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第一章 有理数
1.1 正数与负数
第1课时 正数与负数
1.借助生活中的实例理解有理数的意义,体会和认识引入负数的必要性.整理前两个学段学过的整数、分数(包括小数)的知识,掌握正数和负数的概念.
2.能区分两种不同意义的量,会用符号表示正数和负数.
3.结合实际生活,全面正确的理解0的意义.
4.通过正数与负数的学习,培养学生应用数学知识的意识,训练学生运用新知识解决实际问题的能力.
重点：具有相反意义的量与对基准的理解.
难点：正数、负数的意义以及对基准的理解.
（一）创设情境
情境1：
师生活动：教师通过三张图片展示数的产生与发展，引导学生观察图片并回答如下的几个问题。
（1）由计数和排序的需要产生了什么数？
（2）为了表示“没有”，产生了什么数？
（3）由分物、测量，产生了什么数？
（4）还有没有其他的数呢？
预设：学生先独立思考，自行举手回答相关问题。
设计意图：通过引入数的产生与发展，一让学生了解数来源于生产和生活的需要，二带领学生回忆了小学学习过的数，三是让学生想到生活中不止存在小学学习过的数，还有其他类型的数，为接下来出现负数做好铺垫。
情境2：展示与日常生活息息相关相关的天气预报图，海拔示意图以及电梯的按钮图。
师生活动：通过几张图片，教师引导学生观察图片中出现的数字。不难发现在图片中，根据实际生活的需要，人们引进了另一种数——负数。教师引导学生根据生活常识思考，并尝试举出其他例子。
预设：学生自由回答，教师适时补充。
设计意图：通过几张与生活息息相关的图片，一方面让他们感受在生活、生产中需要用到负数，引出负数的概念，另一方面让他们知道，要解决这些问题，就需要学习新的数的知识，从而激发学生的求知欲。
（二）探究新知
任务一：探究正数与负数的概念
观察 ：情境2的图片中出现了很多数，引导学生观察并列举出所有的数，并思考这些数在生活的中意义是什么？
师生活动：学生先独立思考，自主回答问题。
预设答案：学生找到其中的数字，并依次说出其中的意义，回答完毕之后，教师根据需要展示如下部分答案。
师生活动：教师引导学生仔细观察自己列出的数字以及以上的四组量，思考两个问题：（1）四组量有什么共同特征？（2）有哪些数小学没有学过？这些数和小学学过的数有什么区别？想好之后，分组讨论，与小组成员分享结果，教师进行巡视指导，派小组代表回答问题时先回答第一个问题引出具有相反意义的量的概念，再回答第二个问题，引出正数与负数的概念。
预设问题（1）答案：四组量的共同特征为①是同类量②成对出现③意义相反（不要求数量一定相等）。
总结：具有这些特征的一组量叫做具有相反意义的量。生活中有很多相反意义的量，例如：上升与下降、增与减、收入与支出、胜与负、进与退、多与少、向东与向西、顺与逆、过剩与不足、重与轻等。
预设问题（2）答案：-14，-3，-154.31，-1在小学没有学过，不一样的地方在于他们前面有负号。
总结：在具有相反意义的一对量中，把其中的一种量规定为正的用原来熟悉的数如1,3,4,7,9,10,8848.86来表示这样的数叫正数；而把与它意义相反的量规定为负的，用在正数前面添上负号“－”的数如-1,-3,-14,-154.31,-155来表示这样的数叫负数。特别指出，数0既不是正数，也不是负数。
设计意图：组织学生合作探究，通过观察、对比等思维活动，发现数在生活中的意义以及相反意义的量的重要特征，为了表示具有相反意义的量，顺势提出正负与负数的概念，通过观察负数不一样支出，能够让学生了解到负数具有明显的符号特征。
练习：
读出下列各数，并把它们填在相应的圈里：
解析：
正数：
负数：
任务二：用正、负数表示具有相反意义的量
师生活动：根据相反意义的量的概念以及正数与负数的概念，教师引导学生观察课本的交流活动中的2022年女足亚洲杯部分球队战绩表，思考三个问题：（1）表中净胜球数是什么意思？（2）表中15、7和-7、-5代表的意思吗？（3）请你列举一些生活中用正、负数表示相反意义的量的例子。独立思考之后，学生分小组进行讨论，与小组成员分享结论，教师进行巡视指导。
预设：小组讨论结束后，小组派代表展示小组交流讨论的成果，教师适时补充。
设计意图：通过课本中的交流活动，巩固了相反意义的量的概念以及正数与负数的概念，同时也深刻理解如何用正数和负数表示具有相反意义的量。通过再列举生活中用正负数表示具有相反意义的量的例子让学生感受生活中的数学无处不在。
练习：
1.月球表面的白天平均温度零上126 C，记作 C，
夜间平均温度零下150 C,记作 C.
2.抗洪期间，若水位超过标准水位1.5米记作+1.5米，
则后来记录的-0.9米表示 .
3.若某公司的股票第一天涨6.25％，表示为+6.25％，
则第二天跌1.36％，应表示为 .
答案：1.+126；-150
2.低于标准水位0.9米
3.－1.36％
任务三：探究“0”的意义
思考：根据本节课前面学习的内容，我们了解到“0”表示没有，“0”既不是正数也不是负数，思考：“0”只表示没有吗？生活中还有哪些情况用0来表示？
预设：1.空罐中的金币数量为0；
2.温度中的0℃;
3.海平面的高度;
4.标准水位;
5.身高比较的基准;
总结： 0是正负数的分界点.它不再简简单单的只表示没有。0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示
设计意图：通过几个问题让学生感受到0在生活中的广泛应用，让学生体会数学来源于生活，又应用于生活的特点，引导他们把以往的学习和生活的实际经验和感性认识灵活的应用于学生之中。
（三）应用举例
例1：（1）与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大了10hm2（公顷），小麦的种植面积减少了5hm2，油菜的种植面积不变，写出三种农作物今年种植面积的增加量.
（2）某市“12345”平台今年已受理消费者投诉件数：日用百货类比上年同期增长了10%，家用电子电器类比上年下降了20%.写出这两类商品投诉件数的增长率．
答案：解：（1）与去年相比该乡今年的水稻种植面积增加了10hm2，小麦的种植面积增加了﹣5 hm2，油菜的种植面积增加了0 hm2.
（2）与去年同期相比消费商品申诉件数：日用百货类增长了10%，家用电子电器类了增长﹣20%.
总结：使用负数以后，在表示相反意义的两个词语中，用一个词语就可以把事情说清楚。比如下降20%可说成增长-20%。
例2： 如图，黄河大堤高出开封市区20米，另有开封铁塔高约58米.李芳和好朋友林雪燕、明明出去玩．李芳站在黄河大堤上，林雪燕站在地面上放风筝，顽皮的明明则爬上铁塔顶．按下列要求分别用正数，0，负数表示出三人的位置（“高于”记为“+”，“低于”记为“-”）.
（1）若以大堤为基准，记为0米；
（2）若以铁塔顶为基准，记为0米.
答案：解：（1）以大堤为基准，记为0米，则李芳所在的位置高为0米，林雪燕所在的位置高为-20米，明明所在的位置高为+38米．
（2）以铁塔顶为基准，记为0米，则明明所在的位置高为0米林雪燕所在的位置高为－58米李芳所在的位置高为-38米．
总结：用正、负数表示相反意义的量时，必须 要有基准（0米），而这个基准可以根据需要来确定，由于基准的选法不同，表示的结果也不同.
设计意图：通过角度不同的两个例题，进一步巩固正数与负数的概念以及用正负数表示具有相反意义的量，例1可以让学生体会使用负数以后，在表示相反意义的两个词语中，用一个词语就可以把事情说清楚。例2可以让学生体会到用正、负数表示相反意义的量时，必须要有基准（0米），而这个基准可以根据需要来确定，基准的选法不同，表示的结果也会不同。两道例题结合，深化学生对本节新课内容的理解。
（四）课堂练习
1.一实验室检测，，，四个元件的质量单位：克，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是( )
A. B. C. D.
解：
2.下列语句：
不带“”号的数都是正数
一个正数的前面加上负号就是负数
数没有符号
不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数．
其中错误的有 填序号即可
解： ，数的符号为“”，不是没有符号不是正数，也不是负数本题易因对正数、负数和的认识不正确而出错．
3.如果向西走米记作米，则米表示的意义是 ，向东走米表示的意义是 ．
解：向东走米 向西走米
4.把下列各数分别填入相应的括号内：
，，，，，，，，，．
正数： ；
负数： ．
解：正数：；
负数：．
5.某种商品的标准价格是元，随着季节的变化，商品的价格可浮动．
的含义是什么
请你计算出该商品的最高价格和最低价格
若以标准价格为基准，超过标准价格记作“”，低于标准价格记作“”，则该商品的价格浮动范围可以怎样表示
解：表示比标准价格高，表示比标准价格低．
最高价格为元，最低价格为元．
元．
【解析】见答案
6.某自行车厂计划平均每天生产辆自行车，但是由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入下表是某周的生产情况超产记为正数，减产记为负数
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减产量辆
（1）根据记录的数据可知该厂星期三生产自行车多少辆
（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车多少辆
（3）根据记录的数据可知该厂本周实际共生产自行车多少辆
解：由题意可得，该厂星期三生产自行车的数量是辆．
由表格可知，产量最多的一天是星期六、最少的一天是星期五，
辆，辆，辆．
即产量最多的一天比产量最少的一天多生产自行车辆．
由题意可得，该厂本周实际共生产自行车的数量是辆．
设计意图：通过练习，巩固学生的对知识的理解，同时检验本节课的教学效果，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
（五）总结归纳
1.具有相反意义的量需具备哪些特征？
2.“0”有哪些意义？
3.本节课你学习了哪些内容，经历了怎样的学习过程？
设计意图：先提问学生学到的知识与方法，让学生在脑中回忆本节课所学习的新内容，帮助他们自己整理学习方法，再通过思维导图的形式展示本节课的所有内容，帮组学生查漏补缺。第1章 有理数
1.1 正数与负数
第2课时 有理数的分类
1.了解有理数的概念，会对有理数按照一定的标准进行分类，培养分类能力.
2.初步了解“集合”的含义,会把给出的有理数填入集合内.
3.通过学习有理数概念，体会对应的思想、数的分类的思想.
4.通过有理数的概念、分类的学习，体会数的分类、归纳思想方法.
重点：正确领会有理数的概念，把握有理数的两种分类方法.
难点：探讨并领会分类的标准和两种分类标准的区别及内在联系.
（一）创设情境
现在，我们已经知道除了小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数.现在请同学们在草稿纸上任意写出3个数（同时请3个同学在黑板上写出）．
讨论交流：观察黑板上的9个数，并给它们进行分类．
学生可能只给出很粗略的分类，如只分为“正数”和“负数”或“零”三类，此时，教师应给予引导和鼓励．
教师总结:我们把所有的这些数统称为有理数.根据不同的标准可以将有理数进行分类.
师生活动：学生写出不同的数据，老师提出问题并引导学生思考，体会分类的重要性.
设计意图：通过让学生自己写出数字，教师可以引导学生发现除了小学所学的正数之外，还有负数和零的存在。这种发现过程可以激发学生的好奇心和探索欲.通过这种方式，学生也可以更深入地理解数学概念，同时也能提高他们的观察力和分类能力.
（二）探究新知
任务1：了解有理数及相关的概念.
引导学生分析9个数的特点.
思考：1.什么是有理数？
2.你知道什么是正整数、负整数、正分数、负分数、非负整数、非正整数吗？
答：1.整数和分数统称为有理数；
2.几种常用整数和分数名词的含义：(1)正整数：既是正数，又是整数的数；(2)负整数：既是负数，又是整数的数；(3)正分数：既是正数，又是分数的数；(4)负分数：既是负数，又是分数的数；(5)非负整数：正整数和O;(6)非正整数：0和负整数．
请从“有理数、负整数、自然数、正整数、整数、分数”中选词填空：
1.数0，1，2，3，……叫做_________；
2.+1，+2，+3，……叫做________；
3.-1，-2，-3，……叫做________；
4.正整数、0、负整数统称为________；
5.正分数、负分数统称为________.
师生活动：教师提出问题，引导学生总结分析，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解有理数的相关概念.
设计意图：通过视频学习，不仅可以激发学生的学习兴趣，还能让学生充分了解有理数及相关概念，从而为后面有理数的分类作准备.
任务2：有理数的分类.
自学指导：（1）自学内容：教材第5页的内容.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学要求：认真阅读课本的内容，结合小学学过的数和现在学过的数来思考数的分类标准应如何确定.
（4）先独立思考，然后小组交流.
各抒己见：你觉得有理数可以怎么分类？
总结：1.按定义分类如：
2.按性质分类如下：
【注意】1.零既不是正数，也不是负数；
2.π不是有理数，因为π是无限不循环小数，但3.14是有理数；
3.分数的认识（包括可化为分数的小数）；
4.整数中不要忽视“零”.
师生活动：学生自学、小组讨论交流，然后师生共同总结，让学生掌握有理数的分类标准和方法.
设计意图：关于有理数的分类是本节的重点，也是难点，为了突破难点，采取多种教学方式进行，不仅让学生熟练掌握分类标准和分类方法，而且让学生体会数的分类、归纳等思想方法.
（三）应用举例
例1：把下列各数分别填入相应的框里：
-16，0.04，，，+32，0，-3.6，-4.5，+0.9
思考：数0能放入正数框或负数框里吗？
例2：把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称．
- ，4, -10, 0, 85, -3.4
负整数：既是负数，又是整数的数.
例3：下列说法正确的是（ ）
A．正数和负数统称有理数 B．正整数和负整数统称为整数
C．小数3.14不是分数 D．整数和分数统称为有理数
解：A中正有理数、0、负有理数统称为有理数，故A错误；B中正整数、负整数和0 统称为整数，故B错误；C中小数3.14是分数，故C错误；D中整数和分数统称为有理数，故D正确.
设计意图：巩固知识，强化理解.
课堂练习
1.在数，，，，，中，有理数有 ( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
解：答案为C
2.将下列各数填在相应的横线上．
，，，，，，，，．
（1）整数：________________________________________；
（2）负数：________________________________________；
（3）正分数：______________________________________；
（4）正有理数：____________________________________；
（5）非正整数：____________________________________；
（6）非负数：______________________________________．
解：（1）整数：，，；
（2）负数：，，；
（3）正分数：，，，；
（4）正有理数：，，，，；
（5）非正整数：，；
（6）非负数：，，，，，．
3.下列关于“”的说法中，正确的是( )
是整数，也是有理数；
不是正数，也不是负数；
不是整数，是有理数；
是整数，不是自然数．
A. B. C. D.
解：答案为C
4.下列选项中，大括号中所填的数正确的是( )
A. 正数集合： B. 非负数集合：
C. 分数集合： D. 整数集合：
解：答案为A
5.下列各数：，，，，，，，，中，下列说法正确的是( )
A. 正数有个 B. 正整数有个 C. 分数有个 D. 整数有个
解：答案为D
6.写出个数，同时满足下列三个条件：
（1）其中个数是非正数；
（2）其中个数是非负数；
个数都是整数．
解：本题答案不唯一，但是其中一个必须是．
举例如下：，，，，．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你收获了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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