资源简介

第一章 有理数
1.5有理数的加法
第1课时
本节课是冀教版初中数学七年级上册第一章第五节第1课时的内容.学生在小学阶段中已经学习了四则运算，有了一定的运算基础.在此基础上，这节课是数扩充后学习的有理数运算法则的探究与理解，有理数的运算是运算的基础，而有理数的加法是学习有理数运算的第一步，是进一步学习有理数减法、乘法的基础，其中蕴含的内容和思想方法在后续学习中有示范作用，为进一步学习有理数的运算以及代数式的学习打下良好的基础.
1.经历探究有理数加法法则的过程，体会分类讨论与数形结合的数学思想方法，培养抽象概括能力.
2.掌握有理数加法的运算法则，能运用有理数的加法运算解决简单的实际问题，体会数学与现实世界的联系，增强数学的应用意识.
3.培养实事求是的科学态度，勇于创新的精神，让学生感受到数学学习的价值与乐趣.
重点：经历探究有理数加法法则的过程，体会分类讨论与数形结合的数学思想方法，培养抽象概括能力.
难点：掌握有理数加法的运算法则，能运用有理数的加法运算解决简单的实际问题，体会数学与现实世界的联系，增强数学的应用意识.
情境导入
问题：1.口算：（强化自然数的加法法则）
（1）10+6= ；（2）12+4= ；（3） 5+7= ； （4）6+9= ；（5） 0.9+2.7= ； （6）0.5+3= ；（7）3.92+1.78= ；（8） = ；（9） ；（10） .
2.某水库昨天的水位下降了15 cm，今天的水位又上升了8 cm．如果将水位上升记为正，水位下降记为负，用算式表示出这两天水位的变化结果．
答案 1.(1)16;(2)16;(3)12;(4)15;(5)3.6;(6)3.5;(7)5.7;(8)1;(9);(10)2. （-15）+8
师生活动 学生口算完成计算，体会加法运算的算理，教师通过让学生解决第二题，引导学生列出算式（-15）+8，导入课题.
设计意图 培养学生的计算能力，从实际生活情景入手，让学生通过对正、负数的理解进行列式，导入课题，激发学生的探索欲望.
教师导语：引入负数后，数的范围扩大为有理数，那么，如何在有理数范围内如何进行加法运算呢？引入新知探究.
一起探究：
问题：某体育场在百米跑道的旁边安装了高速轨道摄像机，用以记录运动员的比赛过程．在其中一段直轨上测试摄像机时， 工作人员使其每回连续运动两次．规定初始位置为0，向前运动为正，向后运动为负．
思考：（一）同向情况
1.先向前运动5m，再向前运动3m，
(1)两次运动的结果是什么？请在数轴上表示.
(2)由运动的方式和结果可以得到怎样的算式呢？
2.先向后运动5m，再向后运动3m.
(1)两次运动的结果是什么？请在数轴上表示.
(2)由运动的方式和结果可以得到怎样的算式呢？
答案：1. (1)先向前运动5m，再向前运动3m，两次运动的结果为向前运动了8m．
将运动方式表示在数轴上如图所示：
(2)由运动方式和运动结果，可以得到算式为 (+5)+(+3)=+8.
2.(1)向后运动5m，再向后运动3m，两次运动的结果为向后运动8m.
将运动方式表示在数轴上如图所示:
(2)由运动方式和运动结果，可以得到算式为（-5）+（-3）= -8.
（+5）+（+3）=+8，（-5）+（-3）=-8.
问题：观察上面2个算式，想一想，同号两数相加，怎样确定和的符号与和的绝对值呢？
和的符号与两个加数的符号相同.
和的符号与两个加数的符号相同.
总结：同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加.
问题：计算：
（1）(+6)+(+9) ；（2）(－5)+(－7)； （3）(－0.9)+(－2.7) .
答案：(1) +15；(2) -12；(3) -3.6.
师生活动：教师投影展示同向运动两次的问题，与学生共同感受，上面的问题都涉及意义相反的两个量，用数表示像这样具有相反意义的两个量，引出有理数加法算式，体会如何运算．理解同号两数有理数加法法则.
设计意图：让学生针对体育场高速摄像机的两次运动状态进行分类研究，理解同号两个有理数加法法则的合理性.
问题：
（二）异向运动
按下列要求填表：
（1）在表格中填写运动结果.
（2）在数轴上分别画出相应过程的示意图.
（3）列出相应的算式．
答案：
因此由以上得到算式:（+5）+（-2）=+3 ；（-5）+（+2）=-3；（-5）+（+5）=0.
问题：观察上面3个算式，想一想，异号两数相加，怎样确定和的符号与和
的绝对值呢？
和的符号与绝对值较大的加数的符号相同.
和的绝对值等于较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加和为零.
结论：异号两数相加，绝对值不相等时，和取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.绝对值相等时，和为0，即：互为相反数的两个数相加和为零.
问题：计算：
(1)(－10)+(+6)； (2)(+12)+(－4)； (3) 3.8+(－3.8)； （4）(－0.5)+0.5 .
答案：(1) -4；(2) +8；(3) 0；(4) 0.
师生活动：通过分类探究，学生理解分类的思想，体会异号两数相加的现实情境，上面的问题都涉及意义相反的两个量，用数表示像这样具有相反意义的两个量，引出异号加法算式，体会如何运算，理解异号两数有理数加法法则.
设计意图：培养学生分类的思想，类比同号两数相加的法则，概括异号两数相加运算算理.
问题：计算：5+ 0 = 5 ，0+3 = 3
那么：（-5）+ 0 = -5， 0 +（-3）= -3
思考：由上述算式，你有什么发现？
一个数同零相加，仍得这个数.
结论：一个数同零相加，仍得这个数.
师生活动：通过回忆一个正数加0都得这个数引出任意一个数同零相加，仍得这个数.
总结有理数加法法则：有理数加法法则
1．同号两数相加，和取相同的符号，并把绝对值相加．
2．异号两数相，相等时，和为0; 绝对值不相等时,和取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
3．一个数同0相加，仍得这个数．
师生活动：学生记忆2分钟．体会计算中的算理.
设计意图：强化学生记忆与理解.
应用举例
例1：计算：
(1)(-8)+(-5)； (2)(+2.5)+(-2.5)； (3)(-5)+0； （4） .
答案: (1) -13；(2)0；(3) -5；(4).
师生活动：学生独立完成，体会有理数加法法则的应用,组内交流，教师巡察，学生展演，师生点评，体会算理，为后面的学习奠定基础，教师适当给与补充，关注弱势群体，鼓励学生发表自己的解题思路,教师多媒体展示解题过程.教师多媒体展示解题过程.
例2 2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人潜水器在马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度为10909m.如图，海平面的高度为0m,潜水器坐底成功后顺利返航．当从坐底位置上升3000m时，求潜水器相对于海平面的位置．
解：潜水器下潜10909 m ，记作-10909 m；上升3000m ,记作＋3000m ．根据题意，得
(-10909)+(+3000)
=-(10909-3000)
=-7909( m ).
答：当从坐底位置上升3000m时，潜水器位于海平面下7909m处.
师生活动：教师引领学生分析题意，以问题串的形式，逐步引导，利用正负数表示相反意义的量，解决现实生活中的问题．教师多媒体展示解题过程.
设计意图：培养分析问题、解决问题的能力.
课堂练习：
1.计算：
(1)67+(-73)； (2)(-84)+(-59)； (3)(-9.18)+6.18；(4)4.23+(-6.77).
2.计算：
(1) (2) ； (3) .
3.填空：
　(1)_____+11=27； (2)7+___=4； (3)(－9)+_____=9； (4)12+___=0；
　(5)(-8)+_____=－15； (6)_____+(－13)=－6.
4.如图，海平面的高度为0m,一艘潜艇从海平面先下潜40m,再上升15m，求现在这艘潜艇相对于海平面的位置．（上升为正，下潜为负）
答案：
答案：1. (1) -6；(2) -143； (3) -3；(4) -2.54.
2. (1) ；(2) ； (3) .
3. (1)16; (2) -3; (3)18; (4) -12；(5) -7；(6) 7.
4.解：解：潜水艇下潜40m,记作 40m；上升15m,记作+15m.根据题意，得
( 40)+(+15)
= (40 15)= 25(m).
答：现在这艘潜艇位于海平面下25米处.
师生活动：学生独立完成，组内交流，学生展演，师生点评,教师多媒体展示解题过程.
设计意图：习题逐渐增加梯度，强化解题技巧，独立解决问题的能力．培养学生讲解与点评的能力
课堂检测：
计算：限时测试五分钟
1.（1）(－56)+37； （2）33+48； (3)（-4.23）+(－6.77 ) ； (4) ；
答案:(1) -19；(2) 81；(3) -11；(4) 0.
2.一只小虫从某点O出发在一条直线上爬行，规定向右爬行为正，向左爬行为负.小虫共爬行
5次，小虫爬行的路程依次记为(单位：厘米)： 5， 3，＋10， 4，＋8.
(1)小虫最后的位置在哪里？
(2)若小虫的爬行速度保持不变，共用了6分钟，则小虫的爬行速度是多少？
答案;解：(1)(－5)＋(－3)＋(＋10)＋(－4)＋(＋8)
＝－8＋(＋10)＋(－4)＋(＋8)
＝＋2＋(－4)＋(＋8)
＝－2＋(＋8)
＝6(厘米)．
答：小虫最后在离出发点右侧6厘米处．
(2)|－5|＋|－3|＋|＋10|＋|－4|＋|＋8|
＝5＋3＋10＋4＋8
＝30(厘米)，
30÷6＝5(厘米/分)．
答：小虫的爬行速度为5厘米/分．
师生活动：学生独立完成，教师多媒体展示解题过程．反馈答题情况，教师评价.
设计意图：检测学生学习效果.
课堂总结：
1．确定加法运算的结果要从哪两个方面开始考虑？
2．有理数的数加法法则是什么？
师生活动：学生自由发言归纳自己本节课的收获，教师总结.第一章 有理数
1.5有理数的加法
第2课时
有理数加法第2课时加法运算律在教材中占据重要地位与作用.从知识体系构建来看，它是对有理数加法法则的深化拓展，起到承上启下的作用.既连接了第一课时的内容，又为后续有理数混合运算等知识奠定基础.同时，与小学数学知识相衔接，将运算律应用范围拓展至有理数领域，增强知识连贯性.在能力培养方面，有助于提升运算能力，学生利用运算律进行简便运算，提高计算速度和准确性，还能提升逻辑思维能力，培养观察、猜想、验证等能力.此外，提高解决实际问题的能力，可应用于收入支出、温度变化等实际场景.在数学思想方法上，渗透转化思想，如将减法转化为加法再简便计算.也培养了类比思想，与小学运算律类比，更好地掌握新知识.
1.通过计算体会有理数的加法仍满足加法的运算律（交换律、结合律），体会知识的延续性，适用性，获得数学知识的奥妙.
2.理解在进行多个有理数的加法运算时，会运用加法运算律进行简便运算，能熟练应用加法运算律解决实际问题，培养计算能力
3.通过思考、观察、比较等体验数学的创新思维和发散思维，激发学生的学习兴趣.
重点：运用加法运算律对多个有理数的加法进行简便运算.
难点：利用加法运算律进行简化计算的技巧的培养.
情境导入
我们已经会运用加法的运算律进行简便计算，请结合已有经验对下面的算式进行简便计算.24+35+46-35
思考：怎样运算简便？计算中运用哪些运算律？
答案：24+35+46－35
=（24+46）+（35-35）
= 70+0
= 70
运用了加法交换律和加法结合律
追问：加法的运算律在有理数的运算中还能使用吗？
能使用
师生活动：通过学生对熟悉的算式进行简便计算，让学生亲身体经历计算，体验计算的乐趣，获得自豪感，用问题引发学生的思考，为探究有理数的简便计算设下伏笔，引发学生的探究，在探究中得出结论.
一起探究
1.计算：
（1）5+(-13)= , (-13)+5= .
(2)(-4)+(-8) = , (-8)+(-4)= .
思考 （1）在上面的两组算式中，每组中两个算式的计算结果都相等.观察两个加数的特征，你有怎样的思考？
（2）请举出一组具有上述特征的算式并计算一下，看看结果还相等吗？
（3）你能用字母将上述关系表示出来吗？
答案：(1)-8; -8;(2) -12; -12.
思考：(1)交换加数的位置，计算结果没有发生变化.
(2) (-3)+(-2)=-5 , (-2)+(-3)=-5.结果仍然相等.
(3) a+b=b+a.
结论：事实上，有理数的加法仍满足交换律．
加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，和不变．
a + b = b + a .
师生活动：学生独立完成计算，组内对答案，让学生描述算理.教师投影展示问题，引领学生发现加法的交换律仍然适用有理数加法.
2.计算：
(1)[3+(-8)]+(-4)= , 3+[(-8)+(-4)]= .
(2) [(-6)+(-12)]+15= , (-6)+[(-12)+15]= .
上面两组算式的计算结果也分别 ．
答案：(1)-9；-9；(2) -3；-3. 相等
追问：通过对上面两组算式的计算，你能得到什么结论？
结论 事实上，有理数的加法仍满足加法结合律．
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加再和第三个数相加，或先把后两个数相加再和第一个数相加，和不变．
( a + b )+ c = a +( b + c ).
师生活动：学生独立完成计算，组内对答案，教师引领学生发现加法的结合律仍然适用有理数加法.
设计意图：培养学生的计算能力，提升对加法法则的理解，体会运算的算理，培养类比归纳的能力.
应用举例：
例1 计算：
（1）（-2.4）+（-3.7）+（-4.6）+3.7 （2）+（- ）+（- ）+（- ）.
答案：(1)-7 ；(2).
师生活动：教师引领学生观察分析应怎样计算？如何计算更加简便？学生交流.运用加法的交换律、结合律可以使运算简便，学生总结把具备怎样特点的数放到一起更加简便.
设计意图：通过解决问题，归纳总结，培养学生的观察能力，分析能力，表达能力，归纳能力.体会如何计算简便.
结论
常见的可以利用加法运算律进行简便计算的技巧
例2 某股民以每股38.5元的价格持有某只股票．下表为一周内该股票的涨跌情况：
时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五
每股涨跌/元 -1.8 +0.6 +1.5 -0.2 +0.4
在星期五收盘时，该股票每股的价格是多少元？
分析：要求星期一收盘时该股票每股的价格如何列式呢？38.5+（-1.8）
要求星期二收盘时该股票每股的价格如何列式呢？38.5+(-1.8)+(+0.6)
要求星期五收盘时该股票每股的价格如何列式呢？38.5+(-1.8)+(+0.6)+(+1.5)+(-0.2)+(+0.4)
答案： 解：根据题意，得
38.5+(-1.8)+(+0.6)+(+1.5)+(-0.2)+(+0.4)
=38.5+(+1.5)+(-1.8)+(-0.2)+(+0.6)+(+0.4)
=[38.5+(+1.5)]+[(-1.8)+(-0.2)]+[(+0.6)+(+0.4)]
=40+(-2)+(+1)
=38+(+1)
=39（元）.
答：在星期五收盘时，该股票每股的价格是39元．
师生活动：学生独立思考完成，与同学交流展示，体会算理，为后面的学习奠定基础，教师适当给与补充，关注弱势群体，鼓励学生发表自己的解题思路.教师多媒体展示解题过程.
设计意图：通过解决问题，归纳总结，培养学生的观察能力，分析能力，表达能力，归纳能力.体会如何计算简便.
课堂练习：
1.用简便方法计算：
(1) (-8) +19+(-32)+51； （2） .
答案：(1)30；(2)
2.某餐馆一周每天的盈亏情况（盈余为正，亏损为负）如下：-125元，596元，455元，-82元，-56元，85元，672元.这一周总的盈亏数额是多少元？
分析:如何确定一周的盈亏数额呢？如何列式呢？
总结一周的盈亏数额，就是求一周内七天盈亏数额的总和，即：把一周中每一天盈亏的数额相加，可列式为（-125）+596+455+（-82）+（-56）+85+672.
答案 解：根据题意，得
（-125）+596+455+（-82）+（-56）+85+672
=[（-125）+455]+ [（-56）+596]+[（-82）+672]+85
=330+540+590+85
=1545（元） .
答：这一周餐馆盈利1545元.
师生活动：学生独立思考，组内交流，教师引领学生分析问题，解决问题.学生完成计算过程.教师多媒体展示解题过程.
设计意图：从实际情境中提炼用数学方法解决问题，培养学生分析问题、解决问题的能力.
课堂检测：
1.计算：
(1)（-6）+9+（-4）+6； (2)(-0.8)+1.4+(-0.9)+(-2.3)+0.7.
答案：(1)(-6)+ 9 +(-4) +6
= [(-6)+6]+[(-4)+9]
=0+5
=5；
(2)(-0.8)+1.4+(-0.9)+(-2.3)+0.7
=[(-0.8)+(-0.9) + (-2.3)] + (1.4+0.7)
=(-4)+2.1
=-1.9.
2.某水库在星期一的水位是110.3m,星期二下降了0.2m,星期三上升了0.7m,星期四下降了0.8m.
(1) 如果规定水位上升为正，下降为负，请你将每天水位变化情况用正数或负数表示出来.
(2)星期四的水位是多少米？
解：（1）从星期二到星期四每天水位的变化量分别是-0.2m， +0.7m， -0.8m.
(2) 根据题意，得
110.3+（-0.2）+（+0.7）+（-0.8）
=[110.3+(+0.7)]+[(-0.2)+(-0.8)]
=111+(-1)
=110(m).
答：星期四的水位是110m.
师生活动：教师多媒体展示，学生独立完成，教师多媒体展示解题过程.反馈答题情况，教师评价，小组内讲解，对有困难的学生给予指导.
设计意图：巩固本节课所学的内容.
课堂小结：
1.本节课有哪些收获呢？
2.怎么利用加法的运算律进行简便运算呢？
师生活动：学生交流本节课的收获，理解有理数加法仍适用加法运算律，进行简化计算，通过练习解决问题，归纳利用运算律怎样组合有理数，进行简化计算.

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