（HL） 和 分别相等的两个直角三角形全等. 图示 符号语言
斜边
一直角边
在Rt△ABC和Rt△A'B′C′中，
∴ Rt△ABC≌Rt△A'B′C′(HL).
感受中考
1.(2025·山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起,记中点为O，即AO =CO，BO=DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离·图中△AOB与△COD全等的依据是( )
A.SSS
B. SAS
C.ASA
D.HL
B
巩固练习
2. （2022·株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上(其中∠ABC=
30°)，OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM=ON，则∠ABO= 度.
15
感受中考
3.（2023·南通）如图，点D，E分别在 AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC.求证:∠1=∠2.
小虎同学的证明过程如下:
(1)小虎同学的证明过程中，
第 步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程
二
(2)证明:∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△DOB和△EOC中，
∴△DOB≌△EOC(AAS)
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1=∠2.
感受中考
小结梳理
全等三角形
定义
性质
判定
对应边相等
对应角相等
两边一夹角（SAS）
两角一夹边（ASA）
两角一对边（AAS）
三边（SSS）
斜边直角边（HL）
适用于任意三角形
适用于直角三角形
布置作业
必做题：习题14.2 第11，12题.
1
探究性作业：习题14.2 第18题.
2
谢谢观看！
人教版八年级上册/ 让教学更有效 高效备课 | 数学学科
14.2 三角形全等的判定(第5课时 HL)教学设计
一、内容和内容解析
1. 内容
本节课聚焦直角三角形全等的特殊判定方法“HL”。内容上，先通过复习一般三角形全等的判定方法（SAS、ASA、AAS、SSS），引导学生将其迁移到直角三角形中，推导出直角三角形可直接应用的判定思路，进而提出核心问题：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形是否全等？”随后通过合作探究、几何画板验证等方式确认HL的正确性，明确其文字语言、图形语言和符号语言，并结合典例、练习、中考题应用强化理解，最终梳理出适用于任意三角形的4种判定方法和仅适用于直角三角形的HL，形成完整的知识体系。
2. 内容分析
本节课是三角形全等判定的延伸与深化，既建立在一般三角形判定方法的基础上，又通过直角三角形的特殊性提炼出专属判定方法，体现了“从一般到特殊”的逻辑关系。HL的探究过程融合了直观操作与理性证明，不仅丰富了全等判定的方法库，更培养了学生针对特殊图形优化解决策略的思维，为后续学习直角三角形的其他性质和几何证明奠定了基础，同时中考题的引入强化了知识的实际应用价值。
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。能运用HL判定两个直角三角形全等。
（2）经历HL的探究过程，体会从一般到特殊的研究方法；应用HL判定直角三角形全等，体会转化思想，提高有条理地思考和表达的能力。
（3）在探究和证明的过程中，发展直观想象和数学抽象素养，提升逻辑推理能力。在解决实际问题的过程中，增强数学建模意识和应用意识。
2. 目标解析
（1）通过复习一般三角形的判定方法，学生可迁移得出直角三角形的部分判定思路，进而在探究中突破“斜边和直角边对应相等”这一特殊情况，最终达成对HL的完整认知。学生不仅能独立阐述其内涵，还能在具体问题中准确选择HL进行推理，实现知识从理解到应用的转化。
（2）从一般三角形全等的判定方法出发，探索发现直角三角形特殊的判定方法，深入理解各种判定方法之间的关系；在解决几何问题时，引导学生关注线段和角的等量转化，提高运用数学思想方法解决问题的能力，同时在证明过程中，通过严谨的逻辑推理，培养逻辑思维能力。
（3）在探索判定方法的过程中，通过观察图形、动手操作等活动，培养学生的几何直观；在证明三角形全等的过程中，要求学生依据已知条件，按照严格的逻辑顺序进行推理，逐步得出结论，从而提升逻辑推理素养；通过引入实际问题情境或中考真题，让学生体会数学知识在解决问题中的应用价值，增强应用意识，提高运用所学知识解决问题的能力。
三、教学问题诊断分析
1. 问题分析
（1）关于HL适用范围的理解偏差
学生在学习HL前已掌握适用于任意三角形的四种判定方法，可能因思维惯性忽略HL的“直角”前提，导致判定方法使用错误。
（2）关于HL与SSA的混淆
学生易将HL误等同于SSA。从形式上看，HL的“斜边、直角边对应相等”与SSA的“两边及其中一边的对角对应相等”相似，但SSA在一般三角形中不能判定全等。学生可能因表面形式的相似性，在书写时直接写成“SSA”，忽略两者的本质区别。
（3）关于HL书写过程的不规范
HL的符号语言需明确体现“直角三角形”“斜边”“直角边”三个关键要素，与其他判定方法的书写存在差异。学生可能会沿用SAS、SSS等的书写习惯，导致推理过程缺乏严谨性。
2. 解决策略
（1）针对适用范围问题
设计对比性例题，呈现“两边对应相等”的直角三角形与非直角三角形，引导学生尝试判定。通过非直角三角形中“斜边不存在”的讨论，明确HL必须以“直角三角形”为前提。
（2）针对HL与SSA的混淆
通过几何画板演示“SSA”的反例，让学生直观对比两者的差异；同时要求学生在书写时先注明“在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中”，强化“直角”前提的重要性。
（3）针对书写不规范问题
板书示范HL的完整书写过程，用彩色笔突出“Rt△”“斜边”等关键词；设计纠错练习，给出错误案例，让学生修正，强化规范意识。
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能熟练应用HL判定直角三角形全等。
四、教学过程设计
（一）复习引入
同学们，我们已经学习了全等三角形的哪些判定方法？你能说说具体内容吗？
问题 SAS、ASA、AAS、SSS适用于任意三角形全等的判定.直角三角形作为一种特殊的三角形，“直角”这个特征会不会给它带来独特的全等判定方法呢？
追问 如果满足斜边和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
设计意图：通过提问回顾全等三角形已学判定方法，建立新旧知识联系，点明本节课从“斜边和一直角边”的角度探索直角三角形的特殊判定方法，清晰呈现教学推进方向，让学生知晓学习任务，带着目标开启新知探究，提升学习针对性与主动性。
（二）合作探究
探究5 如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C'=∠C=90°，A'B'=AB，B'C'=BC.这两个三角形全等吗
如图，由∠C'=∠C=90°可知，如果使点C'与点C重合，并且使射线CB'与射线CB重合，那么射线CA'与射线CA重合，再由B'C'=BC，可知点B'与点B重合.
追问 点A'与点A是否重合？
信息技术验证
拖动点A'，观察AB和A'B的长度，发现只有点A'与点A重合时，才有A'B=AB.
判定直角三角形全等的方法：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等.
(简写成“斜边、直角边”或“HL”)
在今后的学习中，我们将用勾股定理证明这个判定方法．
设计意图：借助探究5，通过观察、操作与信息技术验证，引导学生发现斜边和一直角边对应相等时直角三角形全等，得出 “HL” 判定。既让学生经历探究过程，体会从操作到归纳的方法，又为后续用勾股定理证明埋下伏笔。
（三）典例分析
例6 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC=BD.求证 BC=AD.
分析 如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以得出BC=AD.由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD具备“斜边、直角边”的条件.
证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C=∠D=90°.
在Rt△ABC和Rt△BAD中，
∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).
∴BC=AD.
设计意图：通过例6巩固对HL判定方法的理解与掌握，强化全等三角形的判定与性质在几何证明中的应用。规范学生几何证明的书写步骤，让学生学会清晰表述 “找条件— 证全等— 得结论”的逻辑链条，提升几何证明的规范性和严谨性。
（四）巩固练习
1．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（ A ）
A． B． C． D．
2．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．小明发现说明此画法的合理性时需要证明与全等，其依据是（ D ）
A． B． C． D．
第1题图 第2题图 第3题图
3．下列条件，能判定两个直角三角形全等的有（ B ）
①两个锐角对应相等 ②两条直角边对应相等 ③斜边和一直角边对应相等
④一锐角和斜边对应相等 ⑤一锐角和一直角边对应相等
A．5 B．4 C．3 D．2
4．在中，，点D在上，于点E，且，连接．若，则的度数为 35° ．
5.如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB，D，E到路段AB的距离相等吗 为什么
解：D，E到路段AB的距离相等，理由如下：
由题意得：CD=CE.
∵C是路段AB的中点，
∴AC=BC.
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A=∠B=90°.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL).
∴AD=BE，即D，E到路段AB的距离相等.
6.如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF.求证 AE=DF.
证明：∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE.
∵DF⊥BC，AE⊥BC，
∴∠CFD=∠BEA=90°.
在Rt△CFD和Rt△BEA中，
∴Rt△CFD≌Rt△BEA(HL).
∴AE=DF.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。
归纳总结
感受中考
1．（2025 山西）如图，小谊将两根长度不等的木条的中点连在一起，记中点为，即．测得两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上两点之间的距离．图中与全等的依据是（ B ）
A． B． C． D．
2．（2022 株洲）如图所示，点O在一块直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N，若OM＝ON，则∠ABO＝　15　 度．
第1题图 第2题图
3．（2023 南通）如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC＝∠AEB＝90°，BE，CD相交于点O，OB＝OC．求证：∠1＝∠2．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠DOB+∠B＝∠EOC+∠C＝90°． ∵∠DOB＝∠EOC， ∴∠B＝∠C．……第一步 又OA＝OA，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO．……第二步 ∴∠1＝∠2．……第三步
（1）小虎同学的证明过程中，第 　二　 步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
（2）证明：∵∠ADC＝∠AEB＝90°，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
在△DOB和△EOC中，
，
∴△DOB≌△EOC（AAS），
∴OD＝OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO（HL），
∴∠1＝∠2.
设计意图：在学习完新知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。
（七）小结梳理
设计意图：用思维导图帮助学生梳理全等三角形的定义、性质和判定，同时展示HL与其他判定方法的区别，将零散知识串联，构建清晰、完整的知识网络，强化对全等三角形知识的整体认知。
（八）布置作业
1.必做题：习题14.2 第11，12题.
2.探究性作业：习题14.2 第18题.
五、教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑