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3　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理．
2．会利用正方形的性质进行相关计算和证明．
▲重点
探索正方形的性质定理．
▲难点
正方形的性质的应用方法．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
显示投影片：展示生活中有关正方形的图片(多幅幻灯片)．
教师活动：操作投影仪，边展示图片，边提出下面的问题：
1．同学们观察显示的图片后，有什么联想？正方形的四条边有什么关系？四个角呢？
2．正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？
3．正方形具有哪些性质呢？
学生活动：观察屏幕上所展示的生活中的正方形图片，进行联想．易知：正方形的四条边都相等(小学已学过)；正方形的四个角都是直角(小学已学过)．
试验活动：教师拿出矩形按下图折叠，然后展示，让学生发现：只要矩形有一组邻边相等，这样的矩形就是正方形；同样，教师拿出活动菱形框架，框架变形过程中让学生发现：只要菱形有一个内角为90°，这样的特殊菱形也是正方形．
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】正方形的概念
问题：什么样的图形叫做正方形？
归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．有一个角是直角的__菱形__是正方形．有一组__邻边相等__的矩形是正方形．
【探究2】正方形的性质
组织学生联想正方形还具有哪些性质，板书画出一个正方形，如下图：
学生活动：观察、联想到它是矩形，所以具有矩形的所有性质；它又是菱形，所以具有菱形的一切性质．
归纳：正方形的性质：
(1)边的性质：对边__平行且相等__，四条边都__相等__．
(2)角的性质：四个角都是__直角__．
(3)对角线的性质：两条对角线__互相垂直平分__且__相等__，每条对角线__平分一组对角__．
(4)对称性：是__轴对称图形__，有__四__条对称轴，也是__中心__对称图形．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P21例1)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．
【方法指导】正方形的性质及三角形全等的应用．
解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：
(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)，
∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，
∴∠BCE＝∠DCF.
又∵CE＝CF，
∴△BCE≌△DCF(SAS)，
∴BE＝DF；
(2)延长BE交DF于点M，
∵△BCE≌△DCF，
∴∠CBE＝∠CDF.
∵∠DCF＝90°，
∴∠CDF＋∠F＝90°，
∴∠CBE＋∠F＝90°，
∴∠BMF＝90°，
∴BE⊥DF.
例2　如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD相交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E，求DE的长．
【方法指导】过点E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．
解：过点E作EF⊥CD于F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，
∴∠EDF＝45°，∴EF＝DF.
∵CE平分∠ACD交BD于点E，
∴EO＝EF.
又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，
∴Rt△CEO≌Rt△CEF.
∵正方形ABCD的边长为1，
∴AC＝，
∴CO＝AC＝，
∴CF＝CO＝，
∴DF＝DC－CF＝1－，
在Rt△DEF中，由勾股定理，得
DE＝＝－1.
◆活动4　随堂练习
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(A)
A．对角线互相平分
B．对角线相互垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直平分且相等
2．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(C)
A．14　　　B．15　　　C．12　　　D．17
3．已知正方形ABCD在直角坐标系内，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(0，0)，则点C，D的坐标分别为__(1，0)__和__(1，1)__．(只写一组)
4．如图，点E，F分别在正方形ABCD的边DC，BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG＝AB，求∠EAF的度数．
解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，
AB＝AG，AF＝AF，
∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，
∴∠BAF＝∠FAG.
同理可证：∠GAE＝∠DAE，
∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，
∴∠FAG＋∠GAE＝45°，
即∠EAF＝45°.
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：你这节课的收获是什么？
教学说明：正方形的性质：四个角都是直角、四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，灵活运用其性质和定义解决数学问题．
作业：课本P22习题1.7中的T1、T2、T3、T4.
本节课让学生在知道正方形是特殊的菱形和矩形的基础上，小组讨论得出正方形的性质，有利于学生的自主学习．通过学生的动手操作，讨论如何剪成正方形，培养学生的动手能力和思维能力．
第2课时　正方形的判定
1．掌握正方形的判定方法，并会用正方形的性质及判定进行有关论证和计算．
2．了解正方形、平行四边形、矩形、菱形的联系与区别．
▲重点
正方形的判定方法．
▲难点
正方形性质与判定的综合运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
宁宁在商场看中了一块方形纱巾，但不知是否是正方形，只见销售员阿姨拉起纱巾的一组对角能完全重合，看宁宁还在犹豫，又拉起纱巾的另一组对角，只见另一组对角也能完全重合，销售员阿姨认为是正方形，把纱巾给了宁宁．你认为宁宁看中的纱巾一定是正方形吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】探索正方形的判定条件：
学生活动：四人一组进行讨论研究，老师巡视其间，进行引导、质疑、解惑，通过分析与讨论，师生共同总结出判定一个四边形是正方形的基本方法：
(1)直接用正方形的定义判定，即先判定四边形是平行四边形，若这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等，那么就可以判定这个平行四边形是正方形；
(2)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形，那么这个四边形是正方形；
(3)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是矩形，那么这个四边形是正方形．
归纳：有一组邻边相等，并且有一个角是__直角__的__平行四边形__是正方形；有一组邻边__相等__的__矩形__是正方形；有一个角是__直角__的__菱形__是正方形．
【探究2】正方形判定方法的应用
思考：判断下列命题是真命题还是假命题，并说明理由．
(1)四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；
(2)四个角相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；
(3)对角线互相垂直平分的四边形是正方形；
(4)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
(5)对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
方法一：对角线互相__平分__的四边形是平行四边形，对角线__相等__的平行四边形是矩形，对角线互相__垂直__的平行四边形是菱形，所以是__矩形__又是__菱形__的四边形是正方形．
方法二：
→正方形
方法三：由对角线互相垂直平分可知是__菱形__，由对角线互相平分且相等可知是__矩形__，而既是菱形又是矩形的四边形就是__正方形__．
◆活动3　开放训练　应用举例
例1　(教材P23例2)已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形．
【方法指导】平行四边形→矩形→正方形．
证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∴ BECF是菱形(菱形的定义).
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°，
∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形).
例2　如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
【方法指导】(1)用AAS证明△BED≌△CFD；(2)先证明是矩形，再用邻边相等的矩形判定正方形．
证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD.
∵D为BC边的中点，∴BD＝CD.
∴△BED≌△CFD(AAS)；
(2)∵∠A＝90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴四边形DFAE是矩形．
∵△BED≌△CFD，∴DE＝DF.
∴四边形DFAE是正方形．
◆活动4　随堂练习
1．下列选项中不能判定四边形ABCD是正方形(对角线相交于点O)的是(C)
A．AB綊CD，AB＝AD，∠A＝90°
B．AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝90°
C．∠A＝∠B＝∠C＝90°，AC＝BD
D．AO＝CO＝BO＝DO，AC⊥BD
2．若一个正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是__8__．
3．如图，在四边形ABCD中，AD＝DC，∠ADC＝∠ABC＝90°，DE⊥AB，若BE＝4，则S四边形ABCD＝__16__．
◆活动5　课堂小结与作业
学生活动：1.你这节课的收获是什么？
2．可以运用哪些方法证明一个四边形是正方形？
教学说明：通过对比平行四边形、菱形、矩形研究正方形的判定方法．
作业：课本P25习题1.8中的T1、T2、T3、T4.
本节课通过动手操作和探究的过程，使学生亲自发现结果的来龙去脉．这样既发展了学生的动手操作能力，又训练了学生思维的层次性、灵活性，有助于创新能力的培养．

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