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2.1 正数与负数 暑期预习讲义
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【知识点梳理】
一、正数与负数的定义
1.正数：像、、等这样的数都是正数，它们都是大于的数。为了强调，正数前面有时也可以加上“”（读作正）号，例如也可以写作，不过通常“”号可以省略不写。
要点诠释：判断一个数是否为正数，不能仅依据前面是否带有“”号，比如当是负数时，就是正数，所以要从数与的大小关系来准确判断正数。
2.负数：像、、等这样的数都是负数，它们都是小于的数。负数前面的“”号不能省略。
要点诠释：同样不能简单认为带“”号的数就一定是负数，要结合具体情境或通过与比较大小来确定。例如在表示相反意义的量时，规定了正方向后，与正方向相反的量用负数表示，但单独一个数，需明确其与的大小关系来判定是否为负数。
3.的性质：既不是正数，也不是负数。的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如是一个确定的温度，不能说没有温度。
二、具有相反意义的量
1.概念：在实际生活中，常常会遇到一些具有相反意义的量，比如前进和后退、上升和下降、收入和支出、零上温度和零下温度等。
要点诠释：具有相反意义的量必须满足两个条件：一是它们必须是同一属性的量，比如都是表示长度、重量、温度等；二是它们的意义恰好相反，并且规定其中一种意义的量为正，那么另一种与之相反意义的量就为负。
2.表示方法：为了更好地区分这些具有相反意义的量，若把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示。例如，若规定收入为正，那么支出就为负；规定向东为正，那么向西就为负等。
要点诠释：哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。在具体问题中，要先明确规定正方向，才能准确用正、负数表示相反意义的量。
三、整数和分数
1.整数：整数包括正整数、零、负整数。例如：、、、、、、等等。整数也可以看作是分母为的数（这里所说的分数不包括分母是的分数情况除外）。
要点诠释：要注意区分正整数、和负整数，它们在数轴上的位置不同，且在进行运算等操作时也有各自的规则。
2.分数：分数包括正分数和负分数，例如：、、（可看作）、、、（可看作）等等。因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。
要点诠释：在进行分数运算时，要掌握通分、约分等基本运算方法，并且要注意分数的正负性对运算结果的影响。
四、有理数的分类
1.按定义分类：有理数可分为整数和分数。其中整数包括正整数、、负整数；分数包括正分数和负分数。
要点诠释：这种分类方式明确了有理数是由整数和分数这两大类组成的，能帮助我们更好地理解有理数的构成，在后续学习有理数的运算等知识时，也需要依据这种分类来分别探讨不同类型有理数的运算规则。
2.按符号分类：有理数可分为正有理数、、负有理数。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。
要点诠释：按符号分类可以让我们从数的正负性角度去分析和处理问题，比如在比较有理数的大小时，根据其正负性可以先确定大致的大小关系，再进一步比较具体数值。同时，要记住既不是正有理数也不是负有理数，它是正数与负数的分界点。
五、正负数的实际应用
1.表示误差范围：在一些实际测量或统计等情况中，会用到正负数来表示与标准值或预期值的偏差。例如，某零件的标准长度为，允许的误差范围是，那么实际生产出来的零件长度在到之间都是合格的，这里的和就分别表示比标准长度多和少的情况。
要点诠释：理解正负数在表示误差范围时的意义，能帮助我们判断实际数据是否符合要求，以及对产品质量等进行评估。
2.记录数据变化：在经济领域、气象数据记录等方面，常常用正负数来记录数据的增减变化。比如，若本月销售额比上月增加了，可以记作，若减少了，则记作；在气象中，气温升高记作，降低记作等。
要点诠释：通过正负数清晰地记录数据的变化情况，便于后续对数据进行分析、统计和趋势预测等操作。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列各组量中，具有相反意义的是（　　）
A．向东走3米和向北走5米 B．气温上升3度和气温上升4度
C．胜1局和亏损2万元 D．收入500元和支出400元
2．东、西为两个相反方向，如果表示物体向东运动，那么表示物体（　　）
A．向东运动 B．向西运动
C．向西运动 D．向南运动
3．下列四个数中，是负整数的是（　　）
A． B． C． D．
4．如果零上记作，那么零下记作（　　）
A． B． C． D．
5．据报道，2024年深圳夏季时长为242天，打破了自1953年以来最漫长的夏季纪录．深圳每年夏季平均时长约为191天，则2024年深圳夏季时长可表示为（　　）
A．天 B．天 C．天 D．天
6．下列数，，0.3，，4，中，正有理数的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
8．一个月内，小明妈妈体重增加记作，则表示（　　）
A．体重增加 B．体重减少
C．体重没有变化 D．体重增加
二、填空题
9． 有理数分为整数和　 　，写出一个学过的有理数：　 　.
10．如果收入10元记作"+10"，那么支出5元记作　 　.
11．李白出生于公元701年，我们记做+701年，那么秦始皇出生于公元前259年，可记做　 　年．
12．某天，调皮的小明从1楼乘坐电梯，他上下电梯的记录如下(向上为正，向下为负，单位：楼)：-2，+4，+1，-3，+3。其中正数有　 　，负数有　 　，小明最终停在的楼层是　 　。
13．某品牌的大米包装袋上的质量标识为：“50±0.5kg”.质检人员随机抽测了四袋该品牌大米，质量依次记录为：①50.4kg.②50.1kg.③49.7kg.④49.4kg.其中符合该品牌大米包装袋上的质量标识要求的是　 　.(填序号)
14．在5，-2，-0.3，，0，-，0.5，7，-，-1，102，-17这些数中，负分数有　 　个.
15．某项科学研究以45分钟为一个时间单位，并把每天上午10时记为0，10时以前记为负，10时以后记为正.例如：上午9：15 记为-1，上午10：45 记为 1.依此类推，上午 7：45 应记为　 　，中午12：15应记为　 　.
三、解答题
16．写出5个有理数，要求其中有两个负整数、一个正分数和两个负分数。
17．下列给出的各数，哪些是正整数 哪些是负整数 哪些是正分数 哪些是负分数 哪些是整数 哪些是分数 哪些是有理数
18． 某水库的标准水位记作0m，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么
（1）0.08 m和-1.25 m分别表示什么
（2）水面高于标准水位2.26 m和水面低于标准水位1.44m分别如何表示
参考答案
1．D
2．B
3．A
4．A
5．A
6．B
7．A
8．B
9．分数；1(答案不唯一)
10．-5
11．-259
12．+4，+1，+3；-2，-3；第4层
13．①②③
14．3
15．-3；3
16．解：两个负整数-1、-2；
一个正分数；
两个负分数、.
（答案不唯一）
17．解：22是正整数；-9是负整数；0.33是正分数； 是负分数；22，0，-9是整数； 是分数；所给各数均为有理数。
18．（1）解：由题意可得：
0.08 m表示水面高于标准水位0.08 m；-1.25 m表示水面低于标准水位1.25 m.
（2）解：由题意可得：
水面高于标准水位 2.26 m记作+2.26 m；
水面低于标准水位 1.44 m记作-1.44 m.

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