资源简介

14.3　角的平分线
【教学目标】
1.掌握作已知角的平分线的方法,会用尺规作图的方法画已知角的平分线.
2.掌握角平分线的性质和判定方法,能用角平分线的性质和判定解决问题.
3.经历探究角的平分线的性质的过程,领会其应用方法.
【重点难点】
重点:作已知角的平分线的方法,用角平分线的性质和判定解决问题.
难点:用尺规作图的方法画已知角的平分线,用角平分线的性质和判定解决问题.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
1.什么是角平分线
2.如图,要在A区建一个集贸市场,使它到公路和铁路的距离相等,且离公路和铁路的交叉处500米,该集贸市场应建在何处 (比例尺1∶20000)你能确定吗 这节课我们就一起来探究这类问题.
二、探究归纳
活动一:探究角的平分线
问题1如图是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗
要说明AC是∠DAB的平分线,其实就是证明∠CAD=∠CAB.
∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中,那么证明这两个三角形全等就可以了.
看看条件够不够.
所以△ABC≌△ADC(SSS).
所以∠CAD=∠CAB.
即射线AC就是∠DAB的平分线.
问题2:如图
OC是∠AOB的平分线,点P是OC上任意一点,当OM与ON满足什么关系时,PM=PN
学生独立思考,然后让学生说出自己的方法.
OM=ON
∵∠AOC=∠BOC,OP=OP,
∴△MOP≌△NOP(SAS),
∴PM=PN.
活动二:作已知角的平分线的方法:
1.问题:已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:
(1)以O为圆心,适当长为半径作弧,分别交OA,OB于M,N.
(2)分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径作弧.两弧在∠AOB内部交于点C.
(3)作射线OC,射线OC即为所求.
2.议一议:
1.在上面作法的第二步中,去掉“大于MN的长”这个条件行吗
2.第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗
3.总结:
(1)去掉“大于MN的长”这个条件,所作的两弧可能没有交点,所以就找不到角的平分线.
(2)若分别以M,N为圆心,大于MN的长为半径画两弧,两弧的交点可能在∠AOB的内部,也可能在∠AOB的外部,而我们要找的是∠AOB内部的交点,否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠AOB的平分线了.
(3)角的平分线是一条射线.它不是线段,也不是直线,所以第二步中的两个限制缺一不可.
(4)这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.
4.练一练:
任意画一角∠AOB,作它的平分线.
活动三:探索角的平分线的性质
1.问题1:如图,OC是∠AOB的平分线,点P1是OC上一点,作P1D1⊥OA,P1E1⊥OB垂足分别为点D1,E1,则P1D1与P1E1有什么关系 再找P2,P3,P4,…,Pn是否也有上述结论.
猜想P1D1=P1E1,…
问题2:怎样用文字语言叙述得到的结论
猜想角平分线上的点到角的两边的距离相等.
问题3:如何证明这个结论
师生分析:已知事项:OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,D,E为垂足.
由已知事项推出的事项:PD=PE.
写出已知,求证如下:
已知:OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D,E,如图所示:
求证:PD=PE.
问题4如何证明
学生口头叙述过程
证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB,所以∠PDO=∠PEO=90°,
在△PDO和△PEO中,
所以△PDO≌△PEO(AAS),所以PD=PE.
定理
2.【归纳】角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言:∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=PE.
活动四:　　探索角平分线的判定
问题1根据下表中的图形和已知事项,猜想由已知事项可推出的事项,并用符号语言填写下表:
图形 已知事项 由已知事项 推出的事项
PD⊥OB,PE⊥OA, 垂足为D,E, PD=PE
[学生讨论]已知事项符合直角三角形全等的条件,所以Rt△PEO≌△PDO(HL).于是可得∠POE=∠POD.
由已知推出的事项:点P在∠AOB的平分线上.
问题2:你能用文字语言叙述你得到的结论吗
定理:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
问题3:这两个定理有什么关系
学生:题设和结论互相交换并且都是经过推理证明正确的.从而我们得到用集合的观点给角平分线下定义.
角平分线可以看成到角两边距离相等的所有点的集合.
活动五:回到引入的题
例1:如图所示,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处500 m,这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20000)
1.集贸市场建于何处,和本节学的角平分线性质有关吗 用哪一个性质可以解决这个问题
2.比例尺为1∶20000是什么意思
结论:
1.应该是用第二个性质.这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上,并且要求离角的顶点500米处.
2.在纸上画图时,我们经常在厘米为单位,而题中距离又是以米为单位,这就涉及一个单位换算问题了.1 m=100 cm,所以比例尺为1∶20000,其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思.作图如下:
第一步:尺规作图法作出∠AOB的平分线OP.
第二步:在射线OP上截取OC=2.5 cm,确定C点,C点就是集贸市场所建地了.
总结:应用角平分线的性质,就可以省去证明三角形全等的步骤,使问题简单化.所以若遇到有关角平分线,又要证线段相等的问题,我们可以直接利用性质解决问题.
例2:
如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证:点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
分析:点P到AB,BC,CA的垂线段PD,PE,PF的长就是P点到三边的距离,也就是说要证:PD=PE=PF.而BM,CN分别是∠B、∠C的平分线,根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明:过点P作PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,垂足为D、E、F.
因为BM是△ABC的角平分线,点P在BM上.
所以PD=PE.同理PE=PF.所以PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
三、交流反思
　通过探索学习明确角平分线性质及其逆定理,以及它们的区别.三角形三条角平分线相交于一点,这一点是三角形的内切圆的圆心(以后学习).
四、检测反馈
1.工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下:如图,∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C作射线OC.由作法得△MOC≌△NOC的依据是 (　　)
A.AAS　　　B.SAS　　　C.ASA　　　D.SSS
2.如图,直线l1,l2,l3表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有 (　　)
A.一处 B.两处 C.三处 D.四处
3.如图,点P在∠AOB的平分线上,PE⊥OA于E,PF⊥OB于F,若PE=3,则PF=________.
4.如图,点P为∠AOB内部一点,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E,请补充一个条件,使点P一定在∠AOB的平分线上,你补充的条件是________.
5.如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为________.
6.如图所示,AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
求证:DE=DF.
7.如图,已知BD = CD,BF⊥AC,CE⊥AB.
求证:D在∠BAC的平分线上.
五、布置作业
教科书P52习题14.3第2,3题
六、板书设计
14.3　角的平分线
1.用尺规作角的平分线:例题板演　学生板演
2.验证猜想:PD=PE
3.角平分线的性质
4.角平分线的判定
七、教学反思
　　本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识,探究得到了角平分线仪器的操作原理,由此归纳出角的平分线的尺规作图,并进一步探究到角平分线的性质.
本节课学习了关于角平分线的性质与判定:(1)角的平分线上的点到角两边的距离相等;(2)角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.它们具有互逆性,随着学习的深入,解决问题越来越简便了.像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题,我们可以直接利用角平分线的性质,而不必再去证明三角形全等而得出线段相等.

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