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第二十一章 一元二次方程 暑期讲义
【知识点讲解】
一、一元二次方程的概念
1.定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。
2.一般形式：（），其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。
易错点提示：
1.要注意方程必须是整式方程，像就不是一元二次方程，因为它是分式方程。
2.确定各项系数时，一定要先将方程化为一般形式，且注意二次项系数不能为，否则就不是一元二次方程了。例如方程是一元二次方程，其二次项系数是，一次项系数是，常数项是；而方程不是一元二次方程，它是一元一次方程。
二、一元二次方程的解法
1.直接开平方法
（1）适用于形如（）或（）的方程。
（2）例如，对于方程，直接开平方可得；对于方程，开平方得，进而解得或。
易错点提示：
当方程右边时，在实数范围内方程无解。如在实数范围内无解，不要忘记讨论的取值范围。
2.配方法
（1）步骤：
①把常数项移到等号右边；
②在等号两边同时加上一次项系数一半的平方；
③将左边配成完全平方式，然后用直接开平方法求解。
（2）例如，解方程。
①首先将常数项移到右边：；
②两边同时加上一次项系数一半的平方（，）：，即；
③然后用直接开平方法解得，所以或。
易错点提示：
在配方过程中，一定要记得在等号两边同时加上一次项系数一半的平方，这一步很容易遗漏或计算错误。
3.公式法
（1）对于一元二次方程（），其求根公式为（）。
（2）例如，解方程，这里，，，先计算判别式，然后代入求根公式可得，即或。
易错点提示：
1.要准确确定、、的值，注意它们的符号，代入公式时不要代错。
2.先计算判别式，根据的值判断方程根的情况：
①当时，方程有两个不相等的实数根；
②当时，方程有两个相等的实数根；
③当时，方程没有实数根。但在使用求根公式时，若题目未明确说明根的情况，即使，也要先按照公式计算，只是最后得出在实数范围内无解的结论。
4.因式分解法
（1）将一元二次方程通过因式分解化为两个一次因式乘积的形式，即，那么或，进而求解方程。
（2）例如，解方程，因式分解得，所以或，解得或。
易错点提示：
因式分解要正确，这需要熟练掌握各种因式分解的方法，如提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式等）。如果因式分解错误，那么后续求解就会出错。
三、一元二次方程根的判别式
1.判别式：对于一元二次方程（），判别式的值决定了方程根的情况。
（1）当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当时，方程有两个相等的实数根；
（3）当时，方程没有实数根。
易错点提示：
在计算判别式时要准确代入、、的值，并且注意运算顺序，先算乘方，再算乘法，最后算减法。
四、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
1.对于一元二次方程（），如果方程的两根为、，那么有，。
2.例如，已知方程的两根为、，这里，，，根据韦达定理可得，。
易错点提示：
同样要准确确定、、的值，代入韦达定理公式时不能出错。而且韦达定理是在一元二次方程有实数根的前提下成立的，所以在使用前要先判断方程根的情况（可通过判别式判断），若方程没有实数根，就不能直接套用韦达定理。
五、一元二次方程的应用
1.常见类型：
（1）面积问题：如长方形、正方形等图形的面积变化与一元二次方程的联系，通常根据面积公式列出方程求解。
（2）增长率问题：若原数量为，平均增长率为，增长后的数量为，则经过次增长后的数量关系可表示为（当时，就是一次增长情况），由此可列出一元二次方程求解增长率。
（3）利润问题：根据售价、成本、利润之间的关系列出方程，利润 = 售价 - 成本，若设售价为，可通过分析不同销售方案下的利润情况列出一元二次方程求解合适的售价等。
易错点提示：
1.在解决实际应用问题时，首先要认真审题，找出题目中的等量关系，这是关键所在。很多同学出错就是因为没有准确找到等量关系，导致列出的方程错误。
2.对于涉及到单位的问题，要注意单位的统一，比如在面积问题中，长度单位和面积单位要对应好，避免因单位不一致而出现错误。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列关于的方程中，是一元二次方程的有（　　）
A． B． C． D．
2．将一元二次方程化成一般形式后，常数项是，则二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．， B．， C．， D．，
3．下列一元二次方程中有一个解为的是（　　）
A． B． C． D．
4．不解方程，判断方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．用配方法解方程 ，下列配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
7．王刚同学在解关于的方程时，误将看作，结果解得 ，则原方程的解为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
8．下列一元二次方程中，两根之和等于的是（　　）
A． B．
C． D．
9．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛.设比赛组织者应邀请 个队参赛，则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
10．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程的一个根，则这个三角形的周长是（　　）
A．16 B．18 C．16或18 D．21
二、填空题
11．一元二次方程x2＋6x＝3x＋2化成一般式为：　 　．
12．若关于的方程的一个根为1，则　 　．
13．一元二次方程的根是　 　．
14．关于x的方程是一元二次方程，则k的值为　 　．
15．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为　 　．
16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
17．今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，戴口罩可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染．现在有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多），设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为　 　．
18．已知方程的两根分别为，则的值为　 　．
三、解答题
19．用适当的方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
20．已知关于的一元二次方程
（1）求证：无论取任何实数，方程总有实数根．
（2）若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的值．
21．已知关于x的一元二次方程．
（1）若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
（2）若方程的两个实数根为，且，求m的值．
22．水果店小华以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出100斤，为保证每天至少售出260斤，小华决定降价销售．
（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤？（用含x的代数式表示）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，小华需将每斤的售价降低多少元？
23．校园内有一块长为，宽为的矩形场地，计划在这个场地上修建等宽的道路（阴影部分，且横竖道路均与矩形的边平行），剩余部分种上草坪．
（1）如图1，测得草坪的面积是，求道路的宽度；（参考数据：）
（2）学校开展劳技课后，需要一块实践园地，就决定对这块矩形场地重新规划，打算修建两横两竖等宽的道路，如图2所示，剩余部分作为学生综合实践种植园．若种植园的面积是矩形场地面积的，求道路的宽度应设计为多少米．
24．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．B
5．A
6．D
7．C
8．D
9．B
10．B
11．
12．5
13．
14．3
15．
16．且
17．
18．
19．（1）解：，
配方，得：
，
两边开平方，得或，
解得，．
（2）解：，
将左边展开，得
，
配方，得，
即，
解得，
所以，；
（3）解：，
∴，，，
∴，
∴．
解得：，；
（4）解：，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
20．（1）证明：，
∵，即，
∴无论m取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：由，得：
，
解得，，
若，则，
若，则，
所以，或
21．解：（1）∵ 该方程有两个实数根
∵a=1，b=2m＋1，c=m2-2
∴，解得
∴m的最小整数值为；
（2）根据题意得
∵
∵
∴
∴，解得
∵
∴m的值为2．
22．（1）解：根据题意可知，售价每降低元，每天可多售出斤，即售价每降低元，每天可多售出斤，
∴售价降低元时，每天销售量为：；
（2）解：由题意得：
整理得：，
解得：，，
答：销售这种水果要想每天盈利元，小华需将每斤的售价降低元或元．
23．（1）解：设道路的宽度为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度为；
（2）解：设道路的宽度应设计为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：道路的宽度应设计为．
24．（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个.

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