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第二章 实数
回顾与思考导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。
2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。
3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。
4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。
学习重点：知识的整理和归纳。
学习难点：运用知识解决实际问题。
预习自测
绘制章节思维导图
教学过程
一、知识梳理
实数的相关概念
1.实数的分类
2、真题再现
①1.下列各数，0，，，3π，中，中无理数的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
②一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ ）
A.整数， B. 分数 C.有理数 D.无理数
二、平方根与立方根
1、正数a的 ，叫做这个正数的算术平方根
2、0的算术平方根是 ， 没有平方根。
具有双重非负性，即被开方数非负数，算术平方根非负数。
4、平方根和立方根的相同点与不同点：
开平方的定义： 。
开立方的定义： 。
平方根的性质： 。
立方根的性质： 。
真题再现
①.下列语句中正确的是（ ）
A.-9的平方根是-3, B.9的平方根是3, C.9的算术平方根是 ±3， D.9的算术平方根是3
②的平方根是( )
±5 B.﹢5 C.﹣5 D.
③.9的算术平方根是（ ）; (-5)的立方根是（ ） ; 10的平方根是（ ） ;
④已知一个正方形的边长为a,面积为 S ，则( )
B.S的平方根是a C.a是S平方根 D.
三、二次根式
1、二次根式的定义： .
二次根式乘除法计算法则
⑴积的算术平方根= ；
用字母表示： 。
⑵商的算术平方根= ；
用字母表示： 。
最简二次根式 ：满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式 ：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ 。
【强调】：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式.
4、二次根式的运算 ：
⑴二次根式的加减：类似合并同类项 ；
⑵二次根式的乘法 ：
⑶二次根式的除法 ：
二次根式的乘方 ：
【强调】注意平方差公式与完全平方公式的运用！
5、真题再现
①下列运算中，正确的是（ ）
②.下列运算正确的是( )
③比较大小：
④4.在数轴上作出 的对应点。
⑤5.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是 。
三、课堂练习、巩固提高
（1）＝　 　；
（2）|3﹣|＝　 　；
（3）﹣8的立方根是 　 ；
（4）4的平方根是 　 　．
2.．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　 　．
3．在0、﹣π、﹣1、2四个数中，最小的数是（　　）
A．0 B．2 C．﹣π D．﹣1
4．下列四个实数中，一定是无理数的是（　　）
A． B．
C．3.1415926 D．0.13133……
5．若2、5、n为三角形的三边长，则化简+的结果为（　　）
A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．10
6．下列二次根式中，化简后与可以合并的二次根式是（　　）
A． B． C． D．
7.计算：
（1）；（2）．
能力提升：
8.观察下列计算：．
＝＝＝﹣1，
＝＝＝﹣，
＝＝＝﹣，
（1）运用上面的计算方法化简（n为正整数）；
（2）利用上面的结论计算：（+++…+）（1+）；
（3）计算：++．
拓展迁移
9.“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：＝＝
7＋4．除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简－，可以先设x＝－，再两边平方，得x2＝(－)2＝4＋＋4－－2=2，又因为, ＞，所以x＞0，所以x＝，故－＝．根据以上方法，化简+－的结果是 ．
10．已知a，b，c满足a2－4a＋8＋＋|c－3|=0.
(1)求a，b，c的值；
(2)若a，b，c为三条线段的长，这三条线段能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．
总结反思、拓展升华
1、实数的分类（有理数与无理数）.
2、平方根的概念类比得出立方根的概念.
3、平方根与算术平方根的联系与区别.
4、平方根与立方根的计算.
5、二次根式与最简二次根式.
6、实数的运算，①加减法；②乘除法；③乘方.
五、【作业布置】
基础达标：
1．在实数，－，，0，π，－中，无理数的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列结论中，正确的有(　　)
①＝4；②＝±；③－32的平方根是－3；
④的算术平方根是－5；⑤±是1的平方根．
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简＋|a－b|＋2－|a＋b|的结果是(　　)
A．2a－b＋1 B．a－2b＋1
C.－a＋2b－1 D．2a＋b－1
4．若＋＝b(b为整数)，则a的值可以是(　　)
A． B．27 C．24 D．20
5．把(2－x)的根号外的(2－x)适当变形后移入根号内，得(　　)
A． B． C．－ D．－
6．计算：
(1)＋|－3|－(π－1)0－； (2)－×－(＋2)(2－)．
能力提升：
7.观察下面的式子：
S1＝1＋＋，S2＝1＋＋，S3＝1＋＋，…，Sn＝1＋＋.
(1)计算：＝__________，＝__________，猜想：＝________(用含n的代数式表示)；
(2)计算：S＝＋＋＋…＋.(用含n的代数式表示)
8.实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．
(1)如图1，点A表示的数是____；
(2)如图2，直线l垂直数轴于表示4的点，请用尺规作出表示1－的点(不写作法，保留作图痕迹)．
拓展迁移：
9．阅读材料：
因为2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.
解决下列问题：
(1)填空：的小数部分是 ____________；
(2)已知a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，求代数式(a＋1)3＋(b＋4)2的值；
(3)已知m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，求m－n的相反数．
规定新运算符号“☆”：a☆b＝ab＋－. 例如：(－2)☆1＝(－2)×1＋－＝1－.
(1)求☆的值；
(2)求(＋)☆的值；
(3)若[－(2x－1)2]☆＝－，求x的值．
课堂练习参考答案：
1.10；；-2；±2
2.2
3.C
4.A
5.A
6.D
7.解：（1）
＝
＝﹣3﹣2﹣3+
＝﹣6；
（2）
＝3﹣2+1+3+4+4﹣2（3+﹣2）
＝3﹣2
＝9．
8.解：（1）
＝
＝
＝；
解：（2）（+++…+）（1+）
＝（+++…+）（1+）
＝（﹣1）（1+）
＝2022﹣1
＝2021；
解：（3）++
＝++
＝﹣1++
＝﹣1．
9.解析：设x＝－，
两边平方，得x2＝(－)2＝8＋4＋8－4－2＝8，
因为>，
所以x＞0，
所以x＝2.
故原式＝＋2
＝＋2
＝＋2
＝3－2＋2＝3.
10.解：(1)因为a2－4a＋8＋＋|c－3|＝0，
所以(a－2)2＋＋|c－3|＝0，
所以a－2＝0，b－5＝0，c－3＝0.
所以a＝2，b＝5，c＝3.
(2)能．
因为2＋3＝5＞5，
所以能构成三角形，
三角形的周长＝2＋3＋5＝5＋5.
课外作业参考答案：
C
A
C
D
5.D; 解析：：由≥0且x－2≠0，得x－2>0，
故(2－x)
＝－(x－2)
＝－
＝－.
6.（1）解：原式＝－2＋3－－1－3
＝－4.
（2）解;原式＝＋1－－[22－()2]
＝2＋1－2－(4－3)
＝1－1
＝0.
7.解：(1)；；
点拨：因为S1＝1＋＋＝，
所以＝＝.
因为S2＝1＋＋＝，
所以＝.
因为S3＝1＋＋＝，
所以＝，….
所以＝.
(2)S＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋
＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－)
＝n＋1－
＝.
（1）
(2)如图，点P即为所求．
9.解：(1) －8
(2)因为4<<5，
所以0<－4<1.
因为a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，
所以a＝0，b＝－4，
所以(a＋1)3＋(b＋4)2
＝13＋()2
＝1＋19
＝20.
(3)因为1<<2，所以3<2＋<4.
因为m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，
所以m＝3，n＝2＋－3＝－1，
所以m－n的相反数为－(m－n)＝n－m＝－4.
10.解：(1)☆＝3 ×＋－＝9.
(2)(＋)☆
＝(＋)×＋－
＝12＋6＋－
＝18－.
(3)因为[－(2x－1)2]☆＝[－(2x－1)2]×＋－＝－，
所以(2x－1)2＝9，
所以2x－1＝±3，
所以x＝或x＝.
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北师大版（2024）第二章《实数》回顾与思考教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 回顾与思考 课时 1
课标要求 无理数与实数：理解无理数和实数的概念；理解实数与数轴上的点一一对应； 能对实数进行分类。掌握算术平方根、平方根的区别，理解平方根和算术平方根的概念；理解立方根的概念；会用根号表示平方根和立方根；了解平方根和立方根的性质； 能求某些非负数的平方根和算术平方根，能求某些数的立方根。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能把非最简二次根式化简成最简二次根式，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
教材分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法。
学情分析 从知识储备来看，学生已经平方根、立方根、二次根式的运算，数的认识扩充到无理数。并且会用数轴上的点表示一个无理数。从能力看，八年级学生的思维从具体的形象思维到逻辑思维的转折，教材内容呈现具体性和形象性，同时具备了适当的概括要求，适应了这一时期的发展要求，又促进了他们的思维向高一级发展。在学习态度上，由于学生的种种原因，忽视了自身的内在思维能力的成长，独立思考、自主探究、合作交流这一数学学习的基本过程还没有形成常态。
核心素养目标 1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。
教学重点 知识的整理和归纳。
教学难点 运用知识解决实际问题。
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 知识框架 展示预习题（章节思维导图） 绘制思维导图，对本章节知识点有大致的了解。
二、知识梳理 实数的相关概念1.实数的分类2、真题再现①1.下列各数，0，，，3π，中，中无理数的个数是（ A ）A.2 B.3 C.4 D.5②一个长方形的长与宽分别是6、3，它的对角线的长可能是（ D ） A.整数， B. 分数 C.有理数 D.无理数二、平方根与立方根1、正数a的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根2、0的算术平方根是0 ，负数没有平方根。3、算术平方根具有双重非负性，即被开方数非负数，算术平方根非负数。平方根的定义：若 ，则x叫a的平方根，即 立方根的定义；若 ，则x叫a的平方根，即 6、平方根和立方根的相同点与不同点：开平方的定义：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，其中a叫做被开方数开立方的定义：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数平方根的性质：一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根.立方根的性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.真题再现①.下列语句中正确的是（ D ）A.-9的平方根是-3, B.9的平方根是3,C.9的算术平方根是 ±3， D.9的算术平方根是3②的平方根是( A )±5 B.﹢5 C.﹣5 D.③.9的算术平方根是（ 3 ）; (-5)的立方根是（ -5 ） ; 10的平方根是（ ±0.1 ） ;④已知一个正方形的边长为a,面积为 S ，则( C ) B.S的平方根是a C.a是S平方根 D.三、二次根式1、二次根式的定义：形如的式子叫做二次根式，其中a叫做被开方数.二次根式乘除法计算法则⑴积的算术平方根等于算术平方根的积；⑵商的算术平方根等于算术平方根的商；最简二次根式 ：满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式 ：⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式； ⑵被开方数不能含有分母； ⑶分母不能含有根号. 注意：二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式. 4、二次根式的运算 ：⑴二次根式的加减：类似合并同类项 ；⑵二次根式的乘法 ：⑶二次根式的除法 ：(4)二次根式的乘方 ：注意平方差公式与完全平方公式的运用！5、真题再现①下列运算中，正确的是（ A ） ②.下列运算正确的是( D ) ③比较大小： ④4.在数轴上作出 的对应点。⑤5.实数a,b,c,d在数轴上的对应点如图所示，则它们从小到大的顺序是 梳理实数的相关概念，完成习题。梳理平方根和立方根相关知识，完成相应习题。梳理二次根式相关知识，完成相应习题。 通过梳理章节主要内容，采用边梳理边完成习题。使学生灵活运用和掌握知识点。提高学生的综合素养。
五、课堂练习 基础达标：（1）＝　 10 　；（2）|3﹣|＝　 　；（3）﹣8的立方根是 　-2 ； （4）4的平方根是 　±2 　．2.．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝　 2 　．3．在0、﹣π、﹣1、2四个数中，最小的数是（　C　）A．0 B．2 C．﹣π D．﹣14．下列四个实数中，一定是无理数的是（　A　）A． B．C．3.1415926 D．0.13133……5．若2、5、n为三角形的三边长，则化简+的结果为（　A　）A．5 B．2n﹣10 C．2n﹣6 D．106．下列二次根式中，化简后与可以合并的二次根式是（　D　）A． B． C． D．7.计算：（1）；（2）．解：（1）＝＝﹣3﹣2﹣3+＝﹣6；（2）＝3﹣2+1+3+4+4﹣2（3+﹣2）＝3﹣2＝9．能力提升：8.观察下列计算：．＝＝＝﹣1，＝＝＝﹣，＝＝＝﹣，（1）运用上面的计算方法化简（n为正整数）；（2）利用上面的结论计算：（+++…+）（1+）；（3）计算：++．解：（1）＝＝＝；解：（2）（+++…+）（1+）＝（+++…+）（1+）＝（﹣1）（1+）＝2022﹣1＝2021；解：（3）++＝++＝﹣1++＝﹣1．拓展迁移9.“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：＝＝7＋4．除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简－，可以先设x＝－，再两边平方，得x2＝(－)2＝4＋＋4－－2=2，又因为, ＞，所以x＞0，所以x＝，故－＝．根据以上方法，化简+－的结果是 ．解析：设x＝－，两边平方，得x2＝(－)2＝8＋4＋8－4－2＝8，因为>，所以x＞0，所以x＝2.故原式＝＋2＝＋2＝＋2＝3－2＋2＝3.10．已知a，b，c满足a2－4a＋8＋＋|c－3|=0.(1)求a，b，c的值；(2)若a，b，c为三条线段的长，这三条线段能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长；若不能构成三角形，请说明理由．解：(1)因为a2－4a＋8＋＋|c－3|＝0，所以(a－2)2＋＋|c－3|＝0，所以a－2＝0，b－5＝0，c－3＝0.所以a＝2，b＝5，c＝3.(2)能．因为2＋3＝5＞5，所以能构成三角形，三角形的周长＝2＋3＋5＝5＋5. 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升总结 1、实数的分类（有理数与无理数）.2、平方根的概念类比得出立方根的概念.3、平方根与算术平方根的联系与区别.4、平方根与立方根的计算.5、二次根式与最简二次根式.6、实数的运算，①加减法；②乘除法；③乘方. 对照思维导图复述相应的概念。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．在实数，－，，0，π，－中，无理数的个数是(　C　)A．1 B．2 C．3 D．42．下列结论中，正确的有(　A　)①＝4；②＝±；③－32的平方根是－3；④的算术平方根是－5；⑤±是1的平方根．3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简＋|a－b|＋2－|a＋b|的结果是(　C　)A．2a－b＋1 B．a－2b＋1 C.－a＋2b－1 D．2a＋b－14．若＋＝b(b为整数)，则a的值可以是(　D　)A． B．27 C．24 D．205．把(2－x)的根号外的(2－x)适当变形后移入根号内，得(　D　)A． B． C．－ D．－解析：：由≥0且x－2≠0，得x－2>0，故(2－x)＝－(x－2)＝－＝－.6．计算：(1)＋|－3|－(π－1)0－；解：原式＝－2＋3－－1－3＝－4.(2)－×－(＋2)(2－)．解;原式＝＋1－－[22－()2]＝2＋1－2－(4－3)＝1－1＝0.能力提升：7.观察下面的式子：S1＝1＋＋，S2＝1＋＋，S3＝1＋＋，…，Sn＝1＋＋.(1)计算：＝__________，＝__________，猜想：＝________(用含n的代数式表示)；(2)计算：S＝＋＋＋…＋.(用含n的代数式表示)解：(1)；；点拨：因为S1＝1＋＋＝，所以＝＝.因为S2＝1＋＋＝，所以＝.因为S3＝1＋＋＝，所以＝，….所以＝.(2)S＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋＝n＋(1－＋－＋－＋…＋－)＝n＋1－＝.8.实数与数轴上的点一一对应，无理数也可以在数轴上表示出来．(1)如图1，点A表示的数是____；(2)如图2，直线l垂直数轴于表示4的点，请用尺规作出表示1－的点(不写作法，保留作图痕迹)．(2)如图，点P即为所求．拓展迁移：9．阅读材料：因为2＜＜3，所以的整数部分为2，小数部分为－2.解决下列问题：(1)填空：的小数部分是 ____________；(2)已知a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，求代数式(a＋1)3＋(b＋4)2的值；(3)已知m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，求m－n的相反数．解：(1) －8(2)因为4<<5，所以0<－4<1.因为a是－4的整数部分，b是－4的小数部分，所以a＝0，b＝－4，所以(a＋1)3＋(b＋4)2＝13＋()2＝1＋19＝20.(3)因为1<<2，所以3<2＋<4.因为m是2＋的整数部分，n是2＋的小数部分，所以m＝3，n＝2＋－3＝－1，所以m－n的相反数为－(m－n)＝n－m＝－4.规定新运算符号“☆”：a☆b＝ab＋－. 例如：(－2)☆1＝(－2)×1＋－＝1－.(1)求☆的值；(2)求(＋)☆的值；(3)若[－(2x－1)2]☆＝－，求x的值．解：(1)☆＝3 ×＋－＝9.(2)(＋)☆＝(＋)×＋－＝12＋6＋－＝18－.(3)因为[－(2x－1)2]☆＝[－(2x－1)2]×＋－＝－，所以(2x－1)2＝9，所以2x－1＝±3，所以x＝或x＝.
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 上册第二章
课标要求 无理数与实数：理解无理数和实数的概念；理解实数与数轴上的点一一对应； 能对实数进行分类。掌握算术平方根、平方根的区别，理解平方根和算术平方根的概念；理解立方根的概念；会用根号表示平方根和立方根；了解平方根和立方根的性质； 能求某些非负数的平方根和算术平方根，能求某些数的立方根。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能把非最简二次根式化简成最简二次根式，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
内容分析 具体内容包括：1、认识无理数和实数，实数与数轴上的点一一对应，能对实数进行分类（有理数、无理数）。2、认识算术平方根、平方根、立方根， 能用平方运算求某些非负数的平方根，用立方运算求某些数的立方根；能估计无理数的大小，并进行简单的比较。3、理解二次根式和最简二次根式的含义，能进行简单的实数运算，能运用实数的运算解决简单的实际问题。
学情分析 一、 学生已有的知识基础与经验：1、有理数基础： 学生已经掌握了有理数的概念（整数、分数），以及有理数的加、减、乘、除、乘方运算。这是学习实数的前提，特别是对于平方根和立方根的理解，需要借助乘方的逆运算。2、数的开方初步接触： 在学习乘方时，学生可能已经接触过简单的平方运算，3、估算能力： 学生具备一定的估算能力，例如估算一个较大的数的近似值，这有助于他们理解无理数的无限不循环小数特性，并进行实数的近似计算。4、数轴概念： 学生已经学习过数轴，理解数轴上的点与有理数的对应关系，这有助于他们理解实数与数轴上的点的一一对应关系。二、 学生可能遇到的困难与挑战：1、对无理数的理解： 无理数中无限不循环小数特性是学生认知上的一个难点。他们难以想象一个数的小数部分会无限延伸且没有规律，这与他们熟悉的有理数（有限小数或无限循环小数）形成鲜明对比。2、平方根与算术平方根的区别： 学生容易混淆一个正数的平方根（两个，互为相反数）和算术平方根（只有一个，是正的那个）。3、立方根的理解： 负数也有立方根，这与平方根（负数在实数范围内没有平方根）不同，学生可能对此感到困惑。4、虽然实数运算在有理数运算的基础上进行，但当涉及到无理数时，学生可能在运算规则的理解和应用上出现困难，尤其是在精确值与近似值的处理上。5估算的准确性： 虽然有估算基础，但对于更复杂的无理数的估算，学生可能缺乏有效的方法，导致估算结果偏差较大。6、从有理数到实数的思维跨越： 学生习惯了有理数的“完备性”（在数轴上似乎“填满了”），理解到数轴上还有“缝隙”（无理数）需要填补，需要一个认知上的突破。三、 学生的学习兴趣与动机：1、好奇心驱动： 无理数的“神秘”特性（无限不循环）可能会激发部分学生的好奇心，特别是当结合勾股定理等几何背景时。2、学生可能已经意识到，仅用有理数无法精确表示边长为1的正方形的对角线长度，这会促使他们思考数的范围的扩展。3、对于学有余力的学生，理解无理数、实数的概念以及进行相关的精确运算和估算，具有一定的挑战性，可以激发他们的学习兴趣。4、对于基础较弱或空间想象能力、抽象思维能力不足的学生，可能会因为概念抽象、运算复杂而产生畏难情绪，导致学习兴趣下降。
单元目标 教学目标本章节的教学旨在帮助学生构建完整的实数体系，掌握实数的基本运算和性质，并能运用所学知识解决相关问题，同时在此过程中培养学生的逻辑思维能力、运算能力、问题解决能力以及积极的情感态度。一、 知识与技能目标：1、理解数的扩展： 使学生理解有理数不足以表示所有度量结果，认识到引入无理数的必要性，从而理解实数的概念及其分类（有理数、无理数）。2、掌握平方根与立方根： 理解平方根、算术平方根和立方根的概念，会用根号表示；了解平方根和立方根的性质；能利用平方或立方运算进行简单的开方运算，并借助计算器进行更复杂的开方运算。3、理解实数运算： 理解实数范围内加减乘除乘方及开方运算的可行性，掌握实数运算的法则和运算律，并能进行简单的实数混合运算。4、理解实数与数轴： 理解实数与数轴上的点是一一对应的，能在数轴上大致表示一些简单的无理数，体会数形结合的思想。二、 过程与方法目标：1、经历概念形成过程： 通过实例（如开方运算、几何图形的度量）和探究活动，让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般的过程，理解无理数和实数的概念。2、体验数系扩充的必要性： 通过解决具体问题（如求正方形对角线长度）时遇到有理数无法满足需求的情况，体验数系扩充的必要性和数学发展的过程。3、培养运算能力： 通过多样化的练习，提高学生进行实数运算的准确性和熟练度，特别是对平方根、立方根的估算和计算能力。4、渗透数学思想方法： 在教学中渗透数形结合（实数与数轴）、分类讨论（实数的分类）、估算（无理数的近似值）等数学思想方法。5、提升问题解决能力： 能运用实数的知识解决简单的实际问题，如计算几何图形的边长、面积、体积等。三、 情感态度与价值观目标：1、感受数学的严谨性： 通过对无理数存在的探究，感受数学概念的严谨性和逻辑性。2、激发学习兴趣： 通过有趣的实例和探究活动，激发学生对数学的好奇心和求知欲。3、培养科学态度： 在近似计算中，体会数学的精确性与近似性的统一，培养实事求是的科学态度。4、建立自信心： 通过克服学习中的困难（如理解无理数的抽象性），体验成功的喜悦，建立学习数学的自信心。5、体会数学文化： （可选）适当介绍有关实数发展的历史背景，体会数学在人类文明发展中的作用。教学重点、难点重点在于掌握核心概念（平方根、立方根、无理数、实数）及其基本性质和运算。难点则更多地在于对抽象概念（如无限不循环、一一对应）的深入理解，以及概念之间细微差别的辨析（如平方根与算术平方根），还有实际运算中近似处理的能力。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数2.1认识实数（1）12.2认识实数（2）12.3平方根12.4立方根12.5二次根式（1）12.6二次根式（2）12.7回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识实数（1）1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。1、利用思维导图对有理数进行分类。2、学生带着问题思考：如圆周率，0.02；，中的a，b到底是什么数？3、小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。3、思考边长可能的取值。4、利用计算器活动一和活动二正方形的边长。5、学生总结无理数的概念、相互补充，学会进行概括总结。6、试着对实数进行分类。7、自学例题。8、学生完成课堂练习，关注学困生环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结认识实数（2）理解实数、有理数、无理数三者之间的关系.掌握有理数的运算法则、运算定律对于实数任然适应.掌握无理数在数轴上的表示方法。了解数轴上的任何点多可以用实数来表示充分调动学生的积极性，培养他们的合作精神，提高他们的辨识能力.发展学生的数感.1、学生思考学过的数并举例说明。2、检查数的分类预习题。3、活动探究1：有理数和无理数的区别，4、实数的分类。5、活动探究2，无理数和计算法则和方法和有理数相同6、用数轴上的点表示无理数。7、阅读数学资料《无理数的发现》8、学生自学例题9、完成课堂练习。环节一：知识链接环节二：复习导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结平方根掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。1、展示预习单2、根据勾股定理出X,Y,ZW.3、合作探究完成课本例题1的学习。2、引导学生小结算术平方根的含义和性质。4、合作探究完成课本例题3的学习。引导学生小结平方根的含义和性质。学生自学例题，思考为什么这里取算术平方根。学生完成课堂练习回顾本节课内容，畅所欲言，相互补充，完成本节课的总结。环节一：知识链接环节二：问题导入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结立方根了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根。2、学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值。1、回顾旧知，并学生完成课前检测题。2、思考课本第34页问题。3、情境引入，明晰立方根的概念。4、计算一个数的立方根。5、由平方根性质类比立方根性质。6、自学例题7、学生完成课堂作业。8、课堂总结、小组交流，汇报交流结果。展示交流成果。环节一：回顾旧知并完成课前检测题。环节二：思考课本第34页问题，导入新课。环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结二次根式（1）1.认识二次根式概念.2.探索二次根式的乘除法计算法则．二次根式的简单计算。 3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力1、回顾算术平方根和平方根的概念。2、找出一组根式的共同特点，归纳出二次根式的概念。3、理解和掌握判断二次根式的方法。4、根据二次根式被开方数大于或等于0完成x取何值时,下列二次根式有意义 5、探究二次根式乘除法的计算法则。6、自学例题7、完成课堂练习。环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结二次根式（2）认识最简二次根式和二次根式的化简。熟练掌握二次根式的加、减、乘、除法运算。3.在小组的合作和探讨中，培养学生的合作能力和创新能力。1、回顾旧知。2、完成例题3的学习，然后归纳出最简二次根式的概念及最简二次根式具备的条件。3、学习课本例题4，明晰怎样进行二次根式的化简。4、学习例题5，理解二次根式的四则运算和实数的四则运算法则、运算定律同样适用。5、学习例题6，掌握非最简二次根式的计算，首先化简成最简二次根式，然后按照实数的四则运算法则进行计算。6、小组交流讨论怎样求格点梯形的面积和周长。7、学生独立完成课堂练习。8、引导学生对本课知识进行回顾总结。环节一：回顾旧知环节二、问题导入环节三：探究新知环节四：拓展延伸环节五：课堂练习环节六：课堂总结回顾与思考1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念及简单的运算。2.熟练掌握实数的分类、无理数的概念，会用数轴表示无理数。3.理解最简二次根式的含义，能熟练地进行实数的化简和计算。4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。1、展示预习题（章节思维导图）。2、梳理实数的相关概念，完成习题。3、梳理平方根和立方根相关知识，完成相应习题。4、梳理二次根式相关知识，完成相应习题。5、学生完成课堂练习。6、对照思维导图复述相应的概念。环节一：知识架构环节二、知识梳理环节三：课堂练习环节四：课堂总结
《实数》单元教学设计
活动一：知识链接
活动二：问题导入
活动三：探究新知
任务一：认识实数(1)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：复习导入
活动三：探究新知
任务二：认识实数(2)
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
实数
活动六：课堂总结
活动一：知识链接
活动二：问题导入
任务三：平方根
活动三：探究新知
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动一：复习旧知
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务四：立方根
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
任务五：二次根式(1)
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
实数
任务六：二次根式(2)
活动三：探究新知
活动四：拓展延伸
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动一：知识架构
任务七：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
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