资源简介

第一章 有理数
1.1《正数和负数》
第1课时
本节课《正数和负数》是冀教版初中数学七年级上册第一章第一节的内容.学生在日常生话中已经接触了一些负数，有了初步认识负数的基础.在此基础上，初步认识负数，进一步丰富学生对数概念的认识，有利于中小学数学的衔接，为第四学段进一步理解有理数的意义和运算打下良好的基础.
本节课从数的产生和发展与日常的生活和生产的生活情境引入，引导学生从说出正数和0的实际意义，从而再在具体的生活情境中理解负数的意义.知道并了解正数和负数的符号“+”“”进行归纳总结出正数和负数的意义，加深拓展0的意义.最后学生可以在具体的生活情境中进行运用正数和负数.
《正数和负数》这个单元是在学生认识了自然数、分数和小数的基础上进行学习，小学阶段已要求学生初步认识负数，学生可以初步建立负数的概念，因此学生在学习时需要在小学已掌握负数的基础上加深拓展让学生深入了解正负数和0的意义，本课立足于学生的“学”，要求学生多观察，感受生活情境中的数学，从而可以帮助学生形成数学来源于生活，有应用于生活的理念，培养“三会”的数学核心素养.因此课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣.
1.梳理小学阶段学过的整数、分数(小数)知识，掌握正数和负数的由来；
2.会区分两种不同意义的量，会用符号表示具有相反意义的量；
3.在经历从具体例子引入相反意义的量的过程中，抽象出相反意义的概念，培养学生的数学抽象能力；
4.经历各式各样的生活情境，体会数学与生活的紧密联系，培养学生分析和解决问题的能力.
重点：结合实例，认识具有相反意义的量，了解负数产生的意义，进一步发展抽象能力．
难点：经历用符号表示现实生活中具有相反意义量的过程，提高学生的符号意识．
本章引入
导语：在小学阶段，我们学习了自然数、小数和分数，并且掌握了这些数的四则运算.我们还知道零上气温和零下气温、收入与支出等意义相反的量.下图是某地7天最低气温的趋势预报，在这幅图中，2℃，4℃和1℃表示的是零下温度，像2，4，1这样的数就是我们本章将要学习的新数——负数.
有了这样的数以后，数就扩充为有理数.在有理数范围内，仍可以进行数的四则运算，并且还将学习数轴、绝对值以及相反数的概念.
通过本章的学习，我们可以利用数轴将有理数直观地表示出来，用形呈现数的特征，使复杂问题简单化，有助于我们把握数学问题的本质，帮助我们学习与理解有理数的性质及运算，体会数形结合思想、提高转化、归纳等能力.
同学们，你是否非常期待学习本章的知识呢？
师生活动：学生读出图中每天的最低气温，感受到负数在现实生活中的意义．教师结合章前页的内容，引领学生了解本章将要学习的知识.通过对本章内容的学习，感悟到的思想方法以及计算能力的进一步提高，激发学生学习新知的欲望．
设计意图：从学生熟知的气温的生活情境中，提炼出负数，感受到数的扩充必要性，以此来激发学生学习数学的积极性，为学习新知作好铺垫．
情境导入
感知相反意义的量
问题1：观察图1.11中的两幅图片，请根据图片下方的说明，思考以下问题：
(1)向东和向西，购进和售出所表达的意义具有怎样的关系呢
(2)如果仅说3km，1km和100箱，90箱，能完整地表达它们的意义吗 为什么
答：(1)东与西表示方向相反，购进和售出表示货物进出相反；(2)如果没有前面的表述只剩下数字不能清楚表达问题的意义.
师生活动：学生经过独立思考后，与同学们进行交流，从意义和数值两方面理解这两组量，在辨析的基础上得出结论，为后面的学习奠定基础．教师做适当点拨，鼓励学生发表自己的意见．
设计意图：在辨析中，充分认识具有相反意义的量．
问题2：想一想，我们生活中还遇到过哪些具有相反意义的量？
师生活动：学生回答．
教师提示：具有相反意义的量，它们所表示的意义相反、单位相同，并且都是成对出现．
设计意图：通过举例，加强对相反意义的量的理解．
一起探究
问题1：怎样用符号表示具有相反意义的量呢？观察图1.12，请回答下面的问题：
(1)在图1.12(1)中，21，188，100，80的含义分别是什么
(2)在图1.12(2)中，“2”与“2”这两个按键所代表的含义有什么不同
答：(1)21和100表示支出的金额，188和80表示收入的金额；(2)“2”与“2”这两个按键分别表示地下2层与地上2层.
师生活动：学生依据自己的生活经验，用语言表述自己对问题的理解，在相互帮助下逐步完善对问题的解答；教师在学生活动过程中，注意学生的表现，抓住问题关键及时进行评价．
设计意图：引导学生从生活实例中体会用符号表示具有相反意义的量的优势，进一步理解相反意义的量．
归纳：一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的．并在表示这个量的数的前面加上“+”(读作“正”)来表示把与它意义相反的量规定为负的，并在表示这个量的数的前面加上“”(读作“负")来表示．例如，规定收入为正、支出为负，则收入188元可表示为+188元，读作“正188元";支出21元可表示为21元，读作“负21元”．
师生活动：教师引导学生根据前面的问题，进行归纳总结．
设计意图：给出如何用符号表示两个相反意义的量，培养学生的概括抽象能力．
应用举例
例1．请你仿照天气预报中气温的表示方法，完成下表．
意义 向北走 1．8 km 向南走 3 km 盈利30% 亏损20% 水位上升30 cm
表示 +1．8 km +30% +30 cm 50 cm
答：3 km；20%；水位下升50 cm.
例2．用带“+”和“”的数表示下列具有相反意义的量．
（1）如果将开进汽车站汽车28辆记作+28辆，那么从该汽车站开出汽车24辆，可记作_______辆．
（2）如果把公司第一季度亏损2万元记作2万元，那么第二季度盈利2．5万元，可记作_______万元．
（3）如果规定高于海平面为正，那么：珠穆朗玛峰高于海平面8 848.86 m，可记作_______m；吐鲁番盆地最低点低于海平面154.31 m，可记作_______m．
（4）如果规定收入为正，那么：小亮家的年收入126 800元，可记作_______元；“ 77 800元”表示小亮家_____(填“收入”或“支出”)了77 800元．
答：（1）24；（2）+2.5；（3）+8 848.86，154.31；（4）+126 800，支出．
师生活动：学生先独立完成，然后小组内交流．教师组织学生展示，汇报成果．
设计意图：使学生学会用正数和负数表示实际中具有相反意义的量.
例3.某校组织学生去劳动实践基地采摘橘子，并称重、封膜.一盒橘子的标准质量为2.5kg.如果用正数表示超过标准的质量，那么
（1）比标准质量多65g和比标准质量少30g各怎么表示
（2）50g、－27g各表示什么意义
解：（1）比标准质量多65g用＋65g表示，比标准质量少30g用－30g表示.
（2）50g表示这盒橘子的质量比标准质量多50g，－27g表示这盒橘子的质量比标准质量少27g.
总结：如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们.
师生活动：上述问题中出现了具有相反意义的量.为了表示某一问题中具有相反意义的两种量，我们把其中一种意义的量规定为正数，用原来熟悉的正整数、正分数来表示，而把与它相反意义的量规定为负数，在正数前添上符号“－”，用负数来表示.
设计意图：使学生明确用正数和负数表示相反意义的量的前提是指定方向，深入理解正负数的意义.
溯源漫漫长路识负数
我国是最早认识和使用负数的国家.早在公元1世纪，我国古代数学著作《九章算数》就提出了正数、负数的概念及加减运算法则.刘徽在为《九章算数》作注时，明确了正负数是表示相反意义的量，并采用了不同的颜色分别表示，红色为正，黑色为负.7世纪，印度数学家婆罗摩笈多在算数运算中使用了负数.1202年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中开始使用了负数.随着数学的发展，到了19世纪，人们对于负数的质疑消失了，负数完全成了数学系统中的一员.
师生活动：教师讲述，也可提前安排学生课前查阅相关历史材料进行汇报.
设计意图：进行负数发展史的介绍，增强数学文化和民族自豪感.
课堂练习
1.如果80m表示向右走80m，那么 表示向左走60m.
2.某天，月亮表面白天的最高温度为零上126℃，如果把它记作126℃，那么夜间的最低温度零下150℃记作_______ ℃.
3.在足球比赛中，如果甲队进3个球，记作+3个，那么甲队失2个球，记作 个.
答案：1.60m 2.150 3.2
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解用正负数表示具有相反意义的量.
课堂检测
1.文具店、书店和玩具店依次位状元成才于一条东西走向的大街上，文具店在书店西边20m处，玩具店在书店东边100m处.小明从书店沿街向东走了40m，接着又向东走了60m，此时小明在( )
A.文具店 B.玩具店
C.文具店西边40m处 D.玩具店西边60m处
答案：A
2.当前，手机移动支付已经成为新型的消费方式，中国正在向无现金发展．元旦当天小明妈妈收到微信红包80元记作+80元，则小明妈妈微信转账支付65元记作(　　)
A.+80元 B.80元 C.+65元 D.65元
答案：D
3.某家庭提倡“节约用水，反对浪费”．如果节约50m3水记作+50m3，那么浪费50m3水记作_____m3．
答案：50
4.我国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功下潜，最大下潜深度为10909米．高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地高度记为+100米，那么最大下潜深度10909米可记为________米．
答案：10909
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂总结
1．本节你学到了哪些知识？
2．通过本节课的学习，你有怎样的收获？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
利用正数和负数做一个家庭记账本.第一章 有理数
1.1《正数和负数》
第2课时
本节课《正数和负数》是人教版初中数学七年级上册第一章第一节的内容.学生在上节课中已经认识了正数和负数，有了初步应用正、负数的基础.在此基础上，初步应用正、负数，进一步丰富学生对数概念的理解，有利于中小学数学的衔接，为第四学段进一步理解有理数的意义和运算打下良好的基础.
本节课从表示相反意义的量复习入手，从0的不同意义引入，让学生感受正、负数在日常的生活和生产的不同意义，引导学生应用正数和负数解决生活中的问题，从而在具体的生活情境中理解正数和负数的意义.最后学生可以在具体的生活情境中进行运用正数和负数.
《正数和负数》这个单元是在学生认识了自然数、分数和小数的基础上进行学习，上一课时已要求学生理解了正数和负数，并进行了正数与负数的初步应用，因此学生在上节课学习学习正负数概念的基础上加深拓展让学生深入了解0的意义，解决正、负数在生活正的问题.本课立足于学生的“学”，要求学生多观察，感受生活情境中的数学，从而可以帮助学生形成数学来源于生活，有应用于生活的理念，培养“三会”的数学核心素养.因此课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣!
1.在实际背景中掌握正数与负数的意义.
2.通过实例理解正数与负数，扩大对零的意义的认识.
3.在经历将0与正数、负数区分辨别的过程中，初步培养学生的分类讨论的数学思想.
4.在生活情境中，体会数学与生活的紧密联系，培养学生分析和解决实际问题的能力.
重点：通过实例理解正数与负数，扩大对零的意义的认识.
难点：在经历将0与正数、负数区分辨别的过程中，初步培养学生的分类讨论的数学思想.
情境导入
上节课，我们用带“+”和“”的数统一表示出具有相反意义的量，一起完成下面的习题
练习：
1.“零上3摄氏度”和“零下3摄氏度”用数表示：+3℃，-3℃
2. “盈利50万元”和“亏损10万元”用数表示：+50万元，-10万元
3.“增长7.8%”和“减少 0.7%”用数表示：+7.8 %，-0.7%
设计意图：通过提前布置预习作业，复习上节课内容，巩固学习过的知识点，并引发学生的思考，正数和负数在日常生活中有哪些应用，为学习新课做铺垫.
一起探究
归纳：像 3，50，7.8…，这样在已学过的数(0除外)的前面加上“+”的数叫做正数，像－3，－10，－0.7%这样在在已学过的数(0除外)的前面加上“ ”的数叫做负数.
师生活动：学生先独立思考，再以小组形式汇报展示．
问题1：(1)通常情况下，正数前的正号可以省略.负号能省略吗
(2)“不是正数的数一定是负数” 对吗
答：(1)负号不能省略；(2)不对，还有0.
注意：0既不是正数，也不是负数.
师生活动：老师提问学生举手回答问题.
设计意图：通过学生参与小组活动，激发学生参与课堂教学的热情，使学生进入问题情境，引出负数的概念.通过实例引出用各种符号表示的数，让学生试着解释，激发学生的求知欲望，感受引入正数和负数的必要性.
问题2：(1)0的含义是什么？它只表示没有吗？
(2)根据下图中给出的信息，说出珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地应该如何区分表示.
答：0的含义不只表示没有，还可以作为正数和负数的分界.
珠穆朗玛峰可以记为：+8844.43米 ；吐鲁番盆地可以记作：－155米.
归纳：0是正数与负数的分界，例如：0℃是一个确定的温度，海拔0m表示海平面的高度...
0的意义已不仅是表示“没有”.
问题3：引入负数以后，我们的数可以怎么分类？你能举例说明吗？
答：正整数（如1，2，3，…）；
正分数（如…）；
0；
负整数（如1，2，3，…）；
负分数（如…）；
归纳：正整数、0和负整数统称为整数，正分数和负分数统称为分数，整数和分数统称为有理数.
事实上，任何分数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数都能表示成分数，例如:0.16=(0.16×100)÷100=.
问题4：有理数可以怎么分类？试一试？
答:
师生活动：老师提问学生小组讨论.
设计意图：引出正负数概念后，让学生试试对正负数和0进行分类，在经历将0与正数、负数区分辨别的过程中，初步培养学生的分类讨论的数学思想.
应用举例
例1. 读出下列各数，并把它们填在相应的圈里：
正数 负数 整数 负分数
解：
师生活动：学生先独立思考再作答.
设计意图：引出正负数概念后，让学生试试对正负数分类，能够识别哪些是负数，哪些是正数，再把0加入进去，让学生一起进行分类，增加考察难度.
例2.在一次数学测验中，七(1)班全体同学的平均分为 85 分，其中 5 名同学的成绩分别为 80分、98分、90分、84分、73分．以平均分为基准，用正数表示超出部分，用负数表示不足部分．
(1)上面5名同学对应的成绩分别应记为多少？
(2)另有2名同学的成绩分别记为＋3分和0分，这2名同学的实际成绩是多少？
分析：比平均成绩高的记为正数，高1分记作＋1分，依此类推；比平均成绩低的记为负数，低 1 分记作－1分，依此类推；若和平均成绩相同，则记作 0 分．
解：(1)5名同学对应成绩分别记为5，13，5，1，12.
(2)这2名成绩为88分和85分.
总结：解题时一定要先弄清“基准”,用与基准的差表示量，或把数据按照基准还原成原数据.
师生活动：学生先独立思考再作答.上述问题中出现了基准的概念.为了重新定义生活应用中的正负数，用以解决生活中的简单问题.
设计意图：这些问题是这节课的主要知识，教师要清楚地向学生说明，并且要注意语言的准确与规范，要舍得花时间让学生充分发表想法，使学生对定义基准的实际问题中的正负数的意义有一个系统的认识.使学生学会用正数和负数解决生活中的问题，深入理解正负数的使用意义.
课堂练习
请把下列各数填在相应的圈里：
答：
2.某蓄水池的标准水位记为0m，如果用正数表示水面高于标准水位的高度，那么：
(1)0.08m和0.2m各表示什么
(2)水面低于标准水位0.1m和高于标准水位 0.23 m各怎样表示
答案：(1)
(2)0.1m,0.23m.
3.如果把一个物体向后移动5m记作移动5m，那么这个物体又移动+5 m是什么意思 这时物体离它两次移动前的位置多远
答：
师生活动：学生先独立作答，再随机选择学生回答.
设计意图：让学生进一步巩固所学知识，加深理解用正负数的应用.
课堂检测
1.下列关于“0”的叙述中，正确的有(　　)
①0是正数与负数的分界；②0比任何负数都大；③0只表示没有；④0常用来表示某种量的基准．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
2.有四包真空小包装火腿，每包以标准克数(450克)为基数，超过标准的克数记作正数，不足标准的克数记作负数，以下数据是记录结果，其中表示实际克数最接近标准克数的是( 　)
A．－2 B．－3 C．＋1 D．＋4
答案：C
3..小戴同学的微信钱包账单如图所示，＋29.74表示收入29.74元，下列说法正确的
是( 　)
A．－18.50表示收入18.50元 B．－18.50表示支出18.50元
C．－18.50表示支出－18.50元 D．收支总和为48.24元
答案：B
4.某种商品的标准价格是200元，随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%.
(1)±10%的含义是什么？(2)请你计算出该商品的最高价格和最低价格；
(2)
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对本节课的理解及应用.
课堂总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容.
1.本节课你学到了什么？
2.应该如何理解“0”？
3.如何对有理数进行分类？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
实践作业
以班级平均身高为基准，尝试用正负数表示班级同学的身高.

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