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15.2　画轴对称的图形
第2课时
【教学目标】
1.理解在平面直角坐标系中,已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的变化规律,能够经过探索利用坐标来表示轴对称.
2.掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点,能利用关于x轴、y轴对称点的坐标规律,作出关于x轴、y轴对称的图形.
3.在探索关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律时,发展学生数形结合的思维意识.在同一坐标系中,感受图形上点的坐标的变化与图形的轴对称变换之间的关系.
【重点难点】
重点:在平面直角坐标系中掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特点,能利用关于x轴、y轴对称点的坐标规律,作出关于x轴、y轴对称的图形.
难点:能作一个图形关于x轴、y轴对称的图形.
【教学过程】
一、 创设情境,导入新课
　如图:
(1)观察上图中两个圆脸有什么关系
(2)已知右边圆脸右眼的坐标为(4,3),左眼的坐标为(2,3),嘴角两个端点,右端点的坐标为(4,1),左端点的坐标为(2,1).
你能根据轴对称的性质写出左边圆脸上左眼,右眼及嘴角两端点的坐标吗
二、探究归纳
活动1:解决导入新课提出的问题:
我们可以设右脸中的左眼为A点,右眼为B点,则A(2,3),B(4,3),嘴角的左右端为D(2,1),C(4,1).根据轴对称的性质,A与A1关于y轴对称,则A1到y轴的距离和A到y轴的距离相等,A1、A到x轴的距离也相等,因为A1在第二象限,所以A1的坐标为(-2,3).
同理,B1、C1、D1的坐标分别为(-4,3)、(-4,1)、(-2,1).
活动2:【问题】在平面直角坐标系中,将坐标为(2,2),(4,2),(4,4),(2,4),(2,2)的点用线段依次连接起来形成一个图案.
(1)纵坐标不变,横坐标分别乘-1,再将所得的各个点用线段依次连接起来,所得的图案与原图案相比有何变化
(2)横坐标不变,纵坐标分别乘-1,再将所得的各个点用线段依次连接起来,所得的图案又与原图案相比有何变化
[生]在直角坐标系中根据坐标描出四个点并依次连接如图.A(2,2),B(4,2),C(4,4),D(2,4).
(1)纵坐标不变,横坐标乘以-1,得到相应四个点为A1(-2,2),B1(-4,2),C1(-4,4),D1(-2,4).顺次连接所得到的图案和原图案比较,不难发现它们是关于y轴对称的.
(2)横坐标不变,纵坐标乘以-1,得到相应的四个点为A2(2,-2),B2(4,-2),C2(4,-4),D2(2,-4).顺次连接所得到的图案和原图案比较,可得它们是关于x轴对称的.
[师]A(2,2)与A1(-2,2)关于y轴对称,
B(4,2)与B1(-4,2)关于y轴对称,
C(4,4)与C1(-4,4)关于y轴对称,
D(2,4)与D1(-2,4)关于y轴对称.
那么关于y轴对称的点具有什么规律呢
A(2,2)与A2(2,-2)关于x轴对称,
B(4,2)与B2(4,-2)关于x轴对称,
C(4,4)与C2(4,-4)关于x轴对称,
D(2,4)与D2(2,-4)关于x轴对称.
那么关于x轴对称的点有何规律呢
这节课我们就来研究关于x轴,y轴对称的每对对称点坐标的规律.下面我们看活动3.
活动3:在平面坐标系中,画出下列已知点及其对称点,并把坐标填入表格中.看看每对对称点的坐标有怎样的规律.再和同学讨论一下.
　已知点A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D,1,E(4,0).
关于x轴的对称点A'(_____,_____)B'(_____,_____)C'(__,__)D'(__,__)E'(__,__).
关于y轴的对称点A″(_____,_____)B″(_____,_____)C″(_____,_____)D″(_____,_____)
E″(_____,_____).
师生行为:
教师引导,学生自主探索发现关于x轴、y轴对称的每组对称点坐标的规律.
[生]如图,我们先在直角坐标系中描出A(2,-3),B(-1,2),C(-6,-5),D(,1),E(4,0)点.
我们先在坐标系中作出A点关于x轴的对称点,即过A作x轴的垂线交x轴于M点,M点的坐标为(2,0).在AM的延长线上截A'M=AM,则A'就是A点关于x轴的对称点,所以A'在第一象限,因为A'M=AM,所以A'的纵坐标为3,因为AA'⊥x轴,即AA'∥y轴,所以A'的横坐标为2,即A'的坐标为(2,3).
同理可求得B,C,D,E关于x轴的对称点B',C',D',E'的坐标分别为B'(-1,-2),C'(-6,5),D'(,-1),E'(4,0).列表如下:
已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5)
关于x轴的 对称点 A'(2,3) B'(-1,-2) C'(-6,5)
已知点 D(,1) E(4,0)
关于x轴的 对称点 D'(,-1) E'(4,0)
[师]观察上表每对对称点坐标之间的关系,你发现什么规律
[生]每对对称点的横坐标相同,纵坐标互为相反数.
[师]我们不仿再找几对关于x轴对称的点,写出它们的坐标,还有上面的规律吗
学生亲自动手进一步尝试,在学生认可的情况下明确关于x轴对称的每对对称点的坐标的规律.
[师生共析]关于x轴对称的每对对称点的坐标:横坐标相同,纵坐标互为相反数.
接着我们再来作出A,B,C,D,E关于y轴的对称点,并求出它们的坐标.
[生]同样,我们先作出A关于y轴的对称点A″,并求出A″的坐标.
过A作y轴的垂线AN,垂足为N,则N点坐标为(0,-3),然后在AN的延长线上截A″N,使A″N=AN,则A″就是所求的A关于y轴的对称点.A″在第三象限,AA″⊥y轴,且AN=A″N,所以A″的坐标为(-2,-3),同理可求得B,C,D,E关于y轴的对称点B″,C″,D″,E″的坐标分别为B″(1,2),C″(6,-5),D″(-,1),E″(-4,0).列表如下:
已知点 A(2,-3) B(-1,2) C(-6,-5)
关于y轴 对称点 A″(-2,-3) B″(1,2) C″(6,-5)
已知点 D(,1) E(4,0)
关于y轴 对称点 D″(-,1) E″(-4,0)
[师]观察上表,比较每对关于y轴对称的点的坐标,你能发现什么规律
[生]关于y轴对称的每一对对称点的坐标纵坐标相同,横坐标互为相反数.
活动4:例题讲解:
例1:在直角坐标系内,已知P(-4a,7),Q (8,b+2),根据条件,求出a、b的值.
(1)P、Q关于x轴对称.
(2)P、Q关于y轴对称.
分析:(1)因为P、Q关于x轴对称,所以根据关于x轴对称的点的坐标的特征,应有横坐标相同,纵坐标相反.(2)因为P、Q关于y轴对称,所以根据关于y轴对称的点的坐标的特征,应有横坐标相反,纵坐标相同.
解:(1)根据题意可得-4a=8,-7=b+2,解得 a=-2,b=-9.
(2)根据题意可得4a=8,7=b+2,解得 a=2,b=5.
例2:如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2,5),B(-4,3),C(-1,1).
(1)作出△ABC向右平移5个单位的△A1B1C1.
(2)作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2,并写出点C2的坐标.
解:(1)
(2)
点C2的坐标是(-1,-1).
例3:将下图中的点(2,1),(5,1),(2,5)做如下变化:
(1)纵坐标不变,横坐标分别加2.
(2)横坐标不变,纵坐标分别加1.
(3)纵坐标不变,横坐标分别变为原来的2倍.
(4)横坐标不变,纵坐标分别变为原来的2倍.
(5)纵坐标不变,横坐标分别乘-1.
(6)横坐标不变,纵坐标分别乘-1.
(7)纵坐标、横坐标都分别乘-1.
观察变化后的三角形与原三角形有什么变化
分析:根据变化,把每次变化后的三个顶点坐标求出,在平面直角坐标系中描出它们,连接成新三角形,然后与原有的三角形进行比较.
解:(1)纵坐标不变,横坐标分别加2得三个点依次为(4,1),(7,1),(4,5).将各点用线段依次连接起来,所得图形如图(1)所示,与原图形相比三角形的形状、大小不变,整个三角形向右平移了2个单位长度.
(2)横坐标不变,纵坐标分别加1,得三个点依次为(2,2),(5,2),(2,6).将各点用线段依次连接起来,所得图形如图(2)所示,与原图形相比,三角形的形状、大小不变,整个三角形向上平移了1个单位长度.
(3)纵坐标不变,横坐标分别变为原来的2倍,得三个点依次为(4,1),(10,1),(4,5).将各点用线段依次连接起来,所得图形如图(3)所示,与原图形相比,整个三角形被横向拉长为原来的2倍.
(4)横坐标不变,纵坐标分别变为原来的2倍,得三个点依次为(2,2),(5,2),(2,10).将各点依次用线段连接起来,所得图形如图(4)所示,与原图形相比,整个三角形被纵向拉长2倍.
(5)纵坐标不变,横坐标分别乘-1,得三个点坐标为(-2,1),(-5,1),(-2,5).将各点依次用线段连接起来,如图(5)所示,与原图形相比,三角形的形状、大小不变,整个三角形与原三角形关于y轴对称.
(6)横坐标不变,纵坐标分别乘-1,得三个点坐标为(2,-1),(5,-1),(2,-5).将各点用线段连接起来,如图(6)所示,与原图形相比,三角形的形状、大小不变,整个三角形与原三角形关于x轴对称.
(7)横纵坐标都分别乘-1,得三个点坐标为(-2,-1),(-5,-1),(-2,-5).将各点用线段依次连接起来,如图(7)所示,与原图形相比,整个三角形的形状、大小不变,整个三角形与原三角形关于O点对称.
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索规律的步骤:观察——归纳——猜想——结论.
2.通过本节课探索得到关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律,能运用规律解决简单问题.
四、检测反馈
1.点M(-2,1)关于x轴对称的点的坐标是 (　　)
A.(-2,-1) 　B.(2,1) 　C.(2,-1)　 D.(1,-2)
2.下面各组点关于y轴对称的是 (　　)
A.(0,10)与(0,-10) B. (-3,-2)与(3,-2)
C. (-3,-2)与(3,2) D. (-3,-2)与(-3,2)
3.已知点P1(a-1,5)和P2(2,b-1)关于x轴对称,则(a+b)2 025的值为 (　　)
A.-1 B.0
C.1 D.(-3)2 025
4.将△ABC的三个顶点的横坐标乘以-1,纵坐标不变,则所得图形 (　　)
A.与原图形关于x轴对称
B.与原图形关于y轴对称
C.与原图形即不关于x轴对称,也不关于y轴对称
D.向x轴的负方向平移了一个单位
5.如图,在边长为1的正方形网格中,将△ABC向下平移两个单位长度得到△A'B'C'则与点A'关于x轴对称的点的坐标是 (　　)
A.(0,-1) B.(1,1) C.(2,-1) D.(1,-1)
6.若|a-4|+(b-3)2=0,则A(a,b)关于y轴对称点的坐标为_____________.
7.如图,△ABC的顶点都在正方形网格格点上,点A的坐标为(-1,4).将△ABC沿y轴翻折到第一象限,则点C的对应点C'的坐标是____________.
8.在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)ABC的顶点A,C的坐标分别为(-4,5),(-1,3).
(1)请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系.
(2)请作出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'.
(3)写出点B'的坐标.
五、布置作业
教科书P75练习第1,2,3题
六、板书设计
15.2　画轴对称图形
(第2课时)
例题板演　学生板演
1.探索关于x轴、y轴对称的每对对称点的规律.
(1)关于x轴对称的点的坐标横坐标相同,纵坐标互为相反数.
(2)关于y轴对称的点的坐标纵坐标相同,横坐标互为相反数.
2.利用关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律,能作出关于x轴、y轴对称的图形.
七、教学反思
　　本节课学习了已知点关于x轴、y轴对称的点的坐标的规律:(1)两点关于x轴对称:横坐标不变,纵坐标互为相反数;(2)两点关于y轴对称:纵坐标不变,横坐标互为相反数.即点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为(x, - y),点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为(-x, y).
在平面直角坐标系中如何画一个图形关于x轴或y轴的对称图形.先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对应点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.

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