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第1章 有理数
1.2 数轴、相反数和绝对值
第2课时 相反数
1.了解相反数的概念，理解数轴上的点和数的关系.
2.掌握求已知数的相反数的方法，能根据相反数的意义进行符号化简.
3.通过归纳相反数在数轴上所表示的点的特征，培养学生的归纳能力.
4.通过学习相反数和数轴的关系，体会数形结合的思想.
重点：相反数的意义和求一个数的相反数的方法．
难点：相反数意义的应用和符号的化简．
（一）创设情境
情境：让两个学生在讲台前背靠背站好(分左右)，规定向右为正(正号可以省略)，向右走2步，向左走2步各记作什么？从数轴上观察，这两位同学各走的距离都是2步，但方向相反，可用2和－2表示，这两个数具有什么特点？
师生活动：采用课堂活动的形式，让学生亲身参与其中，增加学生的参与感，引发学生的思考，让学生体会数学来源于生活.
预设答案：
符号相反，到原点的距离相等.
设计意图：通过组织课堂活动，引导学生从实际生活中发现问题，引出相反数的意义，让学生体会数学来源于生活.
（二）探究新知
任务一：相反数的意义
探究：2与 2,4与 4，与各有什么相同点和不同点？在数轴上画出表示它们的点，说说它们的位置有什么特点.
师生活动：独立思考，小组之间相互交流，说出自己的看法.
探究：
设计意图：通过对这些数的符号和在数轴上表示的点的位置的分析，引导学生总结出相反数的意义，让学生体会数形结合的方法在数学中的应用.
总结：相反数的意义
2与 2，4与 4，与都只有符号不同，我们称只有符号不同的两个数互为相反数.
不为0的数与它的相反数在数轴上所表示的点在原点的两侧，与原点的距离相等.
任务二：求一个数的相反数
探究：根据相反数的意义写出下列各数的相反数，你能发现什么规律吗？.
师生活动：教师组织学生合作探究，先独立思考，再小组合作充分讨论；每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；讨论时间5分钟.教师可适当引导学生思考，待学生充分交流后，教师可选代表总结，教师补充.
探究：
设计意图：通过求这些数的相反数，引导学生归纳总结出求一个数的相反数的方法，以及化简符号的方法，培养学生分析问题，联系知识和总结归纳的能力.
总结：求一个数的相反数
在任意一个数前面添上“ ”号，所得的数就是原数的相反数.
0的相反数是0.
数的相反数是 a，这里a表示任意一个数，它可以是正数、负数或0.
（三）应用举例
例1：写出下列各数的相反数：
3， 7， 2.1，，，0，20
分析：求一个数的相反数，只需要在前面添上“ ”即可.
答案：3的相反数是 3， 7的相反数是7， 2.1的相反数是2.1，
的相反数是，的相反数是，0的相反数是0，
20的相反数是 20.
例2：如图，图中数轴(缺原点)的单位长度为1，点A、B表示的两数互为相反数，则点C所表示的数为(　　)
A.2 B．－4 C．－1 D．0
分析：如图，数轴向右为正方向，数轴(缺原点)的单位长度为1，所以点C所表示的数为－1.
.
答案：C
例3：化简下列各数：
（1） （ 8）=___________； （2） （+）=___________；
（3） [ （+6）]=___________； （4）+（+）=___________.
分析：
答案：答案：（1）8 （2） （3）6 （4）
例4：如图，已知四个点在数轴上．
若点A和点C表示的数互为相反数，则原点在点______的位置；
（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点在点______的位置；
（3）若点B和点C表示的数互为相反数，请在数轴上表示出原点的位置．
分析：根据互为相反数的数表示的点在数轴上的位置特点分析即可.
答案：答案：（1）B （2）C
(3)如图所示.
设计意图：通过4个例题，让学生熟悉相反数的意义、和数轴的关系以及符号的化简等，提高学生对所学知识的应用能力，分析问题的能力等.
（四）课堂练习
1. 下列各组数中，互为相反数的是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
解：D
2.化简下列各数：



．
解：
3.若与互为相反数，则 ．
解：因为与互为相反数，
．
故答案为.
4.有理数，在数轴上对应的点的位置如图所示．
说出数，的正负性．
在数轴上分别用，两点表示，．
若与对应的点相距个单位长度，则与表示的数分别是什么
在的条件下，若数对应的点与数对应的点相距个单位长度，则与表示的数分别是什么
解：为正数，为负数．
如图：．
表示，表示．
表示，表示．
设计意图：通过练习，巩固有相反数的相关意义，包括代数意义和几何意义，练习求一个数的相反数和符号化简的方法，难度渐增提高学生对所学知识的应用能力，.
（五）总结归纳
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：先提问学生学到的知识与方法，让学生在脑中回忆本节课所学习的新内容，帮助他们自己整理学习方法，再通过思维导图的形式展示本节课的所有内容，帮组学生查漏补缺。第1章 有理数
1.2 数轴、相反数和绝对值
第1课时 数轴
1.了解数轴的概念，会画数轴.
2.知道如何在数轴上表示有理数，能说出数轴上表示有理数的点所表示的数，知道任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应.
3.通过现实生活中的例子，从直观认识到理性认识，从而建立数轴的概念；通过学习，初步体会数形结合的思想.
重点：理解数形结合的思想,掌握数轴的画法和用数轴上的点表示有理数．
难点：正确理解有理数和数轴上的点的对应关系．
（一）创设情境
情境1：
师生活动：给出生活情景中出现的实际问题，引导学生读出温度计的度数，观察温度计并思考如下问题。
（1）温度计刻度的正负是怎样规定的 以什么为基准
（2）每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么特点
（3）从外观上看，温度计具有哪些不可缺少的特征呢？
（4）把温度计平放，我们能从中发现什么？
预设：学生先独立思考，自行举手回答相关问题。
情境2：让机器人在一条东西向直路上作走步取物试验。根据指令：它由Ｏ处出发，向西走3ｍ到达A处，拿取物品，然后返回Ｏ处将物品放入蓝中，在向东走2m到达B处取物．
师生活动：给出课本中的机器人取物情境，引导学生分析解决情境中提出的数学问题，学生思考相关问题并尝试画图表示这一情境。
预设：学生回答相关的思考题，并通过画图表示点A,点O,点B的相对位置。
设计意图：通过引入生活情境，让学生体会生活中的数学，并从实际问题引入本节课题，为本节课需要探究的知识做好铺垫。
（二）探究新知
任务一：数轴的概念
思考 ：观察上面情境1中水平的温度计以及情境2中画出的图形，它们有何共同特征？
师生活动：学生先独立思考，再进行小组讨论，自主回答问题。
预设答案：①都是用直线上的点表示数②都有计算的起点③都有相反意义的方向
类比探究：类比以上的探究结果，引导学生思考如何用直线的点来表示数。
设计意图：组织学生合作探究，通过观察、对比等思维活动，发现温度计和机器人取物实验所作的图都有三个不可或缺的特点，根据这一发现提出问题：如何通过一条直线上的点来表示有理数？自然引出数轴的概念.
画一条水平直线，在直线上任取一点作为原点，用这点表示数0；规定这条直线的一个方向为正方向，相反的方向就是负方向；适当地选取某一长度作为单位长度。
总结：这种规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
任务二：数轴的画法
师生活动：根据数轴的定义，学生独立画出一条数轴，在此基础上师生共同归纳数轴的画法。学生画数轴时，教师巡视指导，选出几个错误数轴让学生进行辨析，并引导学生完成练习题。
1取：画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
2定：规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.
3统一：选择适当的长度为单位长度.
4标数：在原点左右两边依次标上对应的刻度数．
练习：
下图中，是数轴的是(　　)
分析：A中没有正方向，B中原点左侧标数顺序错误，C中单位长度不统一．
因此答案选D
总结：通过操作，思考，探究以及练习，师生共同总结出关于数轴需要注意下方要点：
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
设计意图：归纳画数轴的步骤，同时学生根据步骤自己动手作图，有利于加强学生的理解，本节课后期也需要多次用到数轴，为后续内容提供便利。教师巡视指导，规范学生的作图步骤，通过辨析和练习，再一次强调原点、正方向和单位长度三要素缺一不可。
任务三：用数轴上的点表示有理数
思考：观察画好的数轴，思考以下问题：
（1）原点表示什么数？
（2）原点右方表示什么数？原点左方表示什么数？
（3）＋3，- ，-1.5，0分别在数轴的什么位置？
（4）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示吗？
师生活动：学生利用自己已经画好的数轴，仔细观察思考，依次回答相关问题。
总结： 任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。
设计意图：通过几个问题让学生初步感知如何在数轴上表示有理数，通过数形结合的方式理解任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应。
（三）应用举例
例1：指出数轴上A，B，C，D各点分别表示什么数．
答案：解：点C在原点表示0，
点A在原点左边与原点距离2个单位长度，故表示-2
点B在原点左边与原点距离3.5个单位长度，故表示-3.5
点D在原点右边与原点距离2个单位长度，故表示2
总结：数轴上任意一个点都表示一个数。
例2：在数轴上画出表示下列各数的点：
解：如图所示．
总结：任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示，结合例1不难发现，任何一个有理数在数轴上都有唯一的点与之对应。
例3：
(1)在数轴上，表示-1和3的两点间的距离是多少？
(2)在数轴上，到表示-2的点的距离为3的点表示的数是多少？
提示：利用数轴可直观的求出两点的距离，由于距离没有方向性，所以到某点距离为某个正值的点一般有两个，因此要注意考虑所有情况.
解：如图所示.在数轴上分别标出表示-1，3，-2的点.
(1)由数轴可知表示-1和3的两点间的距离是4.
(2)由数轴可知到表示-2的点的距离为3的点表示的数是-5或1.
设计意图：通过层次渐进的三个例题，进一步巩固数轴的概念、数轴的画法以及数轴的应用，例1可以让学生体会到数轴上任意一个点都表示一个数，是从形——数的学习过程，例2可以让学生体会到任意一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示，是从数——形的学习过程，两道例题结合，让学生体会数形结合的重要思想。例3是在例1和例2的基础上进一步增加难度，考查学生的考虑问题的全面性.
（四）课堂练习
1.下列说法：数轴上的点只能表示整数
数轴是一条线段
数轴上的一个点只能表示一个数
数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点
数轴上的点所表示的数都是有理数．
其中正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
解：数轴上的点与实数一一对应，故原来的说法错误；
数轴是一条直线，故原来的说法错误；
数轴上的点与实数一一对应，故原来的说法正确；
数轴上既不表示正数，又不表示负数的点是，故原来的说法错误；
数轴上的点与实数一一对应，故原来的说法错误．
故正确的说法有个．
故选A．
2.如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
解：数轴有三要素：原点，正方向，单位长度，
选项的数轴没有原点，故不符合题意；
选项的数轴的单位长度不一致，故不符合题意；
选项的数轴原点左边的数标注的不对，故不符合题意；
选项的数轴符合要求，故符合题意；
故选：
3.如图，在数轴上有，，，，，六个点，且，则点表示的数是( )
A. B. C. D.
解：因为，表示的数为，表示的数为，
所以，，
所以，，
所以，点表示的数为．
故选C．
4.画一条数轴，然后在数轴上画出表示下列各数的点．
，，，，，，．
解：如图所示：

5.如图，已知点，，在数轴上表示的数分别是，，回答下列问题：
将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是多少
将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是多少
移动，，三个点中的任意两个，能使三个点表示的数相等吗你有几种移动方法
解：将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是．
将点向左移动个单位长度，此时点表示的数是．
能有三种移动方法：
点不动，将点向右移动个单位长度，并将点向左移动个单位长度
点不动，将点向左移动个单位长度，并将点向左移动个单位长度
点不动，将点向右移动个单位长度，并将点向右移动个单位长度
设计意图：通过练习，能巩固数轴的概念、数轴的画法和数轴的应用，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力。
（五）总结归纳
1.数轴的三要素是什么？
2.本节课你学习了哪些内容，经历了怎样的学习过程？
设计意图：先提问学生学到的知识与方法，让学生在脑中回忆本节课所学习的新内容，帮助他们自己整理学习方法，再通过思维导图的形式展示本节课的所有内容，帮组学生查漏补缺。第1章 有理数
1.2 数轴、相反数和绝对值
第3课时 绝对值
1.借助数轴理解绝对值的概念及表示方法；
2.理解绝对值的意义，并能求一个有理数的绝对值；
3.通过绝对值的概念和意义的探讨，渗透数形结合、分类讨论等数学思想；
4.通过绝对值性质在运算中的运用，培养学生的符号意识，锻炼学生的数学运算能力.
重点：理解绝对值的概念、意义，会求一个数的绝对值．
难点：绝对值的概念、意义及应用．
（一）创设情境
情境：小明的小狗“球球”在公园里迷路了。小明记得，当他最后一次看到球球时，它在小明的东边，距离小明100米的地方。然后球球开始乱跑，它先是向西跑了50米，接着又向东跑了30米，最后向西跑了20米。
现在球球距离小明有多远？
如果球球继续这样乱跑，它最终会离小明越来越远吗？
师生活动：教师提出问题，鼓励学生画出数轴并在数轴上还原球球乱跑的过程，学生进行小组讨论思考并回答问题.
预设：球球现在距离小明60米.
设计意图：通过实际情境引入，引导学生了解并感知“距离”这一概念，从实际问题中体会绝对值的意义，进而引入本节课题，需要探究的知识.
（二）探究新知
任务一：绝对值定义的引入
游戏规则：在教室中规定一个数轴，选择两名学生背靠背站在原点处，两名学生各抽取一张带有正负值的卡片并移动相应的步数，移动过后由其他学生回答二者之间的距离以及二者与原点的距离，答对获得奖励.
师生活动：游戏过程中，教师引导学生积极观察二者位置的变化，并引导学生思考为什么无论卡片上的数字是正数还是负数，都要数出与原点的距离，由此引出绝对值的定义。
思考：卡片上的正负数在这个游戏中代表什么含义？
设计意图：通过游戏的方式激发学生的积极性，组织学生自主探究，通过观察、对比等思维活动，发现抽取的数字与到达原点距离的关系，引发思考，进而引出绝对值的定义.
绝对值的定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记做|a|。数轴上表示数的点到原点的距离只与这个点离开原点的长度有关，而与它所表示的数的正负性无关.
互为相反数的两个数到原点的距离相等.
绝对值的几何意义：表示该点与原点之间的距离.
任务二：探究绝对值的性质与运算规律
绝对值接龙游戏：选择一排或一列学生，由第一位学生开始说出一个数，下一个学生必须说出这个数的绝对值，然后接着说出一个新的数，依此类推。如果学生不能在规定时间内回答，或者回答错误，就出局。
师生活动：教师组织学生积极参与游戏，在游戏中练习绝对值的计算；教师需要引导学生思考探究绝对值计算是否存在规律，在游戏结束后邀请学生总结。
思考：绝对值的计算是否存在一些规律？
设计意图：通过轻松的游戏形式练习绝对值的计算，加深学生对绝对值的理解
计算以下数的绝对值：-3, 5, -10, 0, 7，3，-5,10
思考：1.观察这些绝对值，并结合刚才的游戏，你发现了什么规律？
2.分别计算-3与3、-5与5、-10与10的绝对值，你发现了什么？
3.观察每个数字的绝对值与0的大小关系，你发现了什么？
师生活动：教师引导学生思考上述问题，学生自己思考后在小组中讨论，选择一名代表总结发言；最后由教师补充总结.
设计意图：组织学生自主探究，通过观察、对比等思维活动，自主总结绝对值的性质和运算规律，更有助于加深学生的理解，加强学生自主思考能力.
总结：
绝对值的运算规律：
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0.
符号语言表示为：
＝ ＝
绝对值的性质：
绝对值恒大于等于0；
互为相反数的两个数绝对值相等.
（三）应用举例
例1：求下列各数的绝对值：
，
分析：利用绝对值的运算规律即可写出.
答案： = ， = 1， = 0.1， 4.5 = 4.5.
总结：一个数可以看作由符号和绝对值两部分组成.求一个数的绝对值，只需要看数字部分.
例2：有理数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是( )
B.
C. D. 无法确定
分析：本题考查绝对值的定义，与原点距离最远的点绝对值最大.
答案：A
例3：根据这一性质，解答下列问题：
当取何值时，有最小值，此时最小值是多少？
当取何值时，有最小值这个最小值是多少
当取何值时，有最大值这个最大值是多少
分析：此题考查绝对值的非负性和绝对值的定义，难度稍大；由于一个数的绝对值始终大于等于0，因此当这个数等于0时，绝对值才能取到最小值0；当绝对值部分取到最小值时，式子才能取到最大值或最小值.
答案：（1）a=4时取最小值，最小值为0；
a=1时取最小值，最小值为3；
a=0时取最大值，最大值为4.
例4：检查5个排球的重量（单位：克），其中超过标准重量的数量记为正数，不足的数量记为负数，结果如下：，+0.7，，，+1.4，其中哪个球的重量最接近标准？
答案：的排球的重量最接近标准.
例5：一座山的海拔高度是+2000米，一个湖泊的海拔高度是-150米（低于海平面）。求山和湖泊之间的距离。
答案：山与湖泊的距离为2150米.
师生活动：教师带领学生分析解题思路，并尝试让学生自主解答，动手做一做后举手发言.
设计意图：通过层次渐进的三个例题，进一步巩固绝对值概念、绝对值的求法、绝对值的意义及应用，例1是巩固练习绝对值的求法，例2重点在加深学生对绝对值定义的理解，例3重点运用了绝对值的性质，将绝对值与实际数学问题相结合，进一步加深学生对绝对值性质的理解，引导学生运用绝对值求解最值问题，例4和例5将绝对值的内容与实际问题结合，加强学生解决应用题的能力。三个例题层层递进，也利于分阶段达成本节的知识目标，并在解题过程中进一步渗透“数形结合”的数学思想.
（四）课堂练习
1.中国最早使用负数，可追溯到两千年前的秦汉时期，的绝对值是( )
A. B. C. D.
解：．故选C．
2.已知有理数，，对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( )
A. B. C. D.
解：由数轴可知：，且，故，，即有．故选A．
3.正数：_____ ，_____
负数：_____ ，_____
_____
根据中的规律可以发现：不论是正数、负数还是，它们的绝对值一定是 ______ ，即 _____
解：;非负数;
4.如图，数轴上，两点所表示的数分别是和，点是线段的中点，则点所表示的数是（ ）
．
解：数轴上，两点所表示的数分别是和，线段的中点所表示的数．即点所表示的数是．故答案为．本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的中点公式是解答此题的关键．根据、两点所表示的数分别为和，利用中点公式求出线段的中点所表示的数即可．
师生活动：教师安排学生在课上或课后自主完成练习题目
设计意图：通过练习，能巩固绝对值的概念、绝对值的求法和应用，提高学生逻辑思维能力、计算能力、解决实际问题的能力.
总结归纳
本节课你学到了什么？
什么是绝对值？绝对值的定义是什么？
如何计算一个数的绝对值？
绝对值的概念、意义．
数轴上的点到原点的距离叫做这个点表示的有理数的绝对值
正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。
＝ ＝
绝对值是非负数。即 ≥0
互为相反数的两个数绝对值相等。

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