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第二十二章 二次函数 暑期讲义
【知识点讲解】
一、二次函数的引入
在实际生活和数学学习过程中，我们会遇到很多不能用一次函数来准确描述的数量关系，比如物体自由落体运动时下落高度与时间的关系、抛物线形状的物体轨迹等，这就需要引入二次函数来进行研究。
二、二次函数的概念
1.定义： 形如（）的函数称为二次函数。
（1）：二次项系数：它决定了抛物线的开口方向和开口大小。当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下。并且越大，抛物线的开口越窄，越小，抛物线的开口越宽。
（2）：一次项系数：它与二次函数的对称轴位置有关（对称轴公式为），同时也会影响函数在对称轴两侧的增减性变化情况。
（3）：常数项（截距）：它是二次函数图象与轴交点的纵坐标，即当时，，所以二次函数图象与轴的交点坐标为。
2.自变量范围： 一般情况下，自变量的取值范围是全体实数。但在实际问题中，需要根据具体问题的实际意义来确定自变量的取值范围，比如在计算面积问题时，边长不能为负数等。
三、二次函数的图像与性质
1.图像特征： 二次函数的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，对称轴为直线。
2.顶点坐标： 通过公式可以计算出顶点坐标为。顶点坐标在研究二次函数的最值以及图象的位置等方面起着重要作用。
3.开口方向：
（1）当时，抛物线开口向上，此时顶点为图象上的最低点，也就是函数有最小值，最小值就是顶点的纵坐标。
（2）当时，抛物线开口向下，此时顶点为图象上的最高点，也就是函数有最大值，最大值为顶点的纵坐标。
4.增减性：
（1）当抛物线开口向上（）时： 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小；在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大。
（2）当抛物线开口向下（）时： 在对称轴左侧，即当时，随的增大而增大；在对称轴右侧，即当时，随的增大而减小。
5.与坐标轴的交点：
（1）与轴交点： 把代入二次函数中，可得，所以二次函数与轴的交点坐标为。
（2）与轴交点： 二次函数与轴的交点，就是当时，方程的解。通过根的判别式来确定交点情况：
①当时，方程有两个不同的实数根，此时抛物线与轴有两个交点。
②当时，方程有一个实数根，此时抛物线与轴相切，只有一个交点。
③当时，方程没有实数根，此时抛物线与轴无交点。
四、二次函数的解析式形式
1.一般式：（）。 当已知二次函数图象上任意三点的坐标时，通常设函数解析式为一般式，然后将三点坐标分别代入一般式，得到一个三元一次方程组，解这个方程组就可以求出、、的值，从而确定二次函数的解析式。
2.顶点式：（），其中为抛物线的顶点坐标。 当已知二次函数的顶点坐标为时，就可以设函数解析式为顶点式。然后再根据图象上另外一点的坐标代入顶点式，求出的值，进而确定二次函数的解析式。
3.交点式：（），其中、是抛物线与轴交点的横坐标。 当已知二次函数与轴交点的横坐标为、时，可设函数解析式为交点式。再根据图象上另外一点的坐标代入交点式，求出的值，从而确定二次函数的解析式。
五、二次函数与一元二次方程的关系
1.根的几何意义： 抛物线与轴交点的横坐标，就是一元二次方程的实数根。
2.判别式的作用：
（1）当时，一元二次方程有两个不同的实数根，对应着抛物线与轴有两个交点。
（2）当时，一元二次方程有一个实数根，对应着抛物线与轴相切，只有一个交点。
（3）当时，一元二次方程没有实数根，对应着抛物线与轴无交点。
六、实际问题与二次函数
1.常见应用类型：
（1）最值问题：比如在商业活动中求最大利润、在生产过程中求最小成本等。通常需要根据实际情况设出变量，建立二次函数模型，然后利用二次函数的顶点坐标或配方法求出最值。
（2）抛物线形问题：例如物体的投篮轨迹、拱桥的设计等，这些问题都可以用二次函数来描述其形状和相关参数。
2.解题步骤：
（1）第一步：仔细分析实际问题，设出合适的变量。比如设某个量为，另一个相关量为，且明确它们之间的数量关系。
（2）第二步：根据题目中的条件和所设变量，建立二次函数模型，即写出二次函数的解析式。
（3）第三步：根据二次函数的性质，利用顶点坐标（通过公式计算）或配方法将二次函数化为顶点式，从而求出最值或解决其他相关问题。在实际问题中，还需要检验所求结果是否符合实际意义，比如边长不能为负数、人数不能为小数等。
七、重要方法与技巧
1.配方法： 将二次函数的一般式化为顶点式的步骤如下：
通过配方法可以更方便地研究二次函数的顶点坐标、最值等性质。
2.画图步骤：
（1）第一步：根据二次函数的二次项系数确定开口方向，当时开口向上，当时开口向下。
（2）第二步：计算对称轴的位置，对称轴为直线。
（3）第三步：计算顶点坐标，通过公式求出顶点坐标。
（4）第四步：求出与坐标轴的交点，与轴交点坐标为，与轴交点通过解方程（利用根的判别式判断交点个数）来确定。
（5）第五步：用平滑曲线连接所确定的点，画出二次函数的图象。
八、易错点提醒
1.一定要牢记二次函数定义中的条件，若忽略这个条件，就会导致函数类型判断错误以及后续计算错误。
2.在使用顶点坐标公式时，要特别注意公式中的符号，不要混淆，比如的符号不能搞错，否则会得到错误的对称轴位置和顶点坐标。
3.在解决实际问题时，一定要检验所求出的解是否符合实际意义，比如在涉及到边长、人数等实际量时，这些量不能为负数、小数（在某些特定情况下）等，否则求出的结果虽然在数学上是正确的，但在实际应用中是不合理的。
【巩固练习】
一、选择题
1．下列函数中，是的二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．二次函数的一次项系数是（　　）
A．-2 B．6 C．-6 D．-1
3．抛物线 的顶点坐标是（　　）
A．（﹣1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（1，﹣2） D．（1，2）
4．已知二次函数的图象开口向下，则的取值范同是（　　）
A． B． C． D．
5．抛物线的对称轴是（　　）
A． B． C． D．
6． 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．用配方法将化成的形式为（　　）
A． B．
C． D．
8．若三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
9．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式 ，则最佳加工时间为（　　）min．
A．2 B．5 C．2或5 D．3.5
10．二次函数（为实数，且），对于满足的任意一个的值，都有，则的最大值为（　　）
A． B． C．2 D．
11．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程x2﹣4x+2=0的解的取值范围是（　　）
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
x2﹣4x+2 2 0.25 ﹣1 ﹣1.75 ﹣2 ﹣1.75 ﹣1 0.25 2
A．0＜x＜0.5，或3.5＜x＜4 B．0.5＜x＜1，或3＜x＜3.5
C．0.5＜x＜1，或2＜x＜2.5 D．0＜x＜0.5，或3＜x＜3.5
12．已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
13．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映，如果调整商品售价，每降价1元，每星期可多卖出20件．设每件商品降价x元后，每星期售出商品的总销售额为y元，则y与x的关系式为（　　）
A． B．
C． D．
14．如图，一工厂车间大门由抛物线和矩形的三边组成，门的最大高度是，，，若有一个高为，宽为的长方体形状的大型设备要安装在车间，如果不考虑其他因素，设备的右侧离开门边多少米，此设备运进车间时才不会碰到门的顶部（　　）
A． B． C． D．
15．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
16．将抛物线向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式为　 　．
17．若函数表示是的二次函数，则的值为　 　．
18．如果抛物线（其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a　 　0．（填“＜”或“＞”）
19．已知二次函数的图象如图所示，则当时，函数值y的取值范围是　 　．
20．已知二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是　 　．
21．如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是　 　．
三、解答题
22．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点；
（1）用配方法将二次函数化为的形式；
（2）观察图象，当时，直接写出的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为，求的面积．
23．如图、抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式：
（2）左右平移该二次函数的图象，使其经过原点，写出平移后二次函数表达式．
24．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，点D在y轴的正半轴上，抛物线经过点．
（1）求a的值与对称轴．
（2）将抛物线向右平移m个单位使得新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，求m的值和点M的坐标．
25．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
26．有这样一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为时，透光面积最大值约为．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为，利用图3，解答下列问题：
（1）若为，求此时窗户的透光面积？
（2）与上一个例题比较，改变窗户形状后，若设的长度为，请问当x的值为多少时窗户透光面积最大？与例题相比透光的最大面积是否变大？通过计算说明．
27．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．
销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 …
销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 …
（1）求y与x的函数表达式；
（2）糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．
参考答案
1．C
2．B
3．D
4．D
5．A
6．C
7．C
8．D
9．D
10．D
11．B
12．A
13．B
14．D
15．B
16．
17．
18．
19．
20．，
21．
22．（1）解：，
；
（2）由（1）知，二次函数的顶点坐标为，
将代入，
得，
将代入，
得，
当时，的取值范围为；

（3）如图，设交轴于点，
由（1）知，二次函数的顶点坐标为，
二次函数的图象与轴交于、两点，
令，则，
解得：，，
，，
二次函数的图象与轴交于点，
令，得，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
令，则，
，
，
．
23．（1）解：∵抛物线与直线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B和点C．
∴当时，，当时，，
∴
∵抛物线的对称轴为直线．关于直线对称，
∴
将，代入得，
解得：
∴抛物线的解析式为.
（2）解：，
设抛物线左右平移个单位过原点，此时抛物线为
∴
解得：或
∴平移后的抛物线为：或
24．（1）解：∵抛物线经过点．
∴，
解得：，
∴抛物线为；
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线；
∴抛物线向右平移m个单位为，
∵抛物线为，
当，则，则，
∵矩形的顶点A与原点重合，顶点B在x轴的正半轴上，，
∴，，
∵新抛物线与，分别交于M，N，点M，N的纵坐标相等，
∴当与时，新抛物线的函数值相等，
∴，
解得：，
∴新抛物线为：，
当时，，
∴.
25．（1）解：设二次函数的解析式为，
∵ 二次函数（b，c为常数）的图象经过点，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：∵点B平移后的点的坐标为，
∴，
解得：或（舍），
∴m的值为；
（3）解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值的差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．
26．（1）解：由题意，，，
∴，
∴此时窗户的透光面积为
（2）解：设，则，
∵，
∴，
则窗户的透光面积，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为，即当时，窗户透光面积最大；
∵，
∴与例题相比透光的最大面积变大
27．（1）解∶设y与x的函数表达式为，
把，；，代入，得，
解得，
∴y与x的函数表达式为；
（2）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为450，
∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元；
（3）解：设日销售利润为w元，
根据题意，得
，
∴当时，有最大值为，
∵糖果日销售获得的最大利润为392元，
∴，
化简得
解得，
当时，，
则每盒的利润为：，舍去，
∴m的值为2．

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