资源简介

13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
【教学目标】
1.掌握三角形的内角和定理,能熟练地应用三角形内角和定理解决问题.
2.探索并掌握直角三角形的两个锐角互余.
3.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
4.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生的合情推理能力,逐步养成数学推理习惯.
【重点难点】
重点:三角形的内角和定理及其运用,直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
难点:探索并证明三角形内角和定理.会用“两锐角互余的三角形是直角三角形”这个判定方法判定直角三角形.
【教学过程】
一、创设情境,导入新课
　教师出示问题:大的三角形对小的三角形说:“我比你大,所以我的内角和肯定比你大.”
小三角形不服气地说:“不对不对,我的内角和和你的一样大!”
教师:大的三角形与小的三角形谁说的对呢 通过这一节课的学习我们就能解决这个问题.
二、探究归纳
活动一:我们小学已学过,任意一个三角形的内角和都等于180°,怎么说明这个结论的正确性呢
让学生在纸上画一个三角形将它的内角剪下,试着拼拼看.
【问题】
　把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处,用量角器量出∠BCD的度数,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.[教师出示投影如图1]
想一想,还可以怎样拼
①剪下∠A,按图2拼在一起,可得到∠A+∠B+∠ACB=180°.
②把∠B和∠C剪下按图3拼在一起,可得到∠BAC+∠B+∠C=180°.
点拨:由拼图的方法可得三角形的内角和等于180°.
由刚才拼合而成的图形,试以你所发现的方法谈谈是如何说明三角形的内角和等于180°的
活动二:试说明三角形的内角和等于180°.
如图(1)已知:△ABC,求证:∠A+∠B+∠C=180°.
证明:延长BC到D,过点C作CE∥AB .
因为CE∥AB　(已知),
所以∠2=∠B　(两直线平行,同位角相等),
∠1=∠A　(两直线平行,内错角相等).
又因为∠1+∠2+∠3=180°　(平角定义),
所以∠A+∠B+∠ACB=180°　(等量代换).
总结:三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
由图2、图3你又能想到什么证明方法 请说说证明过程.
方法二:
如图,过点A作EF∥BC,
所以∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等),
∠C=∠1 (两直线平行,内错角相等).
因为∠2+∠1+∠BAC=180°,
所以∠B+∠C+∠BAC=180°.
方法三:过点A作AE∥BC,
所以∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等),
∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补),
所以∠B+∠C+∠BAC=180°.
点拨:在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫作辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.怎样应用三角形内角和定理解决问题呢 请看下面例题.
活动三:探索直角三角形的性质
【问题】在△ABC中,若∠C=90°,你能求出∠A,∠B的度数吗 为什么 你能求出∠A+∠B的度数吗 利用上面的结果,你能得出什么结论
答案:在Rt△ABC中,因为∠A+∠B+∠C=180°(三角形内角和定理).
而∠C= 90°.所以 ∠A+∠B= 90°.
所以直角三角形的两个锐角互余.
总结:直角三角形的两个锐角互余.
几何推理格式:在Rt△ABC中,因为∠C=90°,所以∠A+∠B=90°.
应用:(1)Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,则∠A=________.
(2)Rt△ABC中,∠C=90°,∠A =36°,则∠B=________.
以上我们学习了直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.应用这一性质我们可以已知直角三角形的一个锐角求另一个锐角.
活动四:探索直角三角形判定定理
【问题】我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形两锐角互余.反过来,有两个角互余的三角形是直角三角形吗 请你说说理由.
如图,在△ABC中,
∠A+∠B+∠C= 180°(三角形内角和定理),
因为∠A+∠B=90°(已知),
所以∠C=90°,
所以△ABC是直角三角形 (直角三角形定义).
总结:直角三角形判定定理:有两个角互余的三角形是直角三角形.
以上我们学习了直角三角形的性质与判定.怎样应用直角三角形的性质与判定解决问题呢 请看下面例题.
活动五:应用举例
【例1】已知△ABC中,∠ABC=∠C=2∠A,BD是AC边上的高,求∠DBC的度数.
分析:根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A,列方程即可求得△ABC三个内角的度数,再根据BD是AC边上的高,可得∠BDC=90°,在△BCD中,由三角形内角和定理,求得∠DBC的度数.
解:设∠A=x°,则∠ABC=∠C=2x°,
所以x+2x+2x=180(三角形内角和定理).
解得x=36,所以∠C=2×36°=72°,
在△BDC中,因为∠BDC=90°(三角形高的定义),
所以∠DBC=180°-90°-72°(三角形内角和定理),所以∠DBC=18°.
点拨:利用三角形内角和定理,借助方程,求三角形内角的度数是一种重要方法.
【例2】如图,C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C 岛在B 岛的北偏西40°方向,从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度 从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度呢
分析:虽然本题已给图形,但我们必须从画图入手,记住画图的过程就是理解题目的开始,C岛在A岛的北偏东50°方向,就是以A岛为中心画方向线AC,B岛在A 岛的北偏东80°方向,也是以A岛为中心画方向线AB,C岛在B岛的北偏西40°方向,这就是以B 岛为中心画出方向线BC,AC与BC交于C.由于A,B,C三点构成△ABC,所求∠ABC和∠ACB是△ABC的两个内角,这样就要求得∠ACB和∠ABC的度数.
解:∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°,
因为AD∥BE,所以∠BAD+∠ABE=180°,
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°,
所以∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°,
所以∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°.
答:从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60°.从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
学生思考别的解法,教师订正:
如图,过点C作CF,使CF∥AD,得∠ACF=∠DAC=50°,又因为AD∥BE,所以CF∥BE,得∠BCF=∠CBE=40°,所以∠ACB=∠ACF+∠BCF=50°+40°=90°.因为∠BAC=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°,所以∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=180°-90°-30°=60°.
【例3】如图,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为点D,∠ACD 与∠B 有什么关系 为什么
分析:根据同角的余角相等解答.
解:相等.因为∠ACB=90°,CD⊥AB,
所以∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°,
∠B+∠BCD=180°-90°=90°,所以∠ACD=∠B.
变式1:
若∠ACD =∠B,∠ACB =90°,则CD 是△ACB 的高吗 为什么
答案:是.有两个角互余的三角形是直角三角形.
变式2:若∠ACD =∠B,CD ⊥AB,△ACB 为直角三角形吗 为什么
答案:是.有两个角互余的三角形是直角三角形.
变式3:如图,若∠C =90°,∠AED =∠B,△ADE是直角三角形吗 为什么
答案:是.有两个角互余的三角形是直角三角形.
【例4】如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P,求证:△EPF是直角三角形.
分析:由AB∥CD,可知∠BEF与∠DFE互补,由角平分线的性质可得∠PEF+∠PFE=90°,由三角形的内角和定理可得∠P=90°.
证明:因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.
因为EP,FP分别平分∠BEF,∠DFE,
所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE,
所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,所以△EPF是直角三角形.
点拨:要判定一个三角形是直角三角形,只需证得一个角是直角即可.
【例5】
如图,∠C =∠D =90°,AD,BC 相交于点E, ∠CAE 与∠DBE 有什么关系 为什么
分析:要想找出∠CAE与∠DBE有什么关系,它们不在同一个三角形中,通过观察知它们是两个不同的直角三角形中的锐角,只要找另外两个锐角的关系即可.
解:在Rt△AEC 中,因为∠C=90°,
所以∠CAE+∠AEC=90°(直角三角形两锐角互余).
在Rt△BDE 中,
因为∠D=90°,所以∠DBE+∠BED=90°(直角三角形两锐角互余).
因为∠AEC=∠BED(对顶角相等),所以∠CAE=∠DBE(等角的余角相等).
三、交流反思
1.通过这节课的学习,掌握探索的步骤:观察——归纳——猜想——证明.
2.通过本节课探索得到三角形的内角和定理及直角三角形的性质与判定.
四、检测反馈
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,则∠B= (　　)
A. 30°　 　　B. 60°　 　　C. 90°　 　　D. 120°
2.在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,则∠C= (　　)
A. 40° B. 50° C. 10° D. 110°
3.在△ABC中,∠A=80°,∠B=∠C,则∠B= (　　)
A. 50° B. 40° C. 10° D. 45°
4.如图,AB∥DE,∠ACB=90°,若∠BCE=35°,则∠A的度数为 (　　)
A.35° B.45°
C.55° D.65°
5.如图,∠A=35°,∠B=∠C=90°,则∠D的度数是 (　　)
A.35° B.45°
C.55° D.65°
6.在△ABC中,∠A=90°,∠B=3∠C,求∠B,∠C的度数.
7.如图,在直角△ABC中,CD是斜边AB上的高,∠BCD=35°,求∠A与∠EBC的度数.
8.如图,在△ABC中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠BOC=132°,求∠A的度数.
9.如图△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC,∠A=70°,∠ADE=50°,求∠BDC的度数.
10.如图:已知在△ABC中,EF与AC交于点G,与BC的延长线交于点F,∠B=45° ,∠F=30°,∠CGF=70°,求∠A的度数.
五、布置作业
教科书第13页第1,2题
六、板书设计
13.3　三角形的内角与外角
13.3.1　三角形的内角
例题　练习
1.实验证明应用解决实际问题
2.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角互余.
3.直角三角形的判定:有两个角互余的三角形是直角三角形.
4.直角三角形性质与判定的应用.
七、教学反思
　　三角形内角和,是在学生认识了三角形的特点和分类的基础上进一步对三角形内角之间的关系的学习和探究.学生已经掌握了三角形的概念、分类,熟悉了钝角、锐角、平角这些角的知识.对于三角形的内角和是多少度,学生是不陌生的,因为学生有认识角、三角形分类的基础,学生也有提前预习的习惯,几乎孩子们都能回答出三角形的内角和是180度,在这个过程中孩子们知道了内角的概念,但是他们却不知道怎样才能得出三角形的内角和是180度.因此本节课我提出的研究的重点是:验证三角形的内角和是180度.
本节课主要是学生在小组中合作探索,可以量一量、剪一剪、折一折.选择一种或者几种方法来验证三角形的内角和是180度,并运用所得的结论解决实际生活中的一些问题!让学生进行实验、动手操作、自主探索,使学生主动积极的参加到数学活动中来!
直角三角形的性质是三角形内角和定理的延伸,也是以后学习“解直角三角形”必备的基础;直角三角形判定是平面几何中证明垂直问题的一个常用工具;直角三角形两锐角互余和两锐角互余的三角形是直角三角形这两个定理的探究形式体现了由几何实验到几何论证的研究过程.
直角三角形的性质与判定的探究形式是以三角形内角和定理为基础,定理的论证方法采取了情景创设、提出问题、动手操作、实验观察、得出结论、综合应用这样六个过程.

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